Matematyka w obrazkach #8 - równanie pi + e = Sudoku :-)

Dziś, w ramach cyklu "Matematyka w obrazkach"chciałbym Wam zaprezentować "autorskie równanie" 🙂

\pi + e = \text{Sudoku}

Zależność powyższą "wyprowadziłem" wykorzystując bibliotekę "Janet Sudoku"!

PI + e Sudoku

Dodatkowo załączam wersję tekstową - przydatną jeśli zechcecie przeanalizować / rozwiązać łamigłówkę samodzielnie  (np. przy wykorzystaniu Janet Sudoku Solver'a).

# Pi + e = Sudoku

+-------+-------+-------+
| . . 4 | 1 5 9 | 2 . . |
| . 1 . | . . . | . 6 . |
| 3 . . | . . . | . . 5 |
+-------+-------+-------+
| 4 . . | . 8 . | . . 3 |
| . 8 . | 2 . 1 | . 5 . |
| . . 3 | . 7 . | 8 . . |
+-------+-------+-------+
| . . 2 | . . . | 9 . . |
| . . . | 3 . 7 | . . . |
| 7 . . | . 9 . | . . 8 |
+-------+-------+-------+

# One line definition:
# ..41592...1.....6.3.......54...8...3.8.2.1.5...3.7.8....2...9.....3.7...7...9...8
# 004159200010000060300000005400080003080201050003070800002000900000307000700090008

# Janet-Sudoku-v.1.1.1, 2016-04-19 22:28:15

Janet Sudok

Pozdrowienia,
Mariusz Gromada

Mnożenie liczb ujemnych - czyli dlaczego minus razy minus daje plus

Minus razy minus daje plus

Z pewnością każdy wie, że wynikiem mnożenia liczb ujemnych jest liczba dodania. Formułka "minus razy minus daje plus" była nam wtłaczana do głów w trakcie wczesnych lat szkolnych. Nauczyciele zapomnieli jednak wyjaśnić dlaczego tak właśnie jest, oraz przybliżyć motywację matematyków definiujących arytmetykę liczb ujemnych.

Mnożenie jako skrócone dodawanie

Mówi się, że mnożenie to skrócone dodawanie, co jest w zupełności prawdą i, przy ograniczeniu do liczb całkowitych, faktem dosyć oczywistym.

3\times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12

Mnożenie jest przemienne i rozdzielne względem dodawania

Te dwie fundamentalne własności mnożenia zapisujemy jako

przemienność a\times b = b\times a

przykład 3\times 4 = 4\times 3=12

rozdzielność a\times (b+c)=a\times b + a\times c

przykład 3\times 4 = 3\times (1+3) = 3\times 1 + 3\times 3 = 3 + 9 = 12

Mnożenie liczb ujemnych z punktu widzenia matematyka

Matematycy, definiując arytmetykę liczb ujemnych, chcieli zachować spójność z już rozwiniętą arytmetyką liczb dodatnich i zera. Opierając się na interpretacji skróconego dodawania łatwo uzasadniamy następujące:

-3\times 4 = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12

"Dodając dług do długu" otrzymujemy większy dług - intuicyjne. Teraz wykorzystując przemienność mnożenia otrzymujemy:

4\times (-3)=-3\times 4=-12

W tym momencie z intuicją już trochę trudniej, natomiast spójność została zachowana. Czas przejść do meritum - tzn spróbujmy odpowiedzieć na pytanie:

-3\times (-4)=?

Do rozwiązania powyższego zastosujemy trick na bazie rozdzielność mnożenia względem dodawania.

-3\times 0=0

-3\times 0=-3\times(-4+4)=0

-3\times(-4+4)=-3\times (-4)+(-3)\times 4=0

-3\times(-4)+(-12)=0

-3\times(-4)=12

Powyższe z intuicją nie ma nic wspólnego, jednak jest spójne, tzn. na bazie arytmetyki liczb dodatnich i zera, przemienności mnożenia, rozdzielności mnożenia względem dodawania, jesteśmy w stanie uzasadnić dlaczego mnożenie liczb ujemnych musi być liczbą dodatnią.

Mnożenie liczb ujemnych jako zmniejszenie straty

Załóżmy, że mnożymy dwie liczby, gdzie interpretacja pierwszej to wartość zysku bądź starty, natomiast znaczenie drugiej to zwielokrotnienie (zwiększenie / zmniejszenie) pierwszej wartości. W takiej sytuacji mnożenie dwóch liczb ujemnych oznacza zmniejszenie straty, czyli łączny efekt dodatni działania.

Interpretacja zmniejszenia straty

Powyższe wyjaśnienie można określić mianem intuicyjnego 🙂

I na koniec film od Mathologer'a wyjaśniający powyższy problem (materiał, na którym wzorowałem powyższy wpis).

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Kilka statystyk na Wasz temat :-)

Blog MathSpace.pl istnieje nieco ponad 3 miesiące, zatem mogę podzielić się już pierwszymi statystykami dotyczącymi Was 🙂

Szacuję, że na 65% jesteś mężczyzną ...

Twój wiek na 85% nie przekracza 45 lat ...

Mogę powiedzieć, że z prawdopodobieństwem 65% mieszkasz w Polsce ...

I jeśli faktycznie mieszkasz w Polsce, to na 40% mieszkasz w Warszawie 🙂

MathSpace.pl - Użytkownicy - Miejscowości - Poslak

Na koniec miejscowości, z których pochodzą użytkownicy MathSpace.pl

MathSpace.pl - Użytkownicy - Miejscowości - Świat

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Spirala Ulama (spirala liczb pierwszych) - część 2 - czyli funkcja kwadratowa i zabawy z rekurencją (część 5)

W części 1 wpisu na temat Spirali Ulama zaznaczyłem, że efekt wizualnego ułożenia liczb pierwszych na diagonalach spirali kwadratowej jest konsekwencją głównie dwóch własności:

  1. Na przekątnych są albo same liczby parzyste, albo same liczby nieparzyste, zatem tylko diagonale z liczbami nieparzystymi będą agregować liczby pierwsze;
  2. Niektóre diagonale zagęszczają bardziej liczby pierwsze niż inne, co wynika z zależności pomiędzy przekątnymi i funkcją kwadratową oraz faktem, że niektóre funkcje kwadratowe generują więcej liczb pierwszych niż inne.

Dzisiejszy tekst poświęcę przybliżeniu własności nr 2.

Wielomiany i rekurencja

Funkcja kwadratowa i rekurencja

Dla wielomianów możemy zawsze podać ich postać rekurencyjną, Jest to własność mało znana, jednak dosyć prosta w uzasadnieniu. Pokażę to na przykładzie funkcji kwadratowej, jednocześnie wzbogacając cykl "Zabawy z rekurencją" 🙂

f(x) = ax^2+bx+c

Rozważmy następnie równanie

f(x+1)=f(x)+Bx+C

Podstawiając i upraszczając...

a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+bx+c+Bx+C

ax^2+2ax+a+bx+b+c=ax^2+bx+c+Bx+C

2ax+a+b=Bx+C

2a=B    oraz    a+b=C

otrzymujemy

a=\frac{B}{2}    oraz    b=C-a

Następnie analizując f(1) mamy

f(1)=a+b+c    zatem    c=f(1)-a-b

c=f(1)-a-(C-a)=f(1)-C

Wniosek: jeśli znana jest relacja rekurencyjna f(x+1)=f(x)+Bx+C oraz znamy wartość f(1) to jesteśmy w stanie jednoznacznie wskazać równanie kwadratowe ax^2+bx+c spełniające daną zależność rekurencyjna, gdzie

a=\frac{B}{2},    b=C-a,    c=f(1)-C

Uogólnienia dokonujemy na bazie dwumianu Newtona

(x+1)^n = {n\choose 0}x^n+{n\choose 1}x^{n-1}+{n\choose 2}x^{n-2}+\ldots+{n\choose {n-1}}x+{n\choose n}

Funkcja kwadratowa i linie proste / przekątne na spirali Ulama

Poniżej spróbuję pokazać w jaki sposób "nawiajnie prostej na kwadrat" sprawia, że parabole w efekcie otrzymują kształt linii prostych.

Przykład 1 - Pionowa prosta

Spirala Ulama - równanie prostej 1

Zapisujemy zależność rekurencyjną

f(1)=4

f(2)=f(1)+1+2+3+3+2

f(3)=f(2)+2+3+5+5+3

\ldots

f(n+1)=f(n)+n+2n+(2n+1)+(2n+1)+(n+1)

f(n+1)=f(n)+8n+3

Teraz, korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru, wyznaczamy współczynniki a, b, c funkcji kwadratowej spełniającej f(n+1)=f(n)+8n+3.

a=\frac{8}{2}=4,    b=3-4=-1,    c=4-3=1

f(n)=4n^2-n+1

Dla testu czy wszystko jest ok sami podstawcie n=1,2,3\ldots

Przykład 2 - Przękątna (linia diagonalna)

Spirala Ulama - równanie prostej 2

Ponownie zapisujemy zależność rekurencyjną, tym razem nieco prostszą.

f(1)=3

f(2)=f(1)+2+2+3+3

f(3)=f(2)+4+4+5+5

\ldots

f(n+1)=f(n)+n+2n+2n+(2n+1)+(2n+1)

f(n+1)=f(n)+8n+2

Korzystając ze znanego wzoru wyznaczamy a, b, c dla f(n+1)=f(n)+8n+2.

a=\frac{8}{2}=4,    b=2-4=-2,    c=3-2=1

f(n)=4n^2-2n+1

W kolejnej części cyklu "o Spirali Ulama" podam wzory kilku przekątnych (czyli funkcji kwadratowych) generujących nienaturalnie dużo liczb pierwszych 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Spirala Ulama (spirala liczb pierwszych) - część 1

W 1963 polski matematyk Stanisław Ulam uprzyjemniał sobie czas spędzany w trakcie "bardzo długiego i bardzo nudnego" wykładu. Rekreacja polegała na takim wypisywaniu kolejnych liczby naturalnych 1, 2, 3, ..., aby finalny kształt utworzył "spiralę kwadratową" . Poniżej przykład dla pierwszych 49 liczba naturalnych, spirala oczywiście nie kończy się na 49, chodzi jedynie o zobrazowanie zasady.

Spirala Ulama

W kolejnym kroku na tak przygotowanej "tablicy" Ulam oznaczył wszystkie liczby pierwsze

Spirala Ulamanastępnie usuwając pozostałe.

Spirala UlamaW tym momencie jego oczom ukazał się niezwykle ciekawy i nieznany dotąd wzór - tendencja do układania się liczb pierwszych na "przekątnych / liniach diagonalnych". Lepiej to obrazuje spirala wygenerowana dla znacznie większego zakresu liczb.

Spirala Ulama

Każdy z Was może wygenerować podobną spiralę używają np. tego generatora.

Spirala Ulama i parzystość / nieparzystość liczb

Nietrudno zauważyć, że na liniach diagonalnych leżą albo same liczby parzyste, albo same liczby nieparzyste. Liczby pierwsze, poza 2, są nieparzyste - zatem nic dziwnego, że układają się na przekątnych reprezentujących liczby nieparzyste. Zaskakujące jest natomiast to, że niektóre diagonale zawierają ich znacznie więcej niż inne.

Spirala Ulama i wielomiany kwadratowe

Badania nad spiralą Ulama pokazały, że wzory przez nią ujawnione mają związek z generację przez niektóre funkcje kwadratowe nienaturalnie dużej liczby liczb pierwszych (ang. prime-rich quadratic polynomials), tzn. dla niektórych f(x)=ax^2+bx+c "nienaturalnie" często f(n) jest liczbą pierwszą dla n\in\mathbb{N}. Diagonale mogą być reprezentowane przez wielomiany stopnia 2, co wyjaśniam na poniższym schemacie.

Spirala Ulama i wielomiany stopnia 2

Przeczytaj również:

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada