Matematyka w obrazkach #16 - Mathistopheles - Atraktor Lorenza :-)

Dziś, przeglądając Twittera, natknąłem się na profil @Mathistopheles - Thomas Oléron Evans. Zdjęcie profilowe jest genialne - wykonane na bazie Atraktora Lorenza - musiałem dodać do cyklu "Matematyka w obrazkach" 🙂 Równie ciekawe jest zdjęcie w tle 🙂

Atraktor Lorenza

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Personalizowany kubek MathSpace.PL :-)

Kubek na bazie motywu "Matematyka w obrazkach #11 - Dobre argumenty to podstawa". Kubek wygląda świetnie 🙂

Personalizowany kubek MathSpace.PL

Personalizacja kubka

  • Imię / nick / ... w chmurce;
  • Dedykowany wzór / formuła w chmurce;

Jak otrzymać kubek?

Warunki, które musisz spełnić:

  • Polubienie profilu MathSpace.PL na Facebooku lub Twitterze lub subskrypcja newslettera;
  • Przesłanie wiadomości (Facebook, Twitter, mail) o chęci zamówienia kubka + opis personalizacji;
  • Zapoznanie się z procesem zamówienia kubka.

Jak wygląda proces zamówienia kubka?

  • Jestem autorem projektu + dokonuję wskazanej personalizacji;
  • Kubki zamawiam w Waszym imieniu poprzez fotokubek.net: kubek biały reklamowy 330 ml z nadrukiem;
  • Nie zarabiam na kubkach!!! Zamawiając poniesiesz opłatę zgodnie z cennikiem fotokubek.net + koszt wysyłki;
  • Otrzymujesz kubek, nie udostępniam projektu (graficznego) kubka;
  • Dodatkowe informacje w indywidualnej korespondencji.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Zero Silnia - czyli dlaczego 0!=1?

Artykuł "Mnożenie liczb ujemnych - czyli dlaczego minus razy minus daje plus?" cieszy się ogromnym zainteresowaniem (np. w piątek 21.10.2016 został pobity rekord, mianowicie tylko w tym jednym dniu 350 unikalnych użytkowników zapoznało się z treścią wpisu). Będąc świadomym, że dla wielu z Was ważne jest zrozumienie motywacji stojącej za podstawowymi definicjami, postanowiłem rozpocząć nowy cykl "Dlaczego?". Nowa seria skupi się na powszechnie znanych zagadnieniach, których wyjaśnienie nie jest już takie oczywiste. 🙂 Dziś na tapetę idzie zero silnia! Przedstawię kilka argumentacji - w tym coś dla mniej i coś dla bardziej zaawansowanych! Będzie hardcorowo 🙂

Zero silnia równa się jeden / 0!=1

Silnia - definicja

W celu przypomnienia

n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1

Przykłady

4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24

3!=3\cdot 2\cdot 1=6

2!=2\cdot 1=2

1!=1

0!=??? - no właśnie 🙂 - do tego wrócę za chwilkę!

Silnia jako liczba permutacji

W uproszczeniu permutacja zbioru (mówimy o zbiorach skończonych) to funkcja wyznaczająca kolejność jego elementów. Np. {1,2,3,4}, {2,4,1,3}, {4,3,2,1} ... są różnymi permutacjami zbioru {1,2,3,4}.

W ogólnym przypadku - jeśli mamy do czynienia ze zbiorem n-elementowym otrzymujemy:

  • n sposobów wyboru elementu 1 (bo mamy do dyspozycji cały zbiór)
  • n-1 sposobów wyboru elementu 2 (bo pierwszy jest już wybrany, pozostało n-1)
  • n-2 sposobów wyboru elementu 3 (bo 2 pierwsze są już wybrane, pozostało n-2)
  • ...
  • n-(k-1) sposobów wyboru elementu k (bo k-1 pierwszych jest już wybranych, pozostało n-(k-1) )
  • ...
  • 2 sposoby wyboru elementu n-1 (bo n-2 elementy wybrano, pozostały wolne 2)
  • 1 sposób wyboru elementu n (bo n-1 elementów wybrano, pozostał wolny tylko 1)

i finalnie liczba różnych uporządkowań zbioru n-elementowego wynosi:

{\small n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1=n!}

Zatem interpretacja n! to liczba permutacji (czyli liczba różnych uporządkowań) zbioru n-elementowego.

No dobrze - ale jak to pomaga w ustaleniu 0! (zero silnia)? Przecież ciężko mówić o kolejności elementów zbioru pustego... Do tego wrócę również nieco później 🙂

Wariacja bez powtórzeń

Brrr - paskudna ta nazwa - ale ok - spróbujmy. Mówimy, że wybór dokładnie k-różnych elementów, zwracając uwagę na kolejność, ze zbioru n-elementowego, jest k-elementową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego. Przykłady różnych 3-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru {1,2,3,4,5} to: {1,2,3}, {3,2,1},{4,5,2},...

Liczbę V_n^k k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyznaczymy na bazie:

  • n sposobów wyboru elementu 1
  • n-1 sposobów wyboru elementu 2
  • n-2 sposobów wyboru elementu 3
  • ...
  • n-(k-1) sposobów wyboru elementu k

i finalnie

{\large V_n^k}={\small n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg)}

ale

{\small n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots\times \big(n-(k-1)\big)}=...

={\small\frac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots\times \big(n-(k-1)\big)\times (n-k)\times \ldots \times 2\times 1}{(n-k)\times \ldots \times 2\times 1}}=...

...=\frac{n!}{(n-k)!}

Zatem

{\large V_n^k=}{\Large\frac{n!}{(n-k)!} }

0! = 1 (słownie: zero silnia równa się jeden)

Zauważmy, że n-elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest w zasadzie jego permutacją, zatem liczba takich wariacji będzie równa liczbie permutacji, co zapisujemy:

{\large V_n^n=n!}

ale

{\large V_n^n=}{\Large \frac{n!}{(n-n)!}}={\Large \frac{n!}{0!}}

w konsekwencji

n!={\large \frac{n!}{0!}}

{0!\cdot n!=n!}

{\Large 0!=1}

Powyższe uzasadnia, że przyjęcie 0!=1 jest wygodne, gdyż zapewnia "spójność" podstawowych wzorów. Ale czy stoi za tym coś więcej?

!!! Dalsza część dla nieco bardziej zaawansowanych czytelników !!!

Funkcja jako odwzorowanie zbiorów

Funkcja "- schemat

Funkcja f:A\to B, gdzie dla każdego a \in A istnieje f(a)=b\in B wyznacza tak naprawdę relację pomiędzy elementami a i b. Przy takim podejściu możemy powiedzieć, że elementy a\in A oraz b\in B są w relacji f wtedy i tylko wtedy gdy f(a)=b.

Funkcja jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego

Funkcję f:A\to B możemy potraktować jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B, co symbolicznie zapiszemy f\subseteq A\times B

(a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b

Dobrym przykładem jest wykres funkcji rzeczywistej, który jest podzbiorem płaszczyzny.

Iniekcja - czyli funkcja różnowartościowa

Funkcja "1-1" różnowartościowa - Iniekcja

Iniekcja to inaczej funkcja różnowartościowa, tzn. funkcja f:A\to B jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych elementów x,y\in A spełniony jest warunek

x\neq y \implies f(x) \neq f(y)

Surjekcja - czyli funkcja "na"

Funkcja "na" - Surjekcja

Surjekcja to taki przypadek funkcji f:A\to B, że każdy element zbioru B ma swój odpowiednik w zbiorze A. Formalnie zapiszemy to tak

{\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in A}\quad}f(a)=b

Bijekcja - czyli funkcja odwracalna (wzajemnie jednoznaczna)

Funkcja odwracalna "1-1" i "na" - Bijekcja

Bijekcja to funkcja f:A\to B, która jednocześnie spełnia warunek iniekcji oraz surjekcji, tzn. jest różnowartościowa oraz "na". Bijekcja jest funkcją odwracalną i wyznacza odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru A na zbiór B (każdy element zbioru A jest jednoznacznie przypisany do elementu zbioru B, oraz każdy element zbioru B ma jednoznaczny odpowiednik w zbiorze A).

Bijekcja vs Permutacja

Permutacja jest funkcją zwracająca uporządkowanie zbioru, tzn. jeśli rozważamy n-elementowy zbiór {1, 2, ..., n} to permutacja będzie funkcją

p:\{1, 2, ..., n\}\to\{1, 2, ..., n\}

spełniającą warunek bijekcji. Pytając o liczbę permutacji możemy równoważnie pytać o liczbę różnych bijekcji z danego zbiory w samego siebie.

Funkcja pusta f:\emptyset\to B

Funkcją pustą nazywamy każdą funkcję, której dziedziną jest zbiór pusty.

f:\emptyset\to B

Wykres funkcji pustej jest zbiorem pustym, gdyż iloczyn kartezjański \emptyset\times B=\emptysetFunkcja pusta jest różnowartościowa, gdyż w dziedzinie (czyli w zbiorze pustym) nie istnieją takie dwa różne elementy, dla których wartość funkcji jest równa.

Funkcja pusta f:\emptyset\to \emptyset

Funkcja pusta f:\emptyset\to \emptyset jest bijekcją, gdyż nie istnieje element przeciwdziedziny (przeciwdziedzina jest zbiorem pustym) nie będący w relacji z elementem dziedziny. Zauważmy, że istnieje dokładnie jedna bijekcja f:\emptyset\to \emptyset, co wynika z faktu, że funkcja jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego dziedziny i przeciwdziedziny. W przypadku rozważanej funkcji pustej f:\emptyset\to \emptyset wspominany iloczyn kartezjański to zbiór pusty \emptyset\times\emptyset=\emptyset, który ma dokładnie jeden podzbiór - również zbiór pusty.

0! = 1 vs funkcja pusta f:\emptyset\to \emptyset

Pisałem wyżej, że liczbę permutacji zbioru n-elementowego można utożsamiać z liczbą bijekcji z tego zbioru w samego siebie. Tym samym permutacjom zbioru 0-elementowego odpowiadają bijekcje ze zbioru pustego w zbiór pusty - a taka funkcja jest dokładnie jedna! 🙂 Trochę abstrakcyjne, ale się zgadza 🙂

Funkcja Gamma (zwana również gammą Eulera) - czyli silnia dla liczb rzeczywistych i zespolonych

Funkcja Gamma - źródło Wikipedia

Funkcja Gamma jest funkcją, która rozszerza pojęcie silni na cały zbiór liczb rzeczywistych, a nawet zespolonych!

\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt

 Okazuje się (po scałkowaniu przez części), że

\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)

oraz

\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=...

...=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt=...

...=[e^{t}]_{-\infty}^{0}=...

...=e^0-e^{-\infty}=1-0=1

 \Gamma(1)=1

Z powyższego wynika, że dla wszystkich całkowitych liczb n\geq 0 zachodzi

 {\Gamma(n+1)=n!}

 {\large0!=\Gamma(1)=1}

Kolejne bardzo ciekawe spostrzeżenie, że {0!} ma związek z funkcją eksponencjalną!!

Funkcja eksponencjalna

Zwięzek liczby e oraz silni jest nawet większy!

e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots

Obiecałem, że będzie hardcorowo - i było 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Pierwsze urodziny MathSpace.pl

MathSpace.pl - pierwsze urodziny!

Pierwszy wpis pojawił się 20 października 2015.

Przez rok opublikowałem 57 artykułów, znaczna część zamieszczona w 6 seriach:

Każdego dnia blog odwiedza około 40-50 osób - to niezły wynik zważywszy na raczej niełatwą tematykę 🙂

Google docenił MathSpace.pl, w efekcie dla szeregu zapytań blog pozycjonowany jest bardzo wysoko.

Dziękuję! 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Richard Feynman - Bo to jest tak, że ja muszę rozumieć świat

Richard Phillips Feynman (1915-1988) - amerykański fizyk teoretyk, niezwykle charyzmatyczna postać, nauczyciel, filozof, aktor, showman, laureat nagrody nobla z fizyki (1965 r. - tzw. diagramy Feynmana), osoba wyprzedzająca swoją epokę o całe dekady, również w kwestii nauk informacyjnych. Feynman przewidując, że klasyczne komputery nie będą w stanie rozwiązać wielu problemów, opracował podstawy komputerów kwantowych. Mistrz uwzględnienia innej perspektywy / innego punktu widzenia. Poniżej kilka cytatów autorstwa Feynmana wraz z wybranymi wywiadami / wykładami. Szczególnie polecam serię "Fun to imagine" zarejestrowaną przez BBC w roku 1983 - a najbardziej część "Why?" 🙂

Richard Feynman - źródło Wikipedia

"Widzisz tego ptaka? - mówił. - To gajówka Spencera (wiedziałem, że nie zna prawdziwej nazwy). - Widzisz, po włosku to jest Chutto Lapittida. Po portugalsku - Bom da Peida. Po chińsku - Chung-long-tah, a po japońsku - Katano Tekeda. Możesz poznać nazwy tego ptaka we wszystkich językach świata, ale kiedy już się ich nauczysz, nie będziesz miał o nim bladego pojęcia. Będziesz tylko wiedział, że ludzie w różnych miejscach świata tak go nazywają. Więc popatrzmy sobie na ptaszka i zobaczmy, co robi, bo to się właśnie liczy. (Bardzo wcześnie nauczyłem się, jaka jest różnica między poznaniem nazwy jakiegoś przedmiotu a wiedzą o nim)."

Richard Feynman

 

"Bo to jest tak, że ja muszę rozumieć świat."

Richard Feynman

 

"Jest coś niedobrego z ludźmi: nie uczą się przez zrozumienie, tylko jakoś inaczej, pewnie na pamięć. Ich wiedza jest taka krucha!"

Richard Feynman

 

"Temu, kto nie zna matematyki, trudno spostrzec głębokie piękno przyrody."

Richard Feynman

 

"Nauka to wiara w ignorancję ekspertów."

Richard Feynman

 

"Przecież myślenie to tak, jakby się mówiło do siebie, w środku."

Richard Feynman

 

"Nie wydaje mi się, by ten fantastycznie cudowny wszechświat, ta ogromna przestrzeń istniejąca przez tyle czasu oraz różne gatunki zwierząt, wszystkie te rozmaite planety i atomy z wszystkimi ich ruchami, i tak dalej, aby ten cały skomplikowany świat był jedynie sceną stworzoną po to, by Bóg mógł obserwować ludzi walczących o dobro i zło - a taki jest właśnie pogląd religijny. Ta scena jest zbyt duża jak na ten dramat. "

Richard Feynman

 

"Wydaje mi się, że znacznie ciekawiej jest żyć nie wiedząc, niż znać odpowiedzi, które mogą być błędne."

Richard Feynman

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada