Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

Pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa

Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa – fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie „dlaczego” tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco więcej gimnastyki. Pokażę kilka podjeść, w tym osobno „pokryciowe”, osobno oparte na całce Riemanna, oraz osobno na bazie przekształcenia liniowego. Na koniec podam bardziej ogólne wnioski co do zmiany pola powierzchni względem znacznie szerszej niż podobieństwo klasy transformacji. Zapraszam 🙂

Czym jest podobieństwo?

Dwa obiekty geometryczne płaskie można nazwać podobnymi jeśli mają „ten sam kształt”. Powiemy nieco bardziej precyzyjnie (choć nadal nie dość bardzo), że dwie figury są podobne jeśli drugą można uzyskać z pierwszej poprzez zastosowanie dowolnej kombinacji poniższych transformacji:

  • przesuwanie
  • obracanie
  • zmniejszanie
  • zwiększanie
  • symetryczne odbicie (np. lustrzane)

Figury płaskie podobne

Warunek zachowania „tego samego kształtu” implikuje, że podobieństwo to  przekształcenie zachowujące stosunki odległości pomiędzy punktami.

Definicja precyzyjna: jeśli $$\big(X,d\big)$$ jest przestrzenią metryczną, a $$k>0$$ pewną stałą, to bijekcję

$$f:X\to X$$

spełniająca warunek

$$\displaystyle\forall_{x,y\in X}$$ $$~~$$ $$d(x,y)=k\cdot d(x^\prime,y^\prime)$$

gdzie

$$x^\prime=f(x)$$

$$y^\prime=f(y)$$

nazywamy podobieństwem o skali podobieństwa $$k$$.

Podobieństwo jako bijekcja

Skala podobieństwa to skala zmiany odległości pomiędzy punktami.

Pole powierzchni figur płaskich podobnych

Twierdzenie: jeśli pole powierzchni figury płaskiej wynosi $$P$$, to pole powierzchni figury do niej podobnej będzie wyrażone przez

$$P^\prime=k^2\cdot P$$

gdzie $$k>0$$ to skala podobieństwa.

Jest to bardzo łatwe do wykazania dla kilku podstawowych typów figur płaskich poprzez bezpośrednie wykorzystanie wzorów na pola powierzchni.

Kwadrat

Podobieństwo kwadratów - pole powierzchni

Prostokąt
Podobieństwo prostokątów - pole powierzchni

Trójkąt

Podobieństwo trójkątów - pole powierzchni

Koło

Podobieństwo kół - pole powierzchni

Elipsa

Podobieństwo elips - pole powierzchni

Wielokąt: poprzez podział na trójkąty

Pole powierzchni ograniczone dowolną krzywą

Koła, elipsy, wielokąty, czy też dowolne sumy tych trzech obiektów – to bardzo szeroka klasa kształtów, która podlega prawu zmiany pola powierzchni wraz z kwadratem skali podobieństwa. Rozsądek każe szukać uzasadnienia, że jest tak również dla dowolnych kształtów ograniczonych „normalnymi” krzywymi (pomijam zbiory niemierzalne i wszystkie inne nietrywialne struktury).

Uzasadnienie pokryciowe

Rozważmy dowolną krzywą zamkniętą ograniczającą pewną powierzchnię $$P$$, która posiada skończenie wiele „wypukłości” i „wklęsłości”.

Pole obszaru ograniczonego krzywą

Konstrukcja pokrycia

Ustalając orientację i oznaczając miejsca „wklęsłości” oraz „wypukłości” dzielimy krzywą na kawałki, które stanowią punkt wyjścia do wykonania „pewnego sprytnego” pokrycia krzywej.

Pole obszaru ograniczonego krzywą - pokrycie

Pokrycia dokonujemy prostokątami w taki sposób, aby część „wewnątrz” była równa części leżącej poza rozważaną figurą. Dodatkowo procedura powinna być realizowana w orientacji narzuconej ustalonym układem współrzędnych (dzięki temu prostokąty nie mają części wspólnych). Możliwość wyboru takiego pokrycia gwarantuje odpowiedni podział krzywej. Rozważając wybrany „kawałek” początkowo wykreślamy taki prostokąt, aby końce „odcinka” stanowiły wierzchołki prostokąta leżące na jego przekątnej. Następnie tak przesuwamy jeden bok (modyfikując prostokąt), aby uzyskać równość pól „wewnątrz” i „na zewnątrz”. Równość pól nie jest niezbędna, pozwala natomiast wykonać dowód „w jednym przebiegu”.
Pole obszaru ograniczonego krzywą - pokrycie

Uzyskaliśmy dwa kształty

  • $$W_n$$ przybliżenie wyjściowej figury „od wewnątrz”
  • $$Z_n$$ przybliżenie wyjściowej figury „od zewnątrz”

spełniające warunek

$$P-W_n=Z_n-P$$

Pole obszaru ograniczonego krzywą - pokrycie - pole zewnętrzne i wewnętrzne

Dodatkowo kształty $$W_n$$ i $$Z_n$$ są wielokątami, zatem ich pole skaluje się z kwadratem skali podobieństwa.

Pole obszaru ograniczonego krzywą - pokrycie - pole skala

$$W_n^\prime=k^2\cdot W_n$$

$$Z_n^\prime=k^2\cdot Z_n$$

Zbieżność ciągów $$W_n$$ oraz $$Z_n$$

Dzieląc części krzywej na kolejne jeszcze mniejsze coraz bardziej przybliżamy wyjściową figurę. Można łatwo pokazać „na epsilonach” (definicja zbieżności ciągu względem Cauchy’ego), że $$W_n\to P$$ oraz $$Z_n\to P$$.

Ustalamy $$\epsilon>0$$, dla tej wartości znajdujemy takie $$N_\epsilon$$ (dokonując coraz to „gęstszych” podziałów wszystkich „części” krzywej), że

$$P-W_{N_\epsilon}>\epsilon$$

$$Z_{N_\epsilon}-P>\epsilon$$

Jeśli zwiększymy „gęstość” jeszcze bardziej, tzn. $$n>N_\epsilon$$, wtedy

$$P>W_n>W_{N_\epsilon}$$

$$Z_{N_\epsilon}>Z_n>P$$

oraz

$$P-W_n>\epsilon$$

$$Z_n-P>\epsilon$$

ostatecznie (z definicji granicy ciągu względem Cauchy’ego) otrzymujemy

$$\lim_{n\to\infty}W_n=\lim_{n\to\infty}Z_n=P$$

Ostatnia faza dowodu

$$W_n^\prime=k^2\cdot W_n>P^\prime$$

$$P^\prime<Z_n^\prime=k^2\cdot Z_n$$

$$W_n$$ i $$Z_n$$ są zbieżne, zatem zbieżne są $$W_n^\prime$$ oraz $$Z_n^\prime$$.

$$\lim_{n\to\infty}W_n^\prime=k^2\cdot\lim_{n\to\infty}W_n=k^2\cdot P$$

$$\lim_{n\to\infty}Z_n^\prime=k^2\cdot\lim_{n\to\infty}Z_n=k^2\cdot P$$

oraz

$$\lim_{n\to\infty}Z_n^\prime\geq P^\prime\geq\lim_{n\to\infty}W_n^\prime$$

zatem

$$\lim_{n\to\infty}W_n^\prime=\lim_{n\to\infty}Z_n^\prime=P^\prime$$

ostatecznie

$$P^\prime=k^2\cdot P$$

Uzasadnienie na bazie całki

Całka Riemanna powstaje na zasadzie konstrukcji odpowiedniego pokrycia górnego i dolnego, więc to uzasadnienie ma wiele wspólnego z wcześniej opisanym. Cały sposób polega na tym, aby obszar ograniczony przez krzywą podzielić na kilka części: wielokąt (środek) + pola powierzchni pod funkcjami.

Pole obszaru ograniczonego krzywą - funkcja

$$P_1=\displaystyle\int_0^af(x)dx$$

Bez utraty ogólności rozważań skupiamy się na przypadku $$P_1$$ – tzn. skalujemy go skalą k.

Pole obszaru ograniczonego krzywą - funkcja - skalowanie

$$P_1^\prime=\displaystyle\int_0^{ka}kf\Big(\frac{x}{k}\Big)dx=\displaystyle\int_0^{ka}f\Big(\frac{x}{k}\Big)k^2\frac{dx}{k}=$$

$$=\begin{bmatrix}t=\frac{x}{k}\\dt=\frac{dx}{k}\\x=0\Rightarrow t=0\\x=ka\Rightarrow t=a\end{bmatrix}=$$

$$=\displaystyle\int_0^{a}k^2f(t)dt=k^2\cdot P_1$$

ostatecznie

$$P_1^\prime=k^2\cdot P_1$$

Uzasadnienie na bazie przekształcenia liniowego

Przekształcenie liniowe - Pole powierzchni - Wyznacznik macierzy przekształcenia

Jeśli analizujemy przekształcenie liniowe

$$Ax$$

gdzie $$A$$ jest macierzą przekształcenia liniowego, a $$x$$ wektorem, to wyznacznik

$$\text{det}(A)$$

jest współczynnikiem o jaki zmienia się pole powierzchni / objętość / miara figury / obiektu transformowanego poprzez przekształcenie liniowe $$Ax$$. Polecam poniższy film.

Niech

$$A=\begin{bmatrix}k && 0\\0 && k\end{bmatrix}$$

oraz

$$\textbf{x}_1=\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}$$ $$~~$$ $$\textbf{x}_2=\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}$$

$$\textbf{x}_1^\prime=A\textbf{x}_1$$ $$~~$$ $$\textbf{x}_2^\prime=A\textbf{x}_2$$

wtedy

$$\textbf{x}_1^\prime=\begin{bmatrix}k && 0\\0 && k\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kx_1\\ky_1\end{bmatrix}$$

$$\textbf{x}_2^\prime=\begin{bmatrix}k && 0\\0 && k\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kx_2\\ky_2\end{bmatrix}$$

$$d(\textbf{x}_1,\textbf{x}_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$d(\textbf{x}_1^\prime,\textbf{x}_2^\prime)=\sqrt{(kx_2-kx_1)^2+(ky_2-ky_1)^2}=$$

$$=\sqrt{k^2(x_2-x_1)^2+k^2(y_2-y_1)^2}=$$

$$=\sqrt{k^2\Big[(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\Big]}=$$

$$=k\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=kd(\textbf{x}_1,\textbf{x}_2)$$

Zatem $$Ax$$ jest podobieństwem.

$$\text{det}(A)=k^2-0=k^2$$

$$P^\prime=\big|\text{det}(A)\big|\cdot P=k^2\cdot P$$

🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Views All Time
Views All Time
2363
Views Today
Views Today
5

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *