Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Rozkład jednostajny na odcinku $$(0,1)$$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.

Uniform Sum Distribution

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$ jest opisany poniższą funkcją gęstości.

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$

Pisząc $$X\sim U(a,b)$$ oznaczamy, że zmienna losowa $$X$$ ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$. Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości $$0$$ lub $$\frac{1}{b-a}$$ w punktach $$x=a$$ i $$x=b$$ jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #20 – Optimus Prime

W nawiązaniu do liczb pierwszych, którym poświęcony był wczorajszy wpis „Liczba π ukryta w liczbach pierwszych”, prezentuję postać z uniwersum Transfomers. Szanowni Czytelnicy – w cyklu „Matematyka w obrazkach”„Jego Królewska Mość”Optimus Prime – przywódca Autobotów 🙂

Optimus Prime Numbers

Pozdrowienia 🙂

Mariusz Gromada

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba $$\pi$$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $$\pi$$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest $$\pi$$?

  • $$\pi$$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • $$\pi$$ to pole powierzchni koła o promieniu $$1$$.
  • $$\pi$$ to połowa obwodu koła o promieniu $$1$$.
  • $$\pi$$ to $$\frac{1}{4}$$ pola powierzchni sfery o promieniu $$1$$.
  • $$\pi$$ to $$\frac{3}{4}$$ objętości kuli o promieniu $$1$$.
  • $$k\pi$$ dla całkowitych $$k$$ to miejsca zerowe funkcji $$\sin x$$.
  • … i wiele innych …

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna $$n\in\mathbb{N}$$ większa od $$1$$, której jednymi dzielnikami są $$1$$ oraz $$n$$.
  • Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $$n-tej$$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #19 – Oko Mandelbrota

W cyklu „Matematyka w obrazkach” – nowe logo MathSpace.pl

Motywacja

Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o „Geometrii fraktalnej” – wpis „Fraktalne oblicze natury”.

„Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze.”

Michael F. Barnsley

 

„W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć”

Benoit Mandelbrot

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza

Tetracja - definicja

Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator)

Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie.

Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $$a>0$$ i nieujemnej liczby całkowitej $$n\geq 0$$ tetrację $$n$$ liczby $$a$$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$$

Przykłady

$${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$$

$${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$$

$${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$

$${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂

Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład $${^{4}3}$$. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.

Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej $$a>0$$ i nieujemnej liczby całkowitej $$n\geq 0$$ tetrację $$n$$ liczby $$a$$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a^{{^{n-1}a}}&\text{dla}\quad n\geq 1\end{cases}$$

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #17 – Pitagoras vs Einstein

Po dłuższej przerwie zaczynam od czegoś lekkiego – dziś w cyklu „Matematyka w obrazkach” pojedynek geometrii euklidesowej ze szczególną teorią względności 🙂

Pitagoras vs Einstein

Ciekawostki o pewnych równoważnościach:

  • Twierdzenie Pitagorasa jest równoważne z V aksjomatem geometrii euklidesowej, (tzw. Postulatem Euklidesa, inaczej postulatem równoległości).
  • $$E=mc^2$$ wywodzi się ze szczególnej teorii względności opracowanej przez Alberta Einsteina przedstawiając dwa różne typy równoważności masy i energii:
    • Równoważność masy i energii spoczynkowej.
    • Równoważność masy relatywistycznej (choć to sztuczny termin i relikt – masa jest jedna!) i energii całkowitej.
  • Ogólna teoria względności jest uogólnieniem szczególnej teorii względności. Korzysta ona między innymi z metod geometrii nieeuklidesowej (np. stwierdzenie, że siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni). Zatem, w pewnym sensie, powyższy pojedynek to starcie między geometrią euklidesową a geometrią nieeuklidesową 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Matematyka w obrazkach #16 – Mathistopheles – Atraktor Lorenza :-)

Dziś, przeglądając Twittera, natknąłem się na profil @Mathistopheles – Thomas Oléron Evans. Zdjęcie profilowe jest genialne – wykonane na bazie Atraktora Lorenza – musiałem dodać do cyklu „Matematyka w obrazkach” 🙂 Równie ciekawe jest zdjęcie w tle 🙂

Atraktor Lorenza

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Personalizowany kubek MathSpace.PL :-)

Kubek na bazie motywu „Matematyka w obrazkach #11 – Dobre argumenty to podstawa”. Kubek wygląda świetnie 🙂

Personalizowany kubek MathSpace.PL

Personalizacja kubka

  • Imię / nick / … w chmurce;
  • Dedykowany wzór / formuła w chmurce;

Jak otrzymać kubek?

Warunki, które musisz spełnić:

  • Polubienie profilu MathSpace.PL na Facebooku lub Twitterze lub subskrypcja newslettera;
  • Przesłanie wiadomości (Facebook, Twitter, mail) o chęci zamówienia kubka + opis personalizacji;
  • Zapoznanie się z procesem zamówienia kubka.

Jak wygląda proces zamówienia kubka?

  • Jestem autorem projektu + dokonuję wskazanej personalizacji;
  • Kubki zamawiam w Waszym imieniu poprzez fotokubek.net: kubek biały reklamowy 330 ml z nadrukiem;
  • Nie zarabiam na kubkach!!! Zamawiając poniesiesz opłatę zgodnie z cennikiem fotokubek.net + koszt wysyłki;
  • Otrzymujesz kubek, nie udostępniam projektu (graficznego) kubka;
  • Dodatkowe informacje w indywidualnej korespondencji.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada