MaCDRG-yver – czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Inverse Transform Sampling to typowy sposób generowania liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, który opiera się na funkcji odwrotnej $F^{-1}$ do dystrybuanty $F$ tego rozkładu. Procedura jest banalna, wystarczy wylosować $Y\sim U(0,1)$ i zwrócić $F^{-1}(Y)$. Niestety nie zawsze łatwe jest wyznaczenie jawnej postaci dystrybuanty, tym bardziej dotyczy to funkcji do niej odwrotnej. Dla przykładu – powszechny rozkład normalny charakteryzuje się funkcją gęstości w postaci „elementarnej”, natomiast jego dystrybuanta (i funkcja do niej odwrotna) wymagają zastosowania funkcji specjalnych – w tym przypadku funkcji błędu Gaussa.

Kiedyś kolega (pozdrowienia Marcin!) pokazał mi nieskomplikowany sposób generacji liczb losowych z rozkładu opisanego histogramem. Zwyczajnie „kładziemy” (skalując) słupki histogramu na odcinek $(0,1)$, losujemy $X\sim U(0,1)$, weryfikujemy „do którego słupka wpadło X”, zwracamy „właśnie ten słupek”. Genialne w swojej prostocie, i działa. Histogram to dyskretna reprezentacja rozkładu, dlatego postanowiłem metodę uogólnić na klasę rozkładów ciągłych opisanych zadaną funkcją gęstości. Otrzymaną metodę nazwałem „MaCDRG-yver” 🙂

MaCDRG-yver - Monte Carlo Density based Random Generator

Czytaj dalej

Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Rozkład jednostajny na odcinku $$(0,1)$$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.

Uniform Sum Distribution

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$ jest opisany poniższą funkcją gęstości.

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$

Pisząc $$X\sim U(a,b)$$ oznaczamy, że zmienna losowa $$X$$ ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$. Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości $$0$$ lub $$\frac{1}{b-a}$$ w punktach $$x=a$$ i $$x=b$$ jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #20 – Optimus Prime

W nawiązaniu do liczb pierwszych, którym poświęcony był wczorajszy wpis „Liczba π ukryta w liczbach pierwszych”, prezentuję postać z uniwersum Transfomers. Szanowni Czytelnicy – w cyklu „Matematyka w obrazkach”„Jego Królewska Mość”Optimus Prime – przywódca Autobotów 🙂

Optimus Prime Numbers

Pozdrowienia 🙂

Mariusz Gromada

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest $\pi$?

  • $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to połowa obwodu koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{1}{4}$ pola powierzchni sfery o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{3}{4}$ objętości kuli o promieniu $1$.
  • $k\pi$ dla całkowitych $k$ to miejsca zerowe funkcji $\sin x$.
  • … i wiele innych …

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna $n\in\mathbb{N}$ większa od $1$, której jednymi dzielnikami są $1$ oraz $n$.
  • Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $n-tej$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.

Czytaj dalej

Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

„Co to jest różniczka? – zapytano  matematyka.
Różniczka to wyniczek odejmowanka – odpowiedział”
🙂

Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór Taylora, nazywamy często rozwinięciem Taylora funkcji $f(x)$ w otoczeniu punktu $x_0$, faktycznie „rozwija” funkcję do postaci sumy funkcji elementarnych $a_n(x-x_0)^n$, stanowiących atomy wielomianów. W efekcie otrzymujemy nie tylko efektywną aproksymację wartości funkcji, ale również nową „łatwiejszą” jej formę.

Wielomian Taylora

Twierdzenie Taylora: Dla funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $n$-razy różniczkowalnej $(n\geq 1)$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, istnieje funkcja $h_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, że

$$f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{wielomian-aproksymacja~f(x)}+\underbrace{h_n(x)(x-x_0)^n}_{reszta}$$

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots$$

$$\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+h_n(x)(x-x_0)^n$$

oraz

$$\displaystyle\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0$$

Przez $f^{(k)}(x)$ oznaczamy pochodną rzędu $k$ funkcji $f(x)$.

Twierdzenie Taylora nosi nazwę od angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opracował je w 1712 roku. Samą własność wcześniej odkrył James Gregory – dokonał tego w 1671 roku.

Czytaj dalej

Matematyka w obrazkach #19 – Oko Mandelbrota

W cyklu „Matematyka w obrazkach” – nowe logo MathSpace.pl

Motywacja

Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o „Geometrii fraktalnej” – wpis „Fraktalne oblicze natury”.

„Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze.”

Michael F. Barnsley

 

„W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć”

Benoit Mandelbrot

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka.
To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″
🙂

Hipersześcian i Hiperkula - rzut

Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania liczby wymiarów na dokonywane pomiary. Jak w zależności od liczby wymiarów zmienia się powierzchnia i objętość kuli? Analogicznie – jak zmienia się maksymalna odległość pomiędzy wierzchołkami kostki? Obiecuję – odpowiedzi będą zaskakujące 🙂

Możesz mieć wrażenie, że to wyłącznie abstrakcyjne rozważania. Czy na pewno? Ja w zasadzie na co dzień analizuję Klientów opisanych szeregiem miar. Poszukiwanie podobieństw, skupień, segmentów czy „najbliższych sąsiadów” niemal w całości opiera się na wielowymiarowej metryce euklidesowej. Zapraszam do pogłębienia wiedzy w tym obszarze:-) Zapewniam – warto!

Czytaj dalej

Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza

Tetracja - definicja

Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator)

Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie.

Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$$

Przykłady

$${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$$

$${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$$

$${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$

$${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂

Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład ${^{4}3}$. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.

Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a^{{^{n-1}a}}&\text{dla}\quad n\geq 1\end{cases}$$

Czytaj dalej