O liczbie e - Część 2 - Dlaczego jest tak "naturalna" - Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Funkcja e do x (e^x)

"Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle ... popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.

- Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!

- Nie boję się, jestem e^x

I tak spokojna e^x została. Wpada operator.

- Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!

- A proszę bardzo - jestem e^x - nic mi nie grozi.

- Kochana, ja różniczkuję po dy"

Ten iście "nerdowski" dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii "o liczbie e". Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty "dlaczego?" liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej a^x 🙂

Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania

Czytaj dalej

O liczbie e - Część 1 - Dlaczego jest tak "naturalna" - Procent składany

Liczba e

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę e, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego.

e\approx 2.718\ldots

Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów "o liczbie e". Tym samym wzbogacam cykl "dlaczego?". Dowody przeprowadzę "metodą elementarną" - wszak chodzi o "pierwotność / naturalność" e. Będzie kilka dużych "odcinków" - zapraszam 🙂

Nota historyczna

Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach. W matematyce jest wszechobecna! Z powodzeniem dorównuje liczbie \pi. Analiza matematyczna (w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe), funkcje specjalne, analiza zespolona, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna - to najbardziej wyraziste przykłady. W innych naukach ścisłych (np.: ekonomia, fizyka, biologia) liczba e pojawia się w wielu ważnych równaniach, w tym: równanie przewodnictwa cieplnego, wzór barometryczny, rozpady promieniotwórcze, fazory, funkcja falowa w mechanice kwantowejwzrost populacji, procent składany.

Pierwsze informacje na temat liczby e pojawiły się w 1618 roku. Opublikował je John Napier, przygotowując tabele logarytmów. Praca nie zawierała samej stałej, prezentowała niektóre wartości logarytmów na bazie e. Liczbę e w jej dzisiejszej postaci odkrył Jacob Bernoulli. Dokonał tego w 1683 roku analizując własności procentu składanego. Pierwsze udokumentowane wykorzystanie liczby e, wtedy oznaczanej przez b, pojawiło się w latach 1690-1691 (Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens). Wykorzystanie stałej znacząco rozwinął Leonhard Euler oznaczając ją w 1727 roku do dziś wykorzystywanym symbolem e.

Procent składany

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #25 - Duch - Atraktor Lorenza :-)

Grafika wykonana na bazie Atraktora Lorenza - świetne wzbogacenie cyklu "Matematyka w obrazkach" 🙂

Atraktor Lorenza - duch

Polecam poniższą animację - 500 tysięcy ciasno upakowanych cząstek rozchodzi się w chaos. Cząstki to punkty z rozkładu Gaussa z odchyleniem standardowym 0.01. W miarę upływu czasu cząstki podążają za dynamiką Lorenza.

Zajrzyj również tutaj: Matematyka w obrazkach #16 - Mathistopheles - Atraktor Lorenza 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Kwadrat skali podobieństwa - dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

Pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa

Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa - fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie "dlaczego" tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco więcej gimnastyki. Pokażę kilka podjeść, w tym osobno "pokryciowe", osobno oparte na całce Riemanna, oraz osobno na bazie przekształcenia liniowego. Na koniec podam bardziej ogólne wnioski co do zmiany pola powierzchni względem znacznie szerszej niż podobieństwo klasy transformacji. Zapraszam 🙂

Czym jest podobieństwo?

Czytaj dalej

Standaryzacja gęstości oraz dystrybuanty (+ odwrotnej) rozkładu prawdopodobieństwa

Standaryzacja zmiennej losowej / Standaryzacja funkcji gęstości

Standaryzacja zmiennej losowej X to proces jej "normalizacji", którego wynikiem jest taka zmienna losowa Z, że

\text{E}Z=0

\text{Var}(Z)=1

Standaryzację łatwo wyobrazić sobie jako działanie, które obywa się w dwóch krokach:

  1. adekwatne "przesunięcie" zmiennej - tu chodzi o uzyskanie zerowej miary położenia, którą jest wartość oczekiwana (wartość średnia) zmiennej
  2. odpowiednia "zmiana skali wartości" zmiennej - w tym przypadku "poprawiamy" miarę rozproszenia, którą jest wariancja.

Standaryzacja Z: jeśli X jest taką zmienną losową, że

Czytaj dalej

Odczarowujemy modele predykcyjne

Prelekcja wygłoszona w dniu 25.04.2017 podczas Konferencji Big Data – Bigger opportunities - zapraszam.

Omówione zagadnienia:

  • Analityka Predykcyjna
  • Model Predykcyjny
  • Confusion Matrix / Macierz błędu
  • Strategie doboru punktu odcięcia
  • Ocena jakości klasyfikacji
  • Krzywa zysku
  • Krzywa Lift
  • Krzywa ROC i wskaźnik Giniego
  • Krzywa Zysku vs ROC - równoważność?
  • Modele teoretycznie idealne

Odczarowujemy modele predykcyjne

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada