Johnny Bravo - Na pewno

Interpretacja słów niemożliwe i pewne nie sprawia na ogół żadnego kłopotu. Mówiąc, że coś jest niemożliwe, bądź pewne, mocno i zdecydowanym tonem akcentujemy fakt rozumiany jako coś niepodważalnego.

Johnny Bravo - Niemozliwe

W życiu codziennym rzadko dysponujemy takimi faktami, częściej posiadamy dobrze umotywowane przypuszczenia, że coś jest prawie niemożliwe lub prawie pewne. Rozumienie wyrażeń prawie niemożliwe i prawie pewne jest intuicyjnie łatwe, o ile potrafimy określić granicę kiedy prawie niemożliwe zaczyna być możliwe, a możliwe przechodzi w prawie pewne. Powyższe gierki słowne można nawet uporządkować rosnąco:

niemożliwe < prawie niemożliwe < możliwe < prawie pewne < pewne

Idąc dalej powiemy, że to co jest prawie pewne lub pewne jest też zarazem możliwe. Nawet to co prawie niemożliwe pozostawia cień szansy na możliwość. Tej ciekawej własności nie posiada natomiast wyrażenie niemożliwe. Ufff…

Johnny Bravo - Prawie niemozliwe

Ale jak to się ma do teorii prawdopodobieństwa? Największe bogactwo probabilistyki to umiejętność wartościowania w sposób liczbowy wszelkich możliwych przypuszczeń, fachowo nazywanych zdarzeniami losowymi. Probabilistyka potrafi wartościować również zdarzenia rozumiane jako fakty, określane mianem zdarzenia losowego niemożliwego oraz zdarzenia losowego pewnego.

Przykładem prawie niemożliwego zdarzenia losowego może być wylosowanie danej liczby spośród zbioru liczb naturalnych. Niech

$$A_n=\{1,2,\ldots,n\}$$

oznacza zbiór liczb naturalnych nie większych niż $n$. Jeśli $k\in A_n$ to prawdopodobieństwo wylosowania liczby $k$ ze zbioru $A_n$ wynosi

$$P_n(k)=\frac{1}{n}$$

W przypadku granicznym $n\to\infty$ najbardziej naturalnym będzie przyjąć, że prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi 0 (w uproszczeniu 1/∞). Czyżby istniały zdarzenia z prawdopodobieństwem 0, które mogą jednak zachodzić?

Johnny Bravo - Prawie na pewno

Analogicznie dochodzimy do wniosku, że zdarzeniem prawie pewnym będzie każde zdarzenie losowe zachodzące z prawdopodobieństwem 1, jednak różne od całego zbioru zdarzeń elementarnych. Wartość

$$1-P_n(k)=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}$$

reprezentuje prawdopodobieństwo zdarzenia wylosowania liczby naturalnej ze zbioru $A_n$ różnej od wybranej liczby $k\in A_n$. Gdy $n\to\infty$ oczywiście $\frac{n-1}{n}\to 1$.

Warto zauważyć, że może istnieć wiele różnych zdarzeń prawie pewnych bądź zdarzeń prawie niemożliwych. Natomiast zdarzenia pewne i niemożliwe są jednoznacznie określone.

  • Zdarzenie niemożliwe – jest to pusty podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych.
  • Zdarzenie pewne – jest to pełny zbiór zdarzeń elementarnych.

Podsumowanie

  • Zdarzenie niemożliwe – pusty podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych, zdarzenie o prawdopodobieństwie 0.
  • Zdarzenie prawie niemożliwe – niepusty podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych, o prawdopodobieństwie 0. Zainteresowanym polecam zapoznanie się z pojęciem zbioru miary 0.
  • Zdarzenie prawie pewne – podzbiór właściwy przestrzeni zdarzeń elementarnych, o prawdopodobieństwie 1.
  • Zdarzenie pewne – podzbiór pełny przestrzeni zdarzeń elementarnych, zdarzenie o prawdopodobieństwie 1.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Paradoks Banacha-Tarskiego

W 1924 roku Stefan Banach i Alfred Tarski sformułowali i udowodnili paradoksalne twierdzenie teorii mnogości o takim podziale jednej kuli na kilka części (skończoną ich liczbę), aby z powstałych elementów można było „skleić” dwie kule o identycznych parametrach jak ta wyjściowa. Podczas operacji „sklejania” wykorzystali jedynie obroty i przesunięcia, bez rozciągania, czy też innych operacji zmieniających kształt! Czyżby matematyka znalazła naukowe uzasadnienie dla Cudownego rozmnożenia chleba w Galilei? Jeśli chcesz poznać odpowiedź polecam film przygotowany przez Vsauce Vsauce

Jak zwykle zachęcam do dyskusji i komentarzy 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Drewno + 1500 volt = fraktal

Kształty łudząco przypominające wzory fraktalne można uzyskać poprzez włączenie „drewna” w obieg prądu o napięciu 15000 volt! Bieżąca definicja fraktali opiera się na własności samopodobieństwa i/lub na nieskończonej złożoności kształtu, gdzie powiększanie fragmentów nie powoduje zmniejszenia poziomu „złożoności” obiektu. Moim zdaniem poniższy obraz spełnia podane kryteria.

Dla porównania animacja „głębokiego powiększania” odgałęzień zbioru Mandelbrota.

Zainteresowanych zapraszam do serii artykułów o geometrii fraktalnej, w szczególności „Fraktalne oblicze natury”.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Numberphile logo

Zbiór Mandelbrota

Numberphile logoCiekawostka od Numberphile pokazująca w jaki przedziwny sposób liczba PI jest ukryta w „ostrzu” zbioru Mandelbrota. Polecam!

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Zobacz również:

  1. Prędkość ucieczki do nieskończoności – czyli zabawy z rekurencją (część 2)

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa