Egzotyczna hiperkula - czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

"Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? - zapytano matematyka.
To proste - odpowiedział - wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4"
🙂

Hipersześcian i Hiperkula - rzut

Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę - a przez to wydawałoby się - bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania liczby wymiarów na dokonywane pomiary. Jak w zależności od liczby wymiarów zmienia się powierzchnia i objętość kuli? Analogicznie - jak zmienia się maksymalna odległość pomiędzy wierzchołkami kostki? Obiecuję - odpowiedzi będą zaskakujące 🙂

Możesz mieć wrażenie, że to wyłącznie abstrakcyjne rozważania. Czy na pewno? Ja w zasadzie na co dzień analizuję Klientów opisanych szeregiem miar. Poszukiwanie podobieństw, skupień, segmentów czy "najbliższych sąsiadów" niemal w całości opiera się na wielowymiarowej metryce euklidesowej. Zapraszam do pogłębienia wiedzy w tym obszarze:-) Zapewniam - warto!

Czytaj dalej

Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

P=\pi r^2 to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu "Dlaczego?" 🙂 Do dzieła! 🙂

Pole powierzchni koła - wzór

Pole powierzchni koła - wzór

P=\pi r^2

Jak widać powyżej - kwadrat i koło, o tej samej powierzchni, nie są "jakoś intuicyjnie łatwo" powiązane. Więcej - wykazano nawet, że kwadratura koła (procedura wykonywana przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki) jest niewykonalna! I tu pojawia się genialny pomysł z prostokątem 🙂 Nim powiem o co chodzi przyjrzyjmy się co tak naprawdę mówi wzór \pi r^2.

Pole powierzchni kola - Pi r kwadrat

\pi\times r^2 - czyli w kole mieszczą się nieco ponad 3 kwadraty o boku r 🙂

Pole powierzchni koła - dowód przez animację 🙂

Koło - pole powierzchni - animacja

Trochę się napracowałem przy tej animacji 🙂

Pole powierzchni koła - wielokąty foremne

Uwaga - poniższe nie jest dowodem, a obrazuje jedynie sposób wnioskowania stosowany przez Starożytnych Greków (tak np. Archimedes wyznaczał liczbę pi).

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny

Można zauważyć, że obwód n-kąta foremnego opisanego na kole wynosi

O_n=na

a jego pole to suma pól trójkątów o podstawie a i wysokości równej promieniowi koła r.

P_n=n\frac{ar}{2}=\frac{nar}{2}

Podstawiając

P_n=\frac{O_nr}{2}

Gdy n jest coraz większe, P_n coraz dokładniej przybliża pole koła, a O_n jego obwód. W "kroku granicznym" (zagadnienie wielkości nieskończenie małej) otrzymujemy

O_n\to 2\pi r - tu z definicji liczby \pi

P_n\to\frac{2\pi rr}{2}=\pi r^2

Pole powierzchni koła - dowód nieco bardziej formalny

Dowód, który przeprowadzę, nie będzie oparty na całkowaniu równania okręgu. Wykorzystam ciągi i ich granice oraz twierdzenie o trzech ciągach.

Twierdzenie o trzech ciągach

Niech będą dane trzy ciągi rzeczywiste a_n, b_n i c_n. Jeśli "prawie wszędzie" (tzn. pomijając co najwyżej skończenie wiele wyrazów) zachodzi zależność

a_n\leq b_n\leq c_n

oraz

\lim a_n = \lim c_n = g

to

\lim b_n = g

Twierdzenie o trzech ciągach - strona na Wikipedii.

Przyda się również \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Pamiętam jak w szkole średniej, na lekcjach fizyki, mój nauczyciel wielokrotnie przyjmował, że dla małych x funkcję \sin x dobrze przybliża właśnie x. Wynika to z rozwinięcia \sin x w szereg Taylora - wyjaśnienie pomijam. Wyznaczę jednak samą granicę - bo się przyda 🙂

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\big(\frac{0}{0}\big)\text{ reg. de l`Hospitala}=

=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)\prime}{x\prime}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=

=\frac{\cos 0}{1}=\frac{1}{1}=1

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Reguła de l’Hospitala - Wikipedia

Pole powierzchni koła - dowód

Rozważmy n-kąty foremne opisane na kole i wpisane w koło. Pole n-kąta opisanego nazwijmy "polem zewnętrznym" i oznaczmy Z_n. Analogicznie pole n-kąta wpisanego nazwiemy "polem wewnętrznym" oznaczając je W_n.

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny wpisany i opisany

Oczywiście

W_n\leq P\leq Z_n

gdzie P oznacza pole koła.

W kolejnym kroku dzielimy n-kąty na n-trójkątów. Zauważmy, że w ten sposób kąt pełny został również podzielony na n równych części. Pole "trójkąta zewnętrznego" oznaczymy przez T_n, a trójkąta wewnętrznego t_n.

Pole powierzchni koła - awielokąt foremny wpisany i opisany

Z_n=nT_n

W_n=nt_n

Wyznaczamy pole trójkąta "zewnętrznego"

T_n=Ar

ale

\frac{A}{r}=\text{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}

\frac{A}{r}r^2=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}

Ar=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}

T_n=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=r^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}

Wyznaczamy pole trójkąta "wewnętrznego"

t_n=ah

ale

\frac{a}{r}=\sin\beta

a=r\sin\beta

oraz

\frac{h}{r}=\cos\beta

h=r\cos\beta

podstawiając

t_n=r\sin\beta\cdot r\cos\beta=r^2\sin\beta\cos\beta

stosując tożsamości trygonometryczne

t_n=r^2\sin\beta\cos\beta=\frac{r^2}{2}2\sin\beta\cos\beta=

=\frac{r^2}{2}\sin2\beta=\frac{r^2}{2}\sin\alpha

t_n=\frac{r^2}{2}\sin\alpha=\frac{r^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}

Finalne ciągi

Z_n=nT_n=nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}

W_n=nt_n=\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}

Granice ciągów

\lim Z_n=\lim nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}=

=\lim \frac{nr^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=

=\lim \frac{\pi r^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=\frac{\pi r^2}{\cos 0}\cdot 1=

=\frac{\pi r^2}{1}=\pi r^2

\lim Z_n=\pi r^2

\lim W_n=\lim\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}=

\lim \frac{nr^2}{2}\cdot \frac{2\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=

\lim \pi r^2\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=\pi r^2\cdot 1=\pi r^2

\lim W_n=\pi r^2

Wniosek

Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że pole koła to

P=\lim W_n=\lim Z_n=\pi r^2

Tempo zbieżności ciągów W_n oraz Z_n

Pole powierzchni koła - tempo zbieżności ciągów

🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

 

Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

Jestem pewien, że wzór na pole powierzchni trójkąta, tj. P=\frac{1}{2}ah, jest znany niemal wszystkim 🙂  Dzieci, będąc we wczesnym wieku szkolnym, poznają podstawy geometrii, w tym długości obwodów i pola powierzchni figur płaskich. Jeśli interesuje cię dlaczego pole powierzchni trójkąta zależy od długości jego podstawy i wysokości na nią opadającej, to jest to wpis dla Ciebie 🙂 Jednocześnie wzbogacam cykl "Dlaczego?". Zaczynamy!

Pole powierzchni trójkąta - wzór

Trójkąt - Pole powierzchni

Wzór na pole powierzchni trójkąta, choć prosty, to na pierwszy rzut oka nie jest zbyt intuicyjny (no może poza przypadkiem trójkąta prostokątnego). Oto, w jakiś magiczny sposób, dla każdej podstawy, iloczyny ich długości i długości wysokości na nie opadających, są sobie równe - i więcej - określą pole powierzchni ograniczonej trójkątem 🙂

P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}

Pole powierzchni trójkąta - dowód przez animację 🙂 - przypadek 1

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta "opada" na jego podstawę.

 

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 1

Pole powierzchni trójkąta - dowód przez animację 🙂 - przypadek 2

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta "opada" poza jego podstawą.

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 2

Pole powierzchni trójkąta - dowód nieco bardziej formalny

Trójkąt prostokątny: przypadek oczywisty, nie wymaga wyprowadzenia 🙂

Trójkąt - Pole powierzchni - Trójkąt prostokątny

P=\frac{ab}{2}

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta "opada" na jego podstawę.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 1

Wyprowadzenie wzoru:

P=P_1+P_2

2P_1+2P_2=ah

P_1+P_2=\frac{ah}{2}

P=\frac{ah}{2}

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta "opada" poza jego podstawą.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 2

Wyprowadzenie wzoru:

P+P_1=P_2

P=P_2-P_1

P_1=\frac{xh}{2}

P_2=\frac{(a+x)h}{2}=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}

P=P_2-P_1=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}-\frac{xh}{2}=\frac{ah}{2}

P=\frac{ah}{2}

Koniec na dziś 🙂

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Georg Cantor i trójkowy zbiór Cantora - czyli geometria fraktalna (część 3)

Georg Cantor - źródło Wikipedia.org

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918) - niemiecki matematyk, który zainicjował (oraz znacząco rozwinął) teorię mnogości. Można powiedzieć, że "Cantor dla teorii mnogości jest tym, kim Mandelbrot dla geometrii fraktalnej". Cantora osobiście zaliczam do grona gigantów matematyki, których koncepcje i wyniki prac znacząco wyprzedzały daną epokę. Cantor jako pierwszy zadał pytanie o rozmiar nieskończoności. Wprawdzie w 17 wieku Newton i Leibniz stosowali pojęcie wielkości nieskończenie małej o niezerowym rozmiarze, co zapoczątkowało rachunek różniczkowy i całkowy - w 2015 roku napisałem na ten temat kilka słów. Ich starania nie były precyzyjne i w zasadzie jedynie "mgliście" wykorzystywały przejście w krok nieskończony, pomijając szereg problemów z tym związanych.

Cantor zajął się prawdziwie aktualną nieskończonością, wprowadzając definicję równoliczności zbiorów (również tych nieskończonych), co pozwoliło uogólnić pojęcie liczności zbioru. Dziś moc zbioru, określana mianem liczby kardynalnej i oznaczana |A|, odnosi się do wskazania zbioru równolicznego (na bazie istnienia bijekcji - czyli jednoznacznego parowania elementów dwóch zbiorów - co działa również w przypadku nieskończonym), którego moc jest znana. Idąc dalej - Cantor w liczbach kardynalnych wprowadził porządek. Powiemy, że |A|\leq |B| jeśli A jest równoliczne z podzbiorem B.

Na mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina otrzymujemy, że

jeśli |A|\leq |B| oraz |B|\leq |A| to |A|=|B|

Wynik genialny, gdyż pozwala porządkować również zbiory nieskończone! Cantor uczynił ten krok, wskazał nieskończoność najmniejszą - tj. nieskończoność zbioru liczb naturalnych. Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy dziś nieskończonymi zbiorami przeliczalnymi o mocy \aleph_0 (czyt. aleph zero).

W 1890 roku Cantor udowodnił przełomowe twierdzenie mówiące, że każdy zbiór ma mniejszą moc niż zbiór jego podzbiorów (zbiór potęgowy).

|A|< |2^A|

Kolejny genialny wynik, dający "generator" coraz to "większych" nieskończoności. Tych większych nieskończoności nie trzeba było szukać bardzo daleko. Analizując zbiór liczb rzeczywistych Cantor stwierdził, że jego nieskończoność znacznie przewyższa nieskończoność liczb naturalnych. Nieskończoność zbioru liczb rzeczywistych nazywamy dziś continuum i oznaczamy \mathfrak{c}.

\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}

Czy istnieje nieskończoność większa od nieskończoności liczb naturalnych oraz mniejsza od nieskończoności liczb rzeczywistych? To pytanie również postawił Cantor, niestety na swoje nieszczęście... Pytanie, nazywane dziś Hipotezą Continuum, doprowadziło Cantora do choroby psychicznej. Cantor do końca życia przekonany był - na zmianę - o prawdziwości / nieprawdziwości hipotezy, co rusz przesyłając dowody potwierdzające / zaprzeczające. Dopiero w 1963 roku Paul Cohen wykazał, że Hipoteza Coninuum jest niezależna od aksjomatów teorii mnogości - czyli, że na bazie tych aksjomatów, nie można jej ani wykazać ani zaprzeczyć...

Zdecydowałem się na ten nieco długi, nie do końca związany z geometrią fraktalną, wstęp, ze względu na wpływ, jaki wywarły na moją osobę idee Georga Cantora. W 2007 roku napisałem artykuł "Od paradoksów do Hipotezy Continuum czyli - Tajemnice Nieskończoności" - zapraszam do lektury wszystkich pragnących zgłębić pojęcie nieskończoności w matematyce.

Polecam również "A Hierarchy of Infinities" - odcinek z serii "PBS Infinite Series".

Zbiór Cantora

Zbiór Cantora jest podzbiorem jednostkowego odcinka powstającym poprzez:

  • podział odcinka na 3 równe części;
  • usunięcie części środkowej;
  • powtórzenie procedury usuwania dla nowo powstałych odcinków.

Finalny zbiór Cantora jest zbiorem granicznym przy nieskończenie wielu iteracjach wykonanych zgodnie z powyższymi punktami.

Zbiór Cantora

Zbiór Cantora został przez opisany w roku 1883.

Niezwykłe właściwości zbioru Cantora

  • Długość zbioru Cantora jest równa 0 - w języku bardziej formalnym powiemy, że jest to zbiór miary 0 (w sensie miary Lebesgue'a).

Zbiór Cantora powstaje poprzez usuwanie pewnych części - policzmy długość odcinków usuniętych.

1\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{1}{9}+4\cdot\frac{1}{27}+\ldots+2^{n-1}\cdot\frac{1}{3^n}+\ldots=

=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3\cdot 3^{n-1}}=

=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\bigg(\frac{2}{3}\bigg)^{n-1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=1

Długość odcinków usuniętych jest równa jedności, zatem to co pozostało musi mieć długość równą 0 🙂

  • Zbiór Cantora jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych \mathbb{R} - czyli ma moc continuum \mathfrak{c}.

Jest to dość zaskakująca własność dla zbioru, który nie ma długości (co pokazaliśmy wyżej). Zbiór Cantora ma formę "rozdmuchanego pyłu", mimo to punktów jest znacznie więcej niż liczb naturalnych. Szczegóły dowodu relacji równoliczności znajdziecie tutaj.

  • Zbiór Cantora posiada własność samo-podobieństwa - czyli, że w jego skład wchodzą "jego mniejsze kopie".

Zbiór Cantora i samo-podobieństwo

Własność samo-podobieństwa wynika wprost z definicji zbioru. Powyżej na obrazku zaznaczyłem część zbioru podobną do jego całości.

Zbiór Cantora jako fraktal

Zbiór Cantora posiada nietrywialną strukturę w każdej skali i jest samo-podobny - jest to zatem fraktal, najprostszy z możliwych 🙂

Iloczyn kartezjański zbiorów Cantora

Pył Cantora 2D - źródło Wikipedia

Pył Cantora 2D - źródło Wikipedia

Pył Cantora 3D - źródło Wikipedia

Pył Cantora 3D - źródło Wikipedia

Georg Cantor - ciekawostki

  • Był uczniem Karla Weierstrass'a oraz Leopolda Kronecker'a.
  • Przyjaźnił się z Richardem Dedekind'em - pamiętacie przedziały Dedekinda i liczby rzeczywiste? 🙂
  • Był osobą bardzo wierzącą. Odkrywając tajemnice nieskończoności odnosił wrażenie, że to sam Bóg mu je przekazuje.
  • Z powodu niemożności rozwiązania Hipotezy Continuum popadł w ciężką depresję, był wielokrotnie hospitalizowany, nie odzyskał w pełni zdrowia.
  • W ostatnich latach życia zajmował się mistycyzmem rozwijając koncepcję Absolutnej Nieskończoności, którą utożsamiał z Bogiem.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Karl Weierstrass i Funkcja Weierstrassa - czyli geometria fraktalna (część 2)

Karl Weierstrass - źródło Wikipedia: https://pl.wikipedia.org/wiki/Karl_Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 - 1897) niemiecki matematyk uznawany za "ojca współczesnej analizy matematycznej". Choć minęło już 17 lat, to nadal doskonale pamiętam pierwszy semestr studiów matematycznych i ekspozycję na podstawowe "bardziej abstrakcyjne" twierdzenia, w tym Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Twierdzenie mówi, że "każdy rzeczywisty ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny", i choć brzmi prosto i ogólnie, jest niezwykle przydatnym narzędziem dowodzenia innych wyników metodą nie-wprost (zgodnie ze schematem "załóżmy, że ... wtedy istnieje ciąg ograniczony, że ..., wtedy istnieje podciąg zbieżny, że ..., i z własności ... wynika sprzeczność z założeniem"). Pięknie to (i nie tylko to) wykładał Pan Prof. Dr Hab. Tadeusz Rzeżuchowski - wielkie dzięki Panie Profesorze!

Funkcja Weierstrassa

Większość matematyków z okresu XVIII i XIX wieku uważało, że wszystkie rzeczywiste funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącej części swej dziedziny (poza zbiorem izolowanych punktów). Dosyć naturalny pogląd okazał się jednak fałszywy, co wykazał Weierstrass w 1872 roku, a wcześniej podejrzewali Bernhard Riemann oraz Bernard Bolzano (prawdopodobnie w roku 1830 Bolzano podał kontrprzykład, którego nie opublikował). Funkcja Weierstrassa jest przykładem rzeczywistej funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej w całej dziedzinie (tzn. nie istnieje ani jeden punkt dziedziny, w otoczeniu którego funkcja zachowuje się "normalnie" - np. monotonicznie). Własność nietypowa, a nawet patologiczna! Jednak nie dla fraktali, zatem i nie dla otaczającej nas natury (analogia do nieintuicyjnej mechaniki kwantowej zaskakująco precyzyjnie opisującej rzeczywistość).

{\Large f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)}

gdzie

{\large 0<a<1\qquad ab>1+\frac{3}{2}\pi}

Warto zauważyć, że funkcję Weierstrassa można zapisać w postaci analitycznej (w uproszczeniu - podając wzór).

Funkcja Weierstrassa i fraktale

Poniżej wykres funkcji Weierstrassa na przedziale [-2; 2].

Funkcja Weierstrassa - By Eeyore22 (Own work) [Public domain], via Wikimedia Commons

Benoit Mandelbrot mawiał, że "fraktal to zbiór matematyczny (lub inny obiekt ) charakteryzujący się w każdej skali wysoką nieregularnością oraz dużą fragmentacją." W części pierwszej cyklu o "geometrii fraktalnej"odnosząc się do słów Mandelbrota, pisałem, że cechą fraktalną jest nietrywialna struktura obiektu w każdej skali - tzn. powiększanie ujawnia kolejne równie skomplikowane formy. Wspomniałem również o samo-podobieństwie - tzn. sytuacji, gdy w skład obiektu wchodzą jego "mniejsze" kopie. Wykres funkcji Weierstrassa zdaje się spełniać te kryteria - był to pierwszy odkryty fraktal!

Karl Weierstrass - ciekawostki

Weierstrass wykładał w Wałczu oraz w Braniewie. Wikipedia wymienia, że jego uczniami byli: Georg Cantor, Otto Holder, Georg Frobenius, Felix Klein, Hermann Minkowski.

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Fraktalne oblicze natury - czyli geometria fraktalna (część 1)

Cykl poświęcony geometrii fraktalnej rozpoczynam od kilku genialnych cytatów oraz, idąc za radą Benoita Mandelbrota, koniecznie podając grafiki / wizualizacje / zdjęcia.

"Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam - zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa - szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze."

Michael F. Barnsley

 

"W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć"

Benoit Mandelbrot

 

"Fraktal to zbiór matematyczny (lub inny obiekt ) charakteryzujący się w każdej skali wysoką nieregularnością oraz dużą fragmentacją."

Benoit Mandelbrot

 

"Ostatnie lata rozwoju matematyki, fizyki, biologii, astronomii oraz ekonomii dostarczyły nowego sposobu rozumienia ciągle rosnącej złożoności natury. Ta nowa dziedzina nauki, nazywana teorią chaosu, pozwala dostrzec porządek oraz wzorce gdzie dawnej dominowała losowość, niekonsekwencja, nieprzewidywalność - w skrócie obserwowany był chaos."

James Gleick

 

Dla wielu termin fraktal kojarzy się z niezwykle pięknym zbiorem Mandelbrota, a wszystko za sprawą szeregu prostych programów komputerowych służących do jego wizualizacji. Jestem pewien, że znaczna część programistów rozpoczynała swoją przygodę z kodowaniem od programu generującego wspomniany zbiór - jednym z nich byłem ja! Dziś jednak nie będę skupiał się na osobie Benoita Mandelbrota - na to przyjdzie jeszcze czas. Zaznaczę natomiast, że był postacią o chyba największym wpływie na rozwój nowej dziedziny geometrii, geometrii przyrody.

Czym jest fraktal?

Nie istnieje jedna precyzyjna definicja fraktali. W zamian wymienia się cechy obiektów fraktalnych - najważniejsze to:

  • Samo-podobieństwo - tzn. w skład obiektu wchodzą jego "mniejsze kopie (lub przybliżone kopie)" - np. liść paproci.
  • Nietrywialna struktura w każdej skali - tzn. powiększanie ujawnia kolejne równie skomplikowane formy - np. drzewo, konary / gałęzie.
  • Niecałkowity (a nawet niewymierny) wymiar fraktalny - ten koncept wyjaśnimy szczegółowo później, chodzi np. o nieskończenie długą krzywą zamkniętą, która jest osadzona w ograniczonej przestrzeni (obiekt o typie "pomiędzy" linią a płaszczyzną)  - przykład rzeczywisty to chociażby linia brzegowa i pomiar jej długości - im  mniejsza skala pomiaru tym istotnie większy wynik.

Historia fraktali

Pierwsza część cyklu to jedynie wstęp - dlatego podaję główne nazwiska (w kolejności chronologicznej), które istotnie przyczyniły się do rozwoju geometrii fraktalnej. Są to wybitni matematycy i dlatego każdemu z nich poświęcę osobny wpis.

Fraktale w naturze - rośliny

Fraktale w naturze - rośliny

Fraktale w naturze - rośliny

Fraktale w naturze - krajobraz

Fraktale w naturze - krajobraz / góry

Fraktale w naturze - krajobraz / powierzchnia ziemi

Fraktale w naturze - biologia / ciało człowieka

Fraktale w naturze - ciało człowieka / płuca

Fraktale w naturze - ciało człowieka / oko

Fraktale w naturze - bilogia / kolonie bakterii

Fraktale w naturze - biologia / kolonie bakterii

Fraktale w naturze - biologia / kolonie bakterii

Fraktale w naturze - fizyka / materia / energia

Fraktale w naturze - fizyka / kryształ

Fraktale w naturze - ekonomia / wyładowanie elektryczne

Fraktale w naturze - astronomia / kosmologia

Fraktale w naturze - astronomia / galaktyka

Fraktale w naturze - astronomia / powierzchnia księżyca

Fraktale w naturze - ekonomia

Fraktale w naturze - ekonomia / trend

Fraktale w naturze - ekonomia / trend

Ciąg dalszy nastąpi ... 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

 

 

Matematyka w obrazkach #3 - Choinka Sierpińskiego - Wesołych Świąt!

Kolejne wpisy dopiero po Świętach - zatem już dziś Wszystkim życzę wesołych Świąt! W ramach cyklu "Matematyka w obrazkach" przygotowałem fraktalną kartkę świąteczną - Choinkę Sierpińskiego - na którą składają się:

  1. Trójkąt Sierpińskiego
  2. Dywan Sierpińskiego
  3. Płatki śniegu Kocha (gwiazda, śnieg, zaspy)
  4. Zbiory Julii (niebo)
  5. Ozdoby - inny wariant dywanu Sierpińskiego

🙂

Choinka Sierpińskiego

Matematyka w obrazkach - Choinka Sierpińskiego

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Matematyka w obrazkach #2 - Rzut stereograficzny

Przekształcenie stereograficzne (rzut stereograficzny) okręgu na prostą oraz sfery na płaszczyznę - czyli równoliczność odcinka / okręgu z całą prostą oraz sfery z płaszczyzną.

Rzut stereograficzny okręgu na prostą

Rzut stereograficzny okręgu na prostą

Rzut stereograficzny sfery na płaszczyznę

Rzut stereograficzny sfery na płaszczyznę

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Benoit Mandelbrot urodził się w Polsce!

Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (1924-2010) - twórca geometrii fraktalnej, "właściciel" prawdopodobnie najsławniejszego zbioru w matematyce - urodził się w Polsce! Przyszedł na świat w roku 1924 w Warszawie. Był dzieckiem rodziny żydowskiej, która w roku 1936 wyemigrowała do Francji, co prawdopodobnie ocaliło ich życie. Mandelbrot we Francji dołączył do swojego stryja - Szolema Mandelbrojta, również polskiego matematyka, ucznia Jacques'a Hadamarda i członka grupy Burbakiego - to Szolem wprowadził Benoit'a w świat matematyki. Mandelbrot miał niesamowitą zdolność rozwiązywania problemów poprzez wizualizację, co w tamtych czasach było niespotykane (np. grupa Burbakiego propagowała podejście niemal wyłącznie analityczne).

Historia Mandelbrota będzie z pewnością tematem osobnego wpisu, gdzie bliżej przedstawię wyniki jego prac, szczególnie te nad systemami funkcji iterowanych oraz pojęciem wymiaru fraktalnego.

Zbiór Mandelbrota

Benoit Mandelbrot - wywiad dla bigthink.com.

Zapraszam do obejrzenia wywiadu, którego Mandelrbrot udzielił dla bigthink.com.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada