Matematyka w obrazkach #20 – Optimus Prime

W nawiązaniu do liczb pierwszych, którym poświęcony był wczorajszy wpis „Liczba π ukryta w liczbach pierwszych”, prezentuję postać z uniwersum Transfomers. Szanowni Czytelnicy – w cyklu „Matematyka w obrazkach”„Jego Królewska Mość”Optimus Prime – przywódca Autobotów 🙂

Optimus Prime Numbers

Pozdrowienia 🙂

Mariusz Gromada

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest $\pi$?

  • $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to połowa obwodu koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{1}{4}$ pola powierzchni sfery o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{3}{4}$ objętości kuli o promieniu $1$.
  • $k\pi$ dla całkowitych $k$ to miejsca zerowe funkcji $\sin x$.
  • … i wiele innych …

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna $n\in\mathbb{N}$ większa od $1$, której jednymi dzielnikami są $1$ oraz $n$.
  • Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $n-tej$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.

Czytaj dalej

Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

„Co to jest różniczka? – zapytano  matematyka.
Różniczka to wyniczek odejmowanka – odpowiedział”
🙂

Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór Taylora, nazywamy często rozwinięciem Taylora funkcji $f(x)$ w otoczeniu punktu $x_0$, faktycznie „rozwija” funkcję do postaci sumy funkcji elementarnych $a_n(x-x_0)^n$, stanowiących atomy wielomianów. W efekcie otrzymujemy nie tylko efektywną aproksymację wartości funkcji, ale również nową „łatwiejszą” jej formę.

Wielomian Taylora

Twierdzenie Taylora: Dla funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $n$-razy różniczkowalnej $(n\geq 1)$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, istnieje funkcja $h_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, że

$$f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{wielomian-aproksymacja~f(x)}+\underbrace{h_n(x)(x-x_0)^n}_{reszta}$$

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots$$

$$\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+h_n(x)(x-x_0)^n$$

oraz

$$\displaystyle\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0$$

Przez $f^{(k)}(x)$ oznaczamy pochodną rzędu $k$ funkcji $f(x)$.

Twierdzenie Taylora nosi nazwę od angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opracował je w 1712 roku. Samą własność wcześniej odkrył James Gregory – dokonał tego w 1671 roku.

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #19 – Oko Mandelbrota

W cyklu „Matematyka w obrazkach” – nowe logo MathSpace.pl

Motywacja

Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o „Geometrii fraktalnej” – wpis „Fraktalne oblicze natury”.

„Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze.”

Michael F. Barnsley

 

„W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć”

Benoit Mandelbrot

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka.
To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″
🙂

Hipersześcian i Hiperkula - rzut

Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania liczby wymiarów na dokonywane pomiary. Jak w zależności od liczby wymiarów zmienia się powierzchnia i objętość kuli? Analogicznie – jak zmienia się maksymalna odległość pomiędzy wierzchołkami kostki? Obiecuję – odpowiedzi będą zaskakujące 🙂

Możesz mieć wrażenie, że to wyłącznie abstrakcyjne rozważania. Czy na pewno? Ja w zasadzie na co dzień analizuję Klientów opisanych szeregiem miar. Poszukiwanie podobieństw, skupień, segmentów czy „najbliższych sąsiadów” niemal w całości opiera się na wielowymiarowej metryce euklidesowej. Zapraszam do pogłębienia wiedzy w tym obszarze:-) Zapewniam – warto!

Czytaj dalej