O liczbie e - Część 2 - Dlaczego jest tak "naturalna" - Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Funkcja e do x (e^x)

"Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle ... popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.

- Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!

- Nie boję się, jestem e^x

I tak spokojna e^x została. Wpada operator.

- Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!

- A proszę bardzo - jestem e^x - nic mi nie grozi.

- Kochana, ja różniczkuję po dy"

Ten iście "nerdowski" dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii "o liczbie e". Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty "dlaczego?" liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej a^x 🙂

Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania

Czytaj dalej

O liczbie e - Część 1 - Dlaczego jest tak "naturalna" - Procent składany

Liczba e

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę e, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego.

e\approx 2.718\ldots

Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów "o liczbie e". Tym samym wzbogacam cykl "dlaczego?". Dowody przeprowadzę "metodą elementarną" - wszak chodzi o "pierwotność / naturalność" e. Będzie kilka dużych "odcinków" - zapraszam 🙂

Nota historyczna

Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach. W matematyce jest wszechobecna! Z powodzeniem dorównuje liczbie \pi. Analiza matematyczna (w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe), funkcje specjalne, analiza zespolona, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna - to najbardziej wyraziste przykłady. W innych naukach ścisłych (np.: ekonomia, fizyka, biologia) liczba e pojawia się w wielu ważnych równaniach, w tym: równanie przewodnictwa cieplnego, wzór barometryczny, rozpady promieniotwórcze, fazory, funkcja falowa w mechanice kwantowejwzrost populacji, procent składany.

Pierwsze informacje na temat liczby e pojawiły się w 1618 roku. Opublikował je John Napier, przygotowując tabele logarytmów. Praca nie zawierała samej stałej, prezentowała niektóre wartości logarytmów na bazie e. Liczbę e w jej dzisiejszej postaci odkrył Jacob Bernoulli. Dokonał tego w 1683 roku analizując własności procentu składanego. Pierwsze udokumentowane wykorzystanie liczby e, wtedy oznaczanej przez b, pojawiło się w latach 1690-1691 (Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens). Wykorzystanie stałej znacząco rozwinął Leonhard Euler oznaczając ją w 1727 roku do dziś wykorzystywanym symbolem e.

Procent składany

Czytaj dalej

Kwadrat skali podobieństwa - dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

Pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa

Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa - fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie "dlaczego" tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco więcej gimnastyki. Pokażę kilka podjeść, w tym osobno "pokryciowe", osobno oparte na całce Riemanna, oraz osobno na bazie przekształcenia liniowego. Na koniec podam bardziej ogólne wnioski co do zmiany pola powierzchni względem znacznie szerszej niż podobieństwo klasy transformacji. Zapraszam 🙂

Czym jest podobieństwo?

Czytaj dalej

Genialny wzór Taylora - czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

"Co to jest różniczka? - zapytano  matematyka.
Różniczka to wyniczek odejmowanka - odpowiedział"
🙂

Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór Taylora, nazywamy często rozwinięciem Taylora funkcji f(x) w otoczeniu punktu x_0, faktycznie "rozwija" funkcję do postaci sumy funkcji elementarnych a_n(x-x_0)^n, stanowiących atomy wielomianów. W efekcie otrzymujemy nie tylko efektywną aproksymację wartości funkcji, ale również nową "łatwiejszą" jej formę.

Wielomian Taylora

Twierdzenie Taylora: Dla funkcji f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} n-razy różniczkowalnej (n\geq 1) w punkcie x_0\in\mathbb{R}, istnieje funkcja h_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, że

f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{wielomian-aproksymacja~f(x)}+\underbrace{h_n(x)(x-x_0)^n}_{reszta}

f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots

\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+h_n(x)(x-x_0)^n

oraz

\displaystyle\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0

Przez f^{(k)}(x) oznaczamy pochodną rzędu k funkcji f(x).

Twierdzenie Taylora nosi nazwę od angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opracował je w 1712 roku. Samą własność wcześniej odkrył James Gregory - dokonał tego w 1671 roku.

Czytaj dalej

Karl Weierstrass i Funkcja Weierstrassa - czyli geometria fraktalna (część 2)

Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) niemiecki matematyk uznawany za "ojca współczesnej analizy matematycznej". Choć minęło już 17 lat, to nadal doskonale pamiętam pierwszy semestr studiów matematycznych i ekspozycję na podstawowe "bardziej abstrakcyjne" twierdzenia, w tym Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Twierdzenie mówi, że "każdy rzeczywisty ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny", i choć brzmi prosto i ogólnie, jest niezwykle przydatnym narzędziem dowodzenia innych wyników metodą nie-wprost (zgodnie ze schematem "załóżmy, że ... wtedy istnieje ciąg ograniczony, że ..., wtedy istnieje podciąg zbieżny, że ..., i z własności ... wynika sprzeczność z założeniem"). Pięknie to (i nie tylko to) wykładał Pan Prof. Dr Hab. Tadeusz Rzeżuchowski - wielkie dzięki Panie Profesorze!

Funkcja Weierstrassa

Większość matematyków z okresu XVIII i XIX wieku uważało, że wszystkie rzeczywiste funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącej części swej dziedziny (poza zbiorem izolowanych punktów). Dosyć naturalny pogląd okazał się jednak fałszywy, co wykazał Weierstrass w 1872 roku, a wcześniej podejrzewali Bernhard Riemann oraz Bernard Bolzano (prawdopodobnie w roku 1830 Bolzano podał kontrprzykład, którego nie opublikował). Funkcja Weierstrassa jest przykładem rzeczywistej funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej w całej dziedzinie (tzn. nie istnieje ani jeden punkt dziedziny, w otoczeniu którego funkcja zachowuje się "normalnie" - np. monotonicznie). Własność nietypowa, a nawet patologiczna! Jednak nie dla fraktali, zatem i nie dla otaczającej nas natury (analogia do nieintuicyjnej mechaniki kwantowej zaskakująco precyzyjnie opisującej rzeczywistość).

{\Large f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)}

gdzie

{\large 0<a<1\qquad ab>1+\frac{3}{2}\pi}

Warto zauważyć, że funkcję Weierstrassa można zapisać w postaci analitycznej (w uproszczeniu - podając wzór).

Funkcja Weierstrassa i fraktale

Poniżej wykres funkcji Weierstrassa na przedziale [-2; 2] - źródło Wikipedia.

Funkcja Weierstrassa

Benoit Mandelbrot mawiał, że "fraktal to zbiór matematyczny (lub inny obiekt ) charakteryzujący się w każdej skali wysoką nieregularnością oraz dużą fragmentacją." W części pierwszej cyklu o "geometrii fraktalnej"odnosząc się do słów Mandelbrota, pisałem, że cechą fraktalną jest nietrywialna struktura obiektu w każdej skali - tzn. powiększanie ujawnia kolejne równie skomplikowane formy. Wspomniałem również o samo-podobieństwie - tzn. sytuacji, gdy w skład obiektu wchodzą jego "mniejsze" kopie. Wykres funkcji Weierstrassa zdaje się spełniać te kryteria - był to pierwszy odkryty fraktal!

Karl Weierstrass - ciekawostki

Weierstrass wykładał w Wałczu oraz w Braniewie. Wikipedia wymienia, że jego uczniami byli: Georg Cantor, Otto Holder, Georg Frobenius, Felix Klein, Hermann Minkowski.

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Przeciwieństwo nieskończoności, Wielkość nieskończenie mała, Wielkość infinitezymalna, Różniczka, Monada, Infinitesimal, Differential - czyli początki rachunku różniczkowego i całkowego

Wielkość nieskończenie mała - Pole koła

Wielkość nieskończenie - geneza powstania

W 17 wieku Newton i Leibniz skonstruowali podstawy rachunku różniczkowego i całkowego. Ich logika opierała się na wykorzystaniu wielkości nieskończenie małej w celu wyznaczenia powierzchni pod krzywą daną równaniem funkcji. Podejście to zakładało istnienie niezerowego elementu nieskończenie małego. Filozof Leibniz poszedł dalej, gdyż ponadto uważał, że cały świat jest zbudowany z tzw. monad, czyli z substancji, które nie mają żadnej postaci, ponieważ są niepodzielne, nie mogą być ani wytworzone ani unicestwione.

Jeszcze przed naszą erą Grecy z sukcesem stosowali metodę wyczerpywania do wyznaczenia pól powierzchni figur geometrycznych. Metoda ta wykorzystywała granice, nie wykorzystywała natomiast wielkości nieskończenie małej. Jednak z metody wyczerpywania wyrosła zasada Cavalieriego, odkryta przez Archimedesa, służąca do wyznaczania objętości brył, która opierała się na argumentacji wielkości niepodzielnej.

Wielkość nieskończenie mała a skala Plancka

Intuicja podpowiada, że wielkość nieskończenie mała powinna być ekstremalnie mała, ale o niezerowym rozmiarze. W świecie praktycznym byłaby to np. wielkość mniejsza od najmniejszej teoretycznie możliwej wielkości do zmierzenia. Np. skala Plancka w fizyce dostarcza teoretycznej granicy pomiaru - nie ma możliwości skonstruowania przyrządu pomiarowego z błędem mniejszym niż skala Plancka, co nie oznacza, że poniżej skali Plancka nic nie istnieje.

Wielkość nieskończenie mała - cykl filmów od Numberphile

Numberphile logo Zapraszam do ciekawego cyklu filmów przygotowanych przez Numberphile na temat wielkości nieskończenie małych.

I na koniec jeszcze ciekawostka od MinutePhysics - Proof Without Words: The Circle.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada