Kategoria: Ciekawostki

Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

2 października 2017 by Mariusz Gromada·0 Comments

Rozkład jednostajny na odcinku $(0,1)$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $(a,b)$ jest opisany poniższą funkcją gęstości.

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$

Pisząc $X\sim U(a,b)$ oznaczamy, że zmienna losowa $X$ ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku $(a,b)$. Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości $0$ lub $\frac{1}{b-a}$ w punktach $x=a$ i $x=b$ jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.

Matematyka w obrazkach #20 – Optimus Prime

26 września 2017 by Mariusz Gromada·0 Comments

W nawiązaniu do liczb pierwszych, którym poświęcony był wczorajszy wpis „Liczba π ukryta w liczbach pierwszych”, prezentuję postać z uniwersum Transfomers. Szanowni Czytelnicy – w cyklu „Matematyka w obrazkach” – „Jego Królewska Mość” – Optimus Prime – przywódca Autobotów 🙂

Pozdrowienia 🙂

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

25 września 2017 by Mariusz Gromada·13 komentarzy

Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.

Czym jest $\pi$?

$\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
$\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$.
$\pi$ to połowa obwodu koła o promieniu $1$.
$\pi$ to $\frac{1}{4}$ pola powierzchni sfery o promieniu $1$.
$\pi$ to $\frac{3}{4}$ objętości kuli o promieniu $1$.
$k\pi$ dla całkowitych $k$ to miejsca zerowe funkcji $\sin x$.
… i wiele innych …

Czym są liczby pierwsze?

Liczba pierwsza to liczba naturalna $n\in\mathbb{N}$ większa od $1$, której jednymi dzielnikami są $1$ oraz $n$.
Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $n-tej$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.

Dobry start po wakacjach!

12 września 2017 by Mariusz Gromada·0 Comments

Jak na załączonym obrazku 🙂 Dzienna liczba czytelników MathSpace.pl przekracza 250, przed wakacjami oscylowała w granicach 100.

Pozdrawiam Was matematycznie 🙂

$${\Huge B>\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}$$

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Matematyka w obrazkach #19 – Oko Mandelbrota

4 września 2017 by Mariusz Gromada·2 komentarze

W cyklu „Matematyka w obrazkach” – nowe logo MathSpace.pl

Motywacja

Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o „Geometrii fraktalnej” – wpis „Fraktalne oblicze natury”.

„Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze.”

Michael F. Barnsley

„W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć”

Benoit Mandelbrot

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Matematyka w obrazkach #18 – Pizza Infinito

27 sierpnia 2017 by Mariusz Gromada·0 Comments

Pizza Infinito w cyklu „Matematyka w obrazkach” – smacznego 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza

27 sierpnia 2017 by Mariusz Gromada·4 komentarze

Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator)

Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie.

Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$$

Przykłady

$${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$$

$${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$$

$${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$

$${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂

Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład ${^{4}3}$. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.

Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a^{{^{n-1}a}}&\text{dla}\quad n\geq 1\end{cases}$$

Matematyka w obrazkach #17 – Pitagoras vs Einstein

13 sierpnia 2017 by Mariusz Gromada·10 komentarzy

Po dłuższej przerwie zaczynam od czegoś lekkiego – dziś w cyklu „Matematyka w obrazkach” pojedynek geometrii euklidesowej ze szczególną teorią względności 🙂

Ciekawostki o pewnych równoważnościach:

Twierdzenie Pitagorasa jest równoważne z V aksjomatem geometrii euklidesowej, (tzw. Postulatem Euklidesa, inaczej postulatem równoległości).
$E=mc^2$ wywodzi się ze szczególnej teorii względności opracowanej przez Alberta Einsteina przedstawiając dwa różne typy równoważności masy i energii:
- Równoważność masy i energii spoczynkowej.
- Równoważność masy relatywistycznej (choć to sztuczny termin i relikt – masa jest jedna!) i energii całkowitej.
Ogólna teoria względności jest uogólnieniem szczególnej teorii względności. Korzysta ona między innymi z metod geometrii nieeuklidesowej (np. stwierdzenie, że siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni). Zatem, w pewnym sensie, powyższy pojedynek to starcie między geometrią euklidesową a geometrią nieeuklidesową 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Matematyka w obrazkach #16 – Mathistopheles – Atraktor Lorenza :-)

19 lutego 2017 by Mariusz Gromada·0 Comments

Dziś, przeglądając Twittera, natknąłem się na profil @Mathistopheles – Thomas Oléron Evans. Zdjęcie profilowe jest genialne – wykonane na bazie Atraktora Lorenza – musiałem dodać do cyklu „Matematyka w obrazkach” 🙂 Równie ciekawe jest zdjęcie w tle 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Personalizowany kubek MathSpace.PL :-)

19 lutego 2017 by Mariusz Gromada·0 Comments

Kubek na bazie motywu „Matematyka w obrazkach #11 – Dobre argumenty to podstawa”. Kubek wygląda świetnie 🙂

Personalizacja kubka

Imię / nick / … w chmurce;
Dedykowany wzór / formuła w chmurce;

Jak otrzymać kubek?

Warunki, które musisz spełnić:

Polubienie profilu MathSpace.PL na Facebooku lub Twitterze lub subskrypcja newslettera;
Przesłanie wiadomości (Facebook, Twitter, mail) o chęci zamówienia kubka + opis personalizacji;
Zapoznanie się z procesem zamówienia kubka.

Jak wygląda proces zamówienia kubka?

Jestem autorem projektu + dokonuję wskazanej personalizacji;
Kubki zamawiam w Waszym imieniu poprzez fotokubek.net: kubek biały reklamowy 330 ml z nadrukiem;
Nie zarabiam na kubkach!!! Zamawiając poniesiesz opłatę zgodnie z cennikiem fotokubek.net + koszt wysyłki;
Otrzymujesz kubek, nie udostępniam projektu (graficznego) kubka;
Dodatkowe informacje w indywidualnej korespondencji.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)