MaCDRG-yver - czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Inverse Transform Sampling to typowy sposób generowania liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, który opiera się na funkcji odwrotnej F^{-1} do dystrybuanty F tego rozkładu. Procedura jest banalna, wystarczy wylosować Y\sim U(0,1) i zwrócić F^{-1}(Y). Niestety nie zawsze łatwe jest wyznaczenie jawnej postaci dystrybuanty, tym bardziej dotyczy to funkcji do niej odwrotnej. Dla przykładu - powszechny rozkład normalny charakteryzuje się funkcją gęstości w postaci "elementarnej", natomiast jego dystrybuanta (i funkcja do niej odwrotna) wymagają zastosowania funkcji specjalnych - w tym przypadku funkcji błędu Gaussa.

Kiedyś kolega (pozdrowienia Marcin!) pokazał mi nieskomplikowany sposób generacji liczb losowych z rozkładu opisanego histogramem. Zwyczajnie "kładziemy" (skalując) słupki histogramu na odcinek (0,1), losujemy X\sim U(0,1), weryfikujemy "do którego słupka wpadło X", zwracamy "właśnie ten słupek". Genialne w swojej prostocie, i działa. Histogram to dyskretna reprezentacja rozkładu, dlatego postanowiłem metodę uogólnić na klasę rozkładów ciągłych opisanych zadaną funkcją gęstości. Otrzymaną metodę nazwałem "MaCDRG-yver" 🙂

MaCDRG-yver - Monte Carlo Density based Random Generator

Czytaj dalej

Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Rozkład jednostajny na odcinku (0,1), chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.

Uniform Sum Distribution

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b) jest opisany poniższą funkcją gęstości.

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}

Pisząc X\sim U(a,b) oznaczamy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b). Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości 0 lub \frac{1}{b-a} w punktach x=a i x=b jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #20 - Optimus Prime

W nawiązaniu do liczb pierwszych, którym poświęcony był wczorajszy wpis "Liczba π ukryta w liczbach pierwszych", prezentuję postać z uniwersum Transfomers. Szanowni Czytelnicy - w cyklu "Matematyka w obrazkach" - "Jego Królewska Mość" - Optimus Prime - przywódca Autobotów 🙂

Optimus Prime Numbers

Pozdrowienia 🙂

Mariusz Gromada

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba \pi ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to "chaos", a \pi ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym - tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest \pi?

  • \pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • \pi to pole powierzchni koła o promieniu 1.
  • \pi to połowa obwodu koła o promieniu 1.
  • \pi to \frac{1}{4} pola powierzchni sfery o promieniu 1.
  • \pi to \frac{3}{4} objętości kuli o promieniu 1.
  • k\pi dla całkowitych k to miejsca zerowe funkcji \sin x.
  • ... i wiele innych ...

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna n\in\mathbb{N} większa od 1, której jednymi dzielnikami są 1 oraz n.
  • Liczby pierwsze to "atomy" w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia n-tej liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu "Prime-counting function".

Czytaj dalej

Genialny wzór Taylora - czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

"Co to jest różniczka? - zapytano  matematyka.
Różniczka to wyniczek odejmowanka - odpowiedział"
🙂

Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór Taylora, nazywamy często rozwinięciem Taylora funkcji f(x) w otoczeniu punktu x_0, faktycznie "rozwija" funkcję do postaci sumy funkcji elementarnych a_n(x-x_0)^n, stanowiących atomy wielomianów. W efekcie otrzymujemy nie tylko efektywną aproksymację wartości funkcji, ale również nową "łatwiejszą" jej formę.

Wielomian Taylora

Twierdzenie Taylora: Dla funkcji f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} n-razy różniczkowalnej (n\geq 1) w punkcie x_0\in\mathbb{R}, istnieje funkcja h_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, że

f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{wielomian-aproksymacja~f(x)}+\underbrace{h_n(x)(x-x_0)^n}_{reszta}

f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots

\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+h_n(x)(x-x_0)^n

oraz

\displaystyle\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0

Przez f^{(k)}(x) oznaczamy pochodną rzędu k funkcji f(x).

Twierdzenie Taylora nosi nazwę od angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opracował je w 1712 roku. Samą własność wcześniej odkrył James Gregory - dokonał tego w 1671 roku.

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #19 - Oko Mandelbrota

W cyklu "Matematyka w obrazkach" - nowe logo MathSpace.pl

Motywacja

Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o "Geometrii fraktalnej" - wpis "Fraktalne oblicze natury".

"Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam - zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa - szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze."

Michael F. Barnsley

 

"W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć"

Benoit Mandelbrot

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Egzotyczna hiperkula - czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

"Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? - zapytano matematyka.
To proste - odpowiedział - wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4"
🙂

Hipersześcian i Hiperkula - rzut

Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę - a przez to wydawałoby się - bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania liczby wymiarów na dokonywane pomiary. Jak w zależności od liczby wymiarów zmienia się powierzchnia i objętość kuli? Analogicznie - jak zmienia się maksymalna odległość pomiędzy wierzchołkami kostki? Obiecuję - odpowiedzi będą zaskakujące 🙂

Możesz mieć wrażenie, że to wyłącznie abstrakcyjne rozważania. Czy na pewno? Ja w zasadzie na co dzień analizuję Klientów opisanych szeregiem miar. Poszukiwanie podobieństw, skupień, segmentów czy "najbliższych sąsiadów" niemal w całości opiera się na wielowymiarowej metryce euklidesowej. Zapraszam do pogłębienia wiedzy w tym obszarze:-) Zapewniam - warto!

Czytaj dalej

Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza

Tetracja - definicja

Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator)

Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie.

Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej a>0 i nieujemnej liczby całkowitej n\geq 0 tetrację n liczby a definiujemy jako:

{^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}

Przykłady

{^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16

{^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536

{^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987

{^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots liczba składająca się z 3638334640025 cyfr 🙂

Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład {^{4}3}. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.

Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej a>0 i nieujemnej liczby całkowitej n\geq 0 tetrację n liczby a definiujemy jako:

{^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a^{{^{n-1}a}}&\text{dla}\quad n\geq 1\end{cases}

Czytaj dalej