Indukcja matematyczna jako przykład dedukcji :-)

Indukcja matematyczna

Wnioskowanie indukcyjne

Rozumowaniem indykcyjnym określa się wnioskowanie "od szczegółu do ogółu", przez co indukcja bywa uważana za jedno z głównych narzędzi tzw. nauk empirycznych (metody polegające na zastosowaniu eksperymentu, obserwacji, indukcji enumeracyjnej oraz indukcji eliminacyjnej).

Wnioskowanie dedukcyjne

Rozumowaniem dedukcyjnym określa się wnioskowanie "od ogółu do szczegółu". Dedukcja jest podstawowym  narzędziem stosowanym w logice i matematyce, gdzie z twierdzenia ogólnego (bądź założenia / aksjomatu) wysuwa się wniosek bardziej szczegółowy. Dedukcja jest także często wykorzystywana w naukach opierających się na doświadczeniach empirycznych, gdzie dobrym przykładem jest fizyka teoretyczna, która często wyprowadza twierdzenia i wnioski potwierdzane (lub nadal nie) eksperymentalnie dopiero po wielu latach (np. Ogólna Teoria Względności, Promieniowanie Hawkinga).

Indukcja matematyczna

Twierdzenie: Jeżeli:

  1. istnieje taka liczba naturalna n_0, że T(n_0) jest zdaniem prawdziwym,
  2. dla każdej liczby naturalnej n \geq n_0 z założenia prawdziwości zdania T(n) wynika prawdziwość zdania T(n+1)

to T(n) jest zdaniem prawdziwym dla każdego naturalnego n \geq n_0.

Przykład: Udowodnić, że dla każdej naturalnej liczby n \geq 3 spełniona jest nierówność 2^n > 2n.

Forma zdaniowa T(n) przyjmuje postać  T(n) : 2^n > 2n, gdzie n_0 = 3

  1. dla n=3 mamy 2^3 = 8 > 2 \cdot 3 = 6,
  2. zakładamy, że nierówność 2^n > 2n jest prawdziwa dla n \geq 3 - przeprowadzany mnożenie nierówności przez 2:

2 \cdot 2^n > 2 \cdot 2n

2^{n+1} > 2n+2n, ale dla n \geq 3 mamy 2n > 2, zatem

2^{n+1} > 2n+2 = 2(n+1), ostatecznie

2^{n+1} > 2(n+1)

Nierówność powyższa oznacza, że z założenie prawdziwości T(n) wynika prawdziwość T(n+1), co na podstawie twierdzenia o indukcji matematycznej kończy dowód.

Wniosek: Stosując ogólne twierdzenie (zasadę indukcji matematycznej) wykazaliśmy prawdziwość wniosku szczegółowego (tzn. poprawność wyżej opisanej nierówności) - zatem stosowanie zasady indukcji matematycznej jest wnioskowaniem dedukcyjnym 🙂 .

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

 

 

 

 

 

 

Views All Time
Views All Time
1036
Views Today
Views Today
1

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *