Precyzja liczby Pi a obwód obserwowalnego Wszechświata

Obserwowalny Wszechświat

Znana obecnie (06.11.2015) precyzja liczby Pi

Alexander J. Yee i Shigeru Kondo w grudniu 2013 roku wyznaczyli liczbę Pi z dokładnością do ponad 12 bilionów cyfr - zdumiewająca precyzja! Dalszych obliczeń zaniechano w związku z wyczerpaniem się przestrzeni dyskowej. W poniższym tekście chciałbym przybliżyć co tak wielka dokładność może oznaczać w praktyce.

Obwód obserwowalnego Wszechświata

Rozważmy rozmiar Obserwowalnego Wszechświata zadając pytanie jakiej precyzji liczby Pi potrzeba do wyznaczenia jego obwodu z dokładnością rzędu 1 atomu wodoru? Promień walencyjny wodoru to 37 pm = 3.7×10 ‾¹¹ m. Rozmiar Obserwowalnego Wszechświata to suma odległości jaką światło przebyło od momentu Wielkiego Wybuchu (13.8 miliarda lat świetlnych) oraz dystansu, o jaki oddaliły się (przez ten okres) najodleglejsze galaktyki. Obecnie szacowana średnica Obserwowalnego Wszechświata to 92 miliardy lat świetlnych.

Promień obserwowalnego Wszechświata

Promień rzędu 46 miliardów lat świetlnych zdaje się sugerować, że oddalanie się galaktyk musiało się odbywać z prędkością większą niż prędkość światła. "Oddalanie się galaktyk" to uproszczenie myślowe - faktyczne oddalanie się jest konsekwencją ekspansji Wszechświata, która to jest rozszerzaniem się przestrzeni. Wielki Wybuch jest momentem rozpoczęcia ekspansji, czyli początkiem rozszerzania się przestrzeni. Fotony, które teraz obserwujemy, "leciały" do nas 13.8 miliarda lat, ale w momencie kiedy "startowały" to punkt startu i punkt docelowy były znacznie bliżej siebie. Wraz z podróżą fotonu przestrzeń się rozszerzała sprawiając, że przebyta droga była dłuższa, jak i dłuższa (niż początkowo) jest droga jeszcze "do przebycia". Niezgodność z zasadą niemożliwości przekroczenia prędkości światła jest w tym przypadku pozorna, gdyż to sama przestrzeń (i jej współrzędne) się rozszerzają, co jest wyrażone w odpowiednim zakrzywieniu czaso-przestrzeni opisywanej w Ogólnej Teorii Względności. O samej prędkości światła też jest wygodniej myśleć jako o prędkości "przyczynowo-skutkowości", wtedy łatwiej jest zrozumieć idee stożków świetlnych, etc. A jeszcze lepiej przyjąć c = 1 🙂

No to liczymy 🙂

  • Prędkość światła w próżni w przybliżeniu to c = 3 \times 10^8 \frac{m}{s}
  • Rok świetlny w przybliżeniu to 9.46 \times 10^{15} m
  • 46 miliardów lat świetlnych w przybliżeniu to 4.35 \times 10^{26} m
  • Obwód koła o takim promieniu to około 2.73 \times 10^{27} m
  • Zatem dokładność o rząd mniejszą niż rozmiar atomu wodoru uzyskamy przy wykorzystaniu 27 + 11 + extra 1 = 39 cyfr liczby Pi.

To niesamowite, że jedynie 39 cyfr liczby Pi wystarczy do osiągnięcia tak niezwykłej dokładności obliczeń dla obrzeży Obserwowalnego Wszechświata - 39 (=3.141592653589793238462643383279502884197) z poznanych 12 bilionów!

Na zakończenie filmik od Numberphile przedstawiający wyżej opisany problem.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada