Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Polska na tle Europy

Dynamika pandemii w Polsce niestety przyspieszyła. Ostatnie cztery dni przyniosły istotne wzrosty nowych zachorowań (z 250 do ponad 400 dziennie). Nagła zmiana przyrostów o około 60-70% świadczy o tym, że w Polsce pojawiły się nowe źródła transmisji wirusa. Mimo tego, na tle Europy nadal utrzymujemy się w zdecydowanej czołówce, jeśli chodzi o hamowanie tempa rozwoju epidemii. W Stanach Zjednoczonych jest już ponad 25% wszystkich zakażonych na świecie.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-01: To już czas, aby badać rozwój COVID-19 zakładając, że dzień pierwszy przypada na około 1000 potwierdzonych przypadków

Pierwszego kwietnia w Polsce minął ósmy dzień, licząc od dnia zdiagnozowania pierwszego tysiąca chorych na COVID-19. Biorąc pod uwagę większą skalę zachorowań oraz zaawansowanie pandemii w wielu krajach, jest to dobry moment, aby traktować „pierwszy tysiąc” jako dzień pierwszy epidemii. Dzięki temu możemy śledzić efekty bieżących działań w bardziej wiarygodny sposób.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-03-29: Istotny wzrost zakażeń

W trakcie minionego weekendu w Polsce zanotowano istotne podwyższenie liczby nowych zidentyfikowanych przypadków COVID-19. Wszelkie przeprowadzane analizy wskazywały, że to właśnie teraz i przez najbliższe około dziesięć dni, dzienne przyrosty będą coraz większe. Mimo większych liczb, są one nieco niższe niż prognozowane przez firmę ExMetrix.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Prognoza przebiegu od ExMetrix – stan na 2020-03-28

Prognoza przygotowana przez ExMetrix prezentuje oczekiwane tempo rozwoju pandemii COVID-19 w Polsce. Zgodnie z przedstawioną analizą dzienny wzrost nowych przypadków będzie nadal rósł przez około 10 kolejnych dni. To, czy potrwa to tylko 10 dni, zależy od naszego zachowania oraz ciągłego zwiększania zdolności do przeprowadzania większej liczby testów.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-03-26: Polska radzi sobie relatywnie dobrze

Pierwszy potwierdzony w Polsce przypadek COVID-19 zarejestrowano w dniu 4 marca 2020 r. Pandemia dotarła do nas zdecydowanie później, co pozwoliło społeczeństwu polskiemu podjąć szybkie działania w celu ograniczenia tempa rozprzestrzeniania się choroby. Pomimo ciągłego wzrostu łącznej liczby chorych, Polska notuje jedne z najniższych dziennych przyrostów nowych zdiagnozowanych infekcji. Jest to pozytywny sygnał w tej niezmiernie trudnej sytuacji. Należy pamiętać, że to dopiero początek walki, a sytuacja jest bardzo dynamiczna.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-03-20: Czy pierwsze efekty są już widoczne?

Polska podjęła kilka trudnych decyzji w celu spowolnienia pandemii COVID-19. Czy pierwsze efekty są już widoczne? Chciałbym w to wierzyć. Jednak nadal nie jestem pewien. Chociaż dane coś pokazują, potrzebujemy jeszcze kilku dni, aby wykluczyć efekt błędu potwierdzenia.

CZYTAJ DALEJ >>

O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Funkcja e do x (e^x)

„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.

– Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!

– Nie boję się, jestem $e^x$. 

I tak spokojna $e^x$ została. Wpada operator.

– Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!

– A proszę bardzo – jestem $e^x$ – nic mi nie grozi.

– Kochana, ja różniczkuję po $dy$”

Ten iście „nerdowski” dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii „o liczbie e”. Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty „dlaczego?” liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej $a^x$ 🙂

Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania

Czytaj dalej

O liczbie e – Część 1 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Procent składany

Liczba e

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę $e$, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego.

$$e\approx 2.718\ldots$$

Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów „o liczbie e”. Tym samym wzbogacam cykl „dlaczego?”. Dowody przeprowadzę „metodą elementarną” – wszak chodzi o „pierwotność / naturalność” $e$. Będzie kilka dużych „odcinków” – zapraszam 🙂

Nota historyczna

Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach. W matematyce jest wszechobecna! Z powodzeniem dorównuje liczbie $\pi$. Analiza matematyczna (w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe), funkcje specjalne, analiza zespolona, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna – to najbardziej wyraziste przykłady. W innych naukach ścisłych (np.: ekonomia, fizyka, biologia) liczba e pojawia się w wielu ważnych równaniach, w tym: równanie przewodnictwa cieplnego, wzór barometryczny, rozpady promieniotwórcze, fazory, funkcja falowa w mechanice kwantowejwzrost populacji, procent składany.

Pierwsze informacje na temat liczby e pojawiły się w 1618 roku. Opublikował je John Napier, przygotowując tabele logarytmów. Praca nie zawierała samej stałej, prezentowała niektóre wartości logarytmów na bazie e. Liczbę e w jej dzisiejszej postaci odkrył Jacob Bernoulli. Dokonał tego w 1683 roku analizując własności procentu składanego. Pierwsze udokumentowane wykorzystanie liczby e, wtedy oznaczanej przez b, pojawiło się w latach 1690-1691 (Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens). Wykorzystanie stałej znacząco rozwinął Leonhard Euler oznaczając ją w 1727 roku do dziś wykorzystywanym symbolem $e$.

Procent składany

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #25 – Duch – Atraktor Lorenza :-)

Grafika wykonana na bazie Atraktora Lorenza – świetne wzbogacenie cyklu „Matematyka w obrazkach” 🙂

Atraktor Lorenza - duch

Polecam poniższą animację – 500 tysięcy ciasno upakowanych cząstek rozchodzi się w chaos. Cząstki to punkty z rozkładu Gaussa z odchyleniem standardowym 0.01. W miarę upływu czasu cząstki podążają za dynamiką Lorenza.

Zajrzyj również tutaj: Matematyka w obrazkach #16 – Mathistopheles – Atraktor Lorenza 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada