Matematyka w obrazkach #7 - Błądzenie losowe :-)

Błądzenie losowe

Błądzenie losowe jest dosyć podstawowym przykładem procesu stochastycznego. Poniżej wykres 20 błądzeń losowych, każda ścieżka o długości 200. Wszystkie ścieżki rozpoczynają w tym samym punkcie, następnie w każdym kolejnym kroku podejmowana jest losowa decyzja odnośnie kierunku "dół / góra". Każdy kierunek jest równo prawdopodobny, wybór kierunku w danym kroku nie zależy od decyzji dokonanych poprzednio.

Mariusz Gromada - Random Walking

Prawo iterowanego logarytmu

Można zauważyć, że ścieżki pozostają skupione wokół punktu początkowego, jednak średnia odległość od tego punktu rośnie wraz ze wzrostem liczby kroków - co ciekawe - odległość rośnie wolniej niż liniowo, rośnie zgodnie z \sqrt{n}. Ogólnie zespół twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa opisujących rozmiar fluktuacji w błądzeniu losowym określa się mianem prawa iterowanego logarytmu.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada 

Ukryty wymiar liczb - czyli liczby zespolone (część 1)

Liczby naturalne \mathbb{N}

Podział liczb - #1

Początki matematyki to liczby naturalne \mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}, czyli narzędzie służące do opisu liczności (np. trzy elementy) lub do podawania kolejności (np. trzecia osoba). Z biegiem czasu do liczb wprowadzono pierwsze działania - dodawanie i mnożenie. Z łatwością można wykazać, że liczby naturalne są zamknięte ze względu na dodawanie i mnożenie - jednak nim przejdziemy dalej - wyjaśnię w kilku słowach co to tak naprawdę oznacza.

Zamkniętość zbioru ze względu na działanie

Rozważmy dowolny zbiór A oraz dwuargumentowe działanie a*b określone na elementach a, b \in A.

Mówimy, że zbiór A jest zamknięty ze względu na działanie * jeśli dla dowolnych a, b \in A istnieje c \in A, że c=a*b.

Inaczej mówiąc, zbiór jest zamknięty ze względu na dane działanie jeśli wszystkie możliwe wyniki wskazanego działania (na elementach rozważanego zbioru) są również elementami tego zbioru. W analogi do dodawania i mnożenia liczb naturalnych możemy stwierdzić, że suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną, a w konsekwencji mnożenie dwóch liczb naturalnych daje także wynik w liczbach naturalnych.

\Big(\mathbb{N}, +, \times\Big)

Wraz z rozwojem matematyki wprowadzano kolejne działania, które ujawniły "niekompletność" zbioru liczb naturalnych.

Liczby całkowite \mathbb{Z} jako "domknięcie" odejmowania "-"

Podział liczb - #2

Wprowadzenie odejmowania pokazało, że liczby naturalne nie są zamknięte ze względu na to działanie. Dla wielu liczb naturalnych wynik odejmowania jest liczbą naturalną, jednak istnieje równie wiele przykładów uzasadniających wniosek przeciwny, np.:

2-5 = -3 \notin \mathbb{N}

Uzupełniając liczby naturalne o liczby do nich przeciwne oraz 0 otrzymujemy liczby całkowite \mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\} zamknięte również ze względu na odejmowanie.

\Big(\mathbb{Z}, +, \times,-\Big)

Liczby wymierne \mathbb{Q} jako "domknięcie" dzielenia \frac{\cdot}{\cdot}

Podział liczb - #3

Liczby wymierne wyrażając proporcję (stosunek) pomiędzy wielkościami powstają z ilorazu dwóch liczb całkowitych.

Każdą liczbę wymierną można zapisać jako ułamek, tzn. \mathbb{Q}=\Big\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb{Z},n\neq 0\Big\} gdzie m, n są liczbami całkowitymi, a n jest różne od 0.

I choć dla części liczb naturalnych ich iloraz jest również liczbą naturalną (np. 10 / 2 = 5), to istnieje równie wiele przypadków sytuacji odwrotnej, np.

\frac{1}{5}\notin\mathbb{Z}

Liczby wymierne są zamknięte ze względu na iloraz (z pominięciem 0 - gdyż dzielenie przez 0 nie jest określone).

\Big(\mathbb{Q}, +, \times,-, \frac{\cdot}{\cdot}\Big)

Liczby algebraiczne jako "częściowe domknięcie" pierwiastkowania \sqrt{\cdot} i potęgowania {m}^{n}.

Podział liczb - #4

Już Pitagoras potrafił wykazać że długości przekątnej jednostkowego kwadratu nie da się wyrazić jako stosunku ówcześnie znanych liczb. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo zapisujemy

x^2=1^2+1^2

x^2=2

x=+/-\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}

Pierwiastek z liczby 2 nie jest liczbą wymierną, podobnie jak i \sqrt{3}\sqrt{5}, ... Zapiszmy nieco ogólniej

x^2-2=0

Zatem pierwiastek z liczby 2 jest zerem wielomianu (pierwiastkiem wielomianu) o wymiernych współczynnikach.

Liczby algebraiczne, zdefiniowane jako rozwiązania wielomianów o wymiernych współczynnikach, są pierwszym etapem "domknięcia" liczb wymiernych.

Liczby rzeczywiste \mathbb{R} jako granice ciągów liczb wymiernych.

Podział liczb - #5

Liczby wymierne (nawet rozszerzone o liczby algebraiczne) nie są zupełne.

Zbiór nazywamy zupełnym jeśli w zbiorze istnieje granica każdego ciągu spełniającego warunek Cauchy'ego.

Wykres ciągu Cauchy’ego Wykres ciągu Cauchy’ego - źródło wikipedia.org

Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy'ego, jeśli dla ustalonej dowolnie małej liczby, pomijając skończoną liczbę elementów ciągu, "odległość" pomiędzy pozostałymi dowolnymi dwoma elementami ciągu nie przekracza ustalonej wartości.

Dobrym i bardzo znanym przykładem jest ciąg definiujący podstawę logarytmu naturalnego

a_n=(1+\frac{1}{n})^n

Każdy element ciągu jest liczbą wymierną, gdyż powstaje z mnożenia liczb wymiernych. Ciąg ten spełnia warunek Cauchy'ego, jest zbieżny, jednak jego granica nie istnieje w liczbach wymiernych.

\lim a_n=e\notin\mathbb{Q}

Liczba e nie jest liczbą wymierną, nie jest również liczbą algebraiczną, Liczba e jest przykładem kolejnej klasy liczb "uzupełniających braki" w liczbach wymiernych.

Liczby nienależące do zbioru liczb wymiernych, które są granicami ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy'ego, nazywamy liczbami niewymiernymi.

Niektóre z liczb niewymiernych są liczbami algebraicznymi (np. \sqrt{2}), jednak znaczna ich większość to liczby przestępne, czyli takie, które nie są pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych.

\Big(\mathbb{R}, +, \times,-, \frac{\cdot}{\cdot}, \lim \Big)

Liczby zespolone jako "domknięcie" pierwiastkowania \sqrt{-1}

Podział liczb - #6

Świat szedł do przodu, matematyka odkrywała kolejne wzory opisujące rzeczywistość. W XVI wieku ponownie napotkano problem "niezupełności" liczb i działań. Trudność pojawiła się w momencie wyprowadzania wzoru na pierwiastki wielomianu stopnia 3. Każdy wielomian stopnia 3 ma przynajmniej jedno miejsce zerowe, jednak okazało się, że konstrukcja wzoru podającego te pierwiastki wymaga założenia istnienia wartości \sqrt{-1}. Tak powstały liczby zespolone, których znaczenie jest dużo bardziej głębokie niż wartość \sqrt{-1} oraz wzory Cardano dla równań sześciennych. Liczby zespolone to całkowicie nowy wymiar liczb, wymiar ukryty, mimo wszystko pojawiający się w niemal każdej empirycznej dziedzinie nauki z fizyką na czele...

... ale o tym w kolejnej części cyklu...

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Mnożenie liczb ujemnych - czyli dlaczego minus razy minus daje plus

Minus razy minus daje plus

Z pewnością każdy wie, że wynikiem mnożenia liczb ujemnych jest liczba dodania. Formułka "minus razy minus daje plus" była nam wtłaczana do głów w trakcie wczesnych lat szkolnych. Nauczyciele zapomnieli jednak wyjaśnić dlaczego tak właśnie jest, oraz przybliżyć motywację matematyków definiujących arytmetykę liczb ujemnych.

Mnożenie jako skrócone dodawanie

Mówi się, że mnożenie to skrócone dodawanie, co jest w zupełności prawdą i, przy ograniczeniu do liczb całkowitych, faktem dosyć oczywistym.

3\times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12

Mnożenie jest przemienne i rozdzielne względem dodawania

Te dwie fundamentalne własności mnożenia zapisujemy jako

przemienność a\times b = b\times a

przykład 3\times 4 = 4\times 3=12

rozdzielność a\times (b+c)=a\times b + a\times c

przykład 3\times 4 = 3\times (1+3) = 3\times 1 + 3\times 3 = 3 + 9 = 12

Mnożenie liczb ujemnych z punktu widzenia matematyka

Matematycy, definiując arytmetykę liczb ujemnych, chcieli zachować spójność z już rozwiniętą arytmetyką liczb dodatnich i zera. Opierając się na interpretacji skróconego dodawania łatwo uzasadniamy następujące:

-3\times 4 = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12

"Dodając dług do długu" otrzymujemy większy dług - intuicyjne. Teraz wykorzystując przemienność mnożenia otrzymujemy:

4\times (-3)=-3\times 4=-12

W tym momencie z intuicją już trochę trudniej, natomiast spójność została zachowana. Czas przejść do meritum - tzn spróbujmy odpowiedzieć na pytanie:

-3\times (-4)=?

Do rozwiązania powyższego zastosujemy trick na bazie rozdzielność mnożenia względem dodawania.

-3\times 0=0

-3\times 0=-3\times(-4+4)=0

-3\times(-4+4)=-3\times (-4)+(-3)\times 4=0

-3\times(-4)+(-12)=0

-3\times(-4)=12

Powyższe z intuicją nie ma nic wspólnego, jednak jest spójne, tzn. na bazie arytmetyki liczb dodatnich i zera, przemienności mnożenia, rozdzielności mnożenia względem dodawania, jesteśmy w stanie uzasadnić dlaczego mnożenie liczb ujemnych musi być liczbą dodatnią.

Mnożenie liczb ujemnych jako zmniejszenie straty

Załóżmy, że mnożymy dwie liczby, gdzie interpretacja pierwszej to wartość zysku bądź starty, natomiast znaczenie drugiej to zwielokrotnienie (zwiększenie / zmniejszenie) pierwszej wartości. W takiej sytuacji mnożenie dwóch liczb ujemnych oznacza zmniejszenie straty, czyli łączny efekt dodatni działania.

Interpretacja zmniejszenia straty

Powyższe wyjaśnienie można określić mianem intuicyjnego 🙂

I na koniec film od Mathologer'a wyjaśniający powyższy problem (materiał, na którym wzorowałem powyższy wpis).

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada