Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

Wszyscy doskonale znają twierdzenie Pitagorasa, jednak już znaczna mniejszość jest świadoma jego bardzo ciekawego uogólnienia, wyrażonego poniższym schematem.

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

Samo uogólnienie nie ogranicza się do półkoli, jest prawdziwe dla całej klasy kształtów pozostających w relacji podobieństwa, gdzie skale podobieństwa są wyrażone długościami boków trójkąta prostokątnego.

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trzy figury, względem siebie podobne, posiadają pola powierzchni odpowiednio A, B i C, oraz istnieje figura do tych trzech podobna w takich skalach podobieństwa a, b i c, że a² + b² = c² to A + B = C.

Dowód: Załóżmy, że pole figury podobnej do wskazanych trzech wynosi P. Wiemy, że pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa (poza fraktalami 🙂 ale o nich tu nie mówimy), zatem:

A = P·a²            B = P·b²            C = P·c²

Wtedy

A + B = P·a² + P·b² = P(a² + b²) = P·c² = C

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Wymiar fraktalny

Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa) ma wiele definicji. Większość z nich opiera się na własności samopodobieństwa. Wymiar fraktalny niesie w sobie bardzo ciekawą informację - pokazuje w jakim stopniu obiekt wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony. Dla regularnych obiektów (np. kula, kostka) osadzonych w przestrzeniach n-wymiarowych, wymiar fraktalny wyniesie n (np. wymiar fraktalny kuli 2-wymiarowej wynosi 2), wskazując, że te obiekty w "100% wypełniają" przestrzeń, w której są osadzone. W przypadku fraktali ich wymiar fraktalny jest mniejszy od wymiaru przestrzeni, w której się znajdują - i co bardziej istotne - będzie niecałkowity (a nawet niewymierny). To fascynujące, że takie obiekty istnieją, a geometria fraktalna jest językiem biologii! Wszystkich chętnych do zapoznania się z intuicyjną definicję wymiaru fraktalnego (dla szczególnych klas obiektów i przestrzeni - takich jak przestrzenie metryczne), zapraszam do mojego mini artykułu Fraktale - jako obrazy matematycznego świata zbiorów (fraktale i samopodobieństwo).

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada