Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

P=\pi r^2 to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu "Dlaczego?" 🙂 Do dzieła! 🙂

Pole powierzchni koła - wzór

Pole powierzchni koła - wzór

P=\pi r^2

Jak widać powyżej - kwadrat i koło, o tej samej powierzchni, nie są "jakoś intuicyjnie łatwo" powiązane. Więcej - wykazano nawet, że kwadratura koła (procedura wykonywana przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki) jest niewykonalna! I tu pojawia się genialny pomysł z prostokątem 🙂 Nim powiem o co chodzi przyjrzyjmy się co tak naprawdę mówi wzór \pi r^2.

Pole powierzchni kola - Pi r kwadrat

\pi\times r^2 - czyli w kole mieszczą się nieco ponad 3 kwadraty o boku r 🙂

Pole powierzchni koła - dowód przez animację 🙂

Koło - pole powierzchni - animacja

Trochę się napracowałem przy tej animacji 🙂

Pole powierzchni koła - wielokąty foremne

Uwaga - poniższe nie jest dowodem, a obrazuje jedynie sposób wnioskowania stosowany przez Starożytnych Greków (tak np. Archimedes wyznaczał liczbę pi).

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny

Można zauważyć, że obwód n-kąta foremnego opisanego na kole wynosi

O_n=na

a jego pole to suma pól trójkątów o podstawie a i wysokości równej promieniowi koła r.

P_n=n\frac{ar}{2}=\frac{nar}{2}

Podstawiając

P_n=\frac{O_nr}{2}

Gdy n jest coraz większe, P_n coraz dokładniej przybliża pole koła, a O_n jego obwód. W "kroku granicznym" (zagadnienie wielkości nieskończenie małej) otrzymujemy

O_n\to 2\pi r - tu z definicji liczby \pi

P_n\to\frac{2\pi rr}{2}=\pi r^2

Pole powierzchni koła - dowód nieco bardziej formalny

Dowód, który przeprowadzę, nie będzie oparty na całkowaniu równania okręgu. Wykorzystam ciągi i ich granice oraz twierdzenie o trzech ciągach.

Twierdzenie o trzech ciągach

Niech będą dane trzy ciągi rzeczywiste a_n, b_n i c_n. Jeśli "prawie wszędzie" (tzn. pomijając co najwyżej skończenie wiele wyrazów) zachodzi zależność

a_n\leq b_n\leq c_n

oraz

\lim a_n = \lim c_n = g

to

\lim b_n = g

Twierdzenie o trzech ciągach - strona na Wikipedii.

Przyda się również \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Pamiętam jak w szkole średniej, na lekcjach fizyki, mój nauczyciel wielokrotnie przyjmował, że dla małych x funkcję \sin x dobrze przybliża właśnie x. Wynika to z rozwinięcia \sin x w szereg Taylora - wyjaśnienie pomijam. Wyznaczę jednak samą granicę - bo się przyda 🙂

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\big(\frac{0}{0}\big)\text{ reg. de l`Hospitala}=

=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)\prime}{x\prime}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=

=\frac{\cos 0}{1}=\frac{1}{1}=1

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Reguła de l’Hospitala - Wikipedia

Pole powierzchni koła - dowód

Rozważmy n-kąty foremne opisane na kole i wpisane w koło. Pole n-kąta opisanego nazwijmy "polem zewnętrznym" i oznaczmy Z_n. Analogicznie pole n-kąta wpisanego nazwiemy "polem wewnętrznym" oznaczając je W_n.

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny wpisany i opisany

Oczywiście

W_n\leq P\leq Z_n

gdzie P oznacza pole koła.

W kolejnym kroku dzielimy n-kąty na n-trójkątów. Zauważmy, że w ten sposób kąt pełny został również podzielony na n równych części. Pole "trójkąta zewnętrznego" oznaczymy przez T_n, a trójkąta wewnętrznego t_n.

Pole powierzchni koła - awielokąt foremny wpisany i opisany

Z_n=nT_n

W_n=nt_n

Wyznaczamy pole trójkąta "zewnętrznego"

T_n=Ar

ale

\frac{A}{r}=\text{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}

\frac{A}{r}r^2=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}

Ar=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}

T_n=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=r^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}

Wyznaczamy pole trójkąta "wewnętrznego"

t_n=ah

ale

\frac{a}{r}=\sin\beta

a=r\sin\beta

oraz

\frac{h}{r}=\cos\beta

h=r\cos\beta

podstawiając

t_n=r\sin\beta\cdot r\cos\beta=r^2\sin\beta\cos\beta

stosując tożsamości trygonometryczne

t_n=r^2\sin\beta\cos\beta=\frac{r^2}{2}2\sin\beta\cos\beta=

=\frac{r^2}{2}\sin2\beta=\frac{r^2}{2}\sin\alpha

t_n=\frac{r^2}{2}\sin\alpha=\frac{r^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}

Finalne ciągi

Z_n=nT_n=nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}

W_n=nt_n=\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}

Granice ciągów

\lim Z_n=\lim nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}=

=\lim \frac{nr^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=

=\lim \frac{\pi r^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=\frac{\pi r^2}{\cos 0}\cdot 1=

=\frac{\pi r^2}{1}=\pi r^2

\lim Z_n=\pi r^2

\lim W_n=\lim\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}=

\lim \frac{nr^2}{2}\cdot \frac{2\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=

\lim \pi r^2\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=\pi r^2\cdot 1=\pi r^2

\lim W_n=\pi r^2

Wniosek

Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że pole koła to

P=\lim W_n=\lim Z_n=\pi r^2

Tempo zbieżności ciągów W_n oraz Z_n

Pole powierzchni koła - tempo zbieżności ciągów

🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

 

Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

Jestem pewien, że wzór na pole powierzchni trójkąta, tj. P=\frac{1}{2}ah, jest znany niemal wszystkim 🙂  Dzieci, będąc we wczesnym wieku szkolnym, poznają podstawy geometrii, w tym długości obwodów i pola powierzchni figur płaskich. Jeśli interesuje cię dlaczego pole powierzchni trójkąta zależy od długości jego podstawy i wysokości na nią opadającej, to jest to wpis dla Ciebie 🙂 Jednocześnie wzbogacam cykl "Dlaczego?". Zaczynamy!

Pole powierzchni trójkąta - wzór

Trójkąt - Pole powierzchni

Wzór na pole powierzchni trójkąta, choć prosty, to na pierwszy rzut oka nie jest zbyt intuicyjny (no może poza przypadkiem trójkąta prostokątnego). Oto, w jakiś magiczny sposób, dla każdej podstawy, iloczyny ich długości i długości wysokości na nie opadających, są sobie równe - i więcej - określą pole powierzchni ograniczonej trójkątem 🙂

P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}

Pole powierzchni trójkąta - dowód przez animację 🙂 - przypadek 1

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta "opada" na jego podstawę.

 

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 1

Pole powierzchni trójkąta - dowód przez animację 🙂 - przypadek 2

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta "opada" poza jego podstawą.

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 2

Pole powierzchni trójkąta - dowód nieco bardziej formalny

Trójkąt prostokątny: przypadek oczywisty, nie wymaga wyprowadzenia 🙂

Trójkąt - Pole powierzchni - Trójkąt prostokątny

P=\frac{ab}{2}

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta "opada" na jego podstawę.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 1

Wyprowadzenie wzoru:

P=P_1+P_2

2P_1+2P_2=ah

P_1+P_2=\frac{ah}{2}

P=\frac{ah}{2}

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta "opada" poza jego podstawą.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 2

Wyprowadzenie wzoru:

P+P_1=P_2

P=P_2-P_1

P_1=\frac{xh}{2}

P_2=\frac{(a+x)h}{2}=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}

P=P_2-P_1=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}-\frac{xh}{2}=\frac{ah}{2}

P=\frac{ah}{2}

Koniec na dziś 🙂

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Zero Silnia - czyli dlaczego 0!=1?

Artykuł "Mnożenie liczb ujemnych - czyli dlaczego minus razy minus daje plus?" cieszy się ogromnym zainteresowaniem (np. w piątek 21.10.2016 został pobity rekord, mianowicie tylko w tym jednym dniu 350 unikalnych użytkowników zapoznało się z treścią wpisu). Będąc świadomym, że dla wielu z Was ważne jest zrozumienie motywacji stojącej za podstawowymi definicjami, postanowiłem rozpocząć nowy cykl "Dlaczego?". Nowa seria skupi się na powszechnie znanych zagadnieniach, których wyjaśnienie nie jest już takie oczywiste. 🙂 Dziś na tapetę idzie zero silnia! Przedstawię kilka argumentacji - w tym coś dla mniej i coś dla bardziej zaawansowanych! Będzie hardcorowo 🙂

Zero silnia równa się jeden / 0!=1

Silnia - definicja

W celu przypomnienia

n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1

Przykłady

4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24

3!=3\cdot 2\cdot 1=6

2!=2\cdot 1=2

1!=1

0!=??? - no właśnie 🙂 - do tego wrócę za chwilkę!

Silnia jako liczba permutacji

W uproszczeniu permutacja zbioru (mówimy o zbiorach skończonych) to funkcja wyznaczająca kolejność jego elementów. Np. {1,2,3,4}, {2,4,1,3}, {4,3,2,1} ... są różnymi permutacjami zbioru {1,2,3,4}.

W ogólnym przypadku - jeśli mamy do czynienia ze zbiorem n-elementowym otrzymujemy:

  • n sposobów wyboru elementu 1 (bo mamy do dyspozycji cały zbiór)
  • n-1 sposobów wyboru elementu 2 (bo pierwszy jest już wybrany, pozostało n-1)
  • n-2 sposobów wyboru elementu 3 (bo 2 pierwsze są już wybrane, pozostało n-2)
  • ...
  • n-(k-1) sposobów wyboru elementu k (bo k-1 pierwszych jest już wybranych, pozostało n-(k-1) )
  • ...
  • 2 sposoby wyboru elementu n-1 (bo n-2 elementy wybrano, pozostały wolne 2)
  • 1 sposób wyboru elementu n (bo n-1 elementów wybrano, pozostał wolny tylko 1)

i finalnie liczba różnych uporządkowań zbioru n-elementowego wynosi:

{\small n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1=n!}

Zatem interpretacja n! to liczba permutacji (czyli liczba różnych uporządkowań) zbioru n-elementowego.

No dobrze - ale jak to pomaga w ustaleniu 0! (zero silnia)? Przecież ciężko mówić o kolejności elementów zbioru pustego... Do tego wrócę również nieco później 🙂

Wariacja bez powtórzeń

Brrr - paskudna ta nazwa - ale ok - spróbujmy. Mówimy, że wybór dokładnie k-różnych elementów, zwracając uwagę na kolejność, ze zbioru n-elementowego, jest k-elementową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego. Przykłady różnych 3-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru {1,2,3,4,5} to: {1,2,3}, {3,2,1},{4,5,2},...

Liczbę V_n^k k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyznaczymy na bazie:

  • n sposobów wyboru elementu 1
  • n-1 sposobów wyboru elementu 2
  • n-2 sposobów wyboru elementu 3
  • ...
  • n-(k-1) sposobów wyboru elementu k

i finalnie

{\large V_n^k}={\small n\times (n-1)\times (n-2)\times\ldots\times \bigg(n-(k-1)\bigg)}

ale

{\small n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots\times \big(n-(k-1)\big)}=...

={\small\frac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots\times \big(n-(k-1)\big)\times (n-k)\times \ldots \times 2\times 1}{(n-k)\times \ldots \times 2\times 1}}=...

...=\frac{n!}{(n-k)!}

Zatem

{\large V_n^k=}{\Large\frac{n!}{(n-k)!} }

0! = 1 (słownie: zero silnia równa się jeden)

Zauważmy, że n-elementowa wariacja bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest w zasadzie jego permutacją, zatem liczba takich wariacji będzie równa liczbie permutacji, co zapisujemy:

{\large V_n^n=n!}

ale

{\large V_n^n=}{\Large \frac{n!}{(n-n)!}}={\Large \frac{n!}{0!}}

w konsekwencji

n!={\large \frac{n!}{0!}}

{0!\cdot n!=n!}

{\Large 0!=1}

Powyższe uzasadnia, że przyjęcie 0!=1 jest wygodne, gdyż zapewnia "spójność" podstawowych wzorów. Ale czy stoi za tym coś więcej?

!!! Dalsza część dla nieco bardziej zaawansowanych czytelników !!!

Funkcja jako odwzorowanie zbiorów

Funkcja "- schemat

Funkcja f:A\to B, gdzie dla każdego a \in A istnieje f(a)=b\in B wyznacza tak naprawdę relację pomiędzy elementami a i b. Przy takim podejściu możemy powiedzieć, że elementy a\in A oraz b\in B są w relacji f wtedy i tylko wtedy gdy f(a)=b.

Funkcja jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego

Funkcję f:A\to B możemy potraktować jako podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B, co symbolicznie zapiszemy f\subseteq A\times B

(a,b)\in f \subseteq A\times B \iff f(a)=b

Dobrym przykładem jest wykres funkcji rzeczywistej, który jest podzbiorem płaszczyzny.

Iniekcja - czyli funkcja różnowartościowa

Funkcja "1-1" różnowartościowa - Iniekcja

Iniekcja to inaczej funkcja różnowartościowa, tzn. funkcja f:A\to B jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych elementów x,y\in A spełniony jest warunek

x\neq y \implies f(x) \neq f(y)

Surjekcja - czyli funkcja "na"

Funkcja "na" - Surjekcja

Surjekcja to taki przypadek funkcji f:A\to B, że każdy element zbioru B ma swój odpowiednik w zbiorze A. Formalnie zapiszemy to tak

{\large \displaystyle\forall_{b \in B} \quad\displaystyle\exists_{a\in A}\quad}f(a)=b

Bijekcja - czyli funkcja odwracalna (wzajemnie jednoznaczna)

Funkcja odwracalna "1-1" i "na" - Bijekcja

Bijekcja to funkcja f:A\to B, która jednocześnie spełnia warunek iniekcji oraz surjekcji, tzn. jest różnowartościowa oraz "na". Bijekcja jest funkcją odwracalną i wyznacza odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne zbioru A na zbiór B (każdy element zbioru A jest jednoznacznie przypisany do elementu zbioru B, oraz każdy element zbioru B ma jednoznaczny odpowiednik w zbiorze A).

Bijekcja vs Permutacja

Permutacja jest funkcją zwracająca uporządkowanie zbioru, tzn. jeśli rozważamy n-elementowy zbiór {1, 2, ..., n} to permutacja będzie funkcją

p:\{1, 2, ..., n\}\to\{1, 2, ..., n\}

spełniającą warunek bijekcji. Pytając o liczbę permutacji możemy równoważnie pytać o liczbę różnych bijekcji z danego zbiory w samego siebie.

Funkcja pusta f:\emptyset\to B

Funkcją pustą nazywamy każdą funkcję, której dziedziną jest zbiór pusty.

f:\emptyset\to B

Wykres funkcji pustej jest zbiorem pustym, gdyż iloczyn kartezjański \emptyset\times B=\emptysetFunkcja pusta jest różnowartościowa, gdyż w dziedzinie (czyli w zbiorze pustym) nie istnieją takie dwa różne elementy, dla których wartość funkcji jest równa.

Funkcja pusta f:\emptyset\to \emptyset

Funkcja pusta f:\emptyset\to \emptyset jest bijekcją, gdyż nie istnieje element przeciwdziedziny (przeciwdziedzina jest zbiorem pustym) nie będący w relacji z elementem dziedziny. Zauważmy, że istnieje dokładnie jedna bijekcja f:\emptyset\to \emptyset, co wynika z faktu, że funkcja jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego dziedziny i przeciwdziedziny. W przypadku rozważanej funkcji pustej f:\emptyset\to \emptyset wspominany iloczyn kartezjański to zbiór pusty \emptyset\times\emptyset=\emptyset, który ma dokładnie jeden podzbiór - również zbiór pusty.

0! = 1 vs funkcja pusta f:\emptyset\to \emptyset

Pisałem wyżej, że liczbę permutacji zbioru n-elementowego można utożsamiać z liczbą bijekcji z tego zbioru w samego siebie. Tym samym permutacjom zbioru 0-elementowego odpowiadają bijekcje ze zbioru pustego w zbiór pusty - a taka funkcja jest dokładnie jedna! 🙂 Trochę abstrakcyjne, ale się zgadza 🙂

Funkcja Gamma (zwana również gammą Eulera) - czyli silnia dla liczb rzeczywistych i zespolonych

Funkcja Gamma - źródło Wikipedia

Funkcja Gamma jest funkcją, która rozszerza pojęcie silni na cały zbiór liczb rzeczywistych, a nawet zespolonych!

\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{z-1}e^{-t}dt

 Okazuje się (po scałkowaniu przez części), że

\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z)

oraz

\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}dt=...

...=\displaystyle\int_{-\infty}^{0}e^{t}dt=...

...=[e^{t}]_{-\infty}^{0}=...

...=e^0-e^{-\infty}=1-0=1

 \Gamma(1)=1

Z powyższego wynika, że dla wszystkich całkowitych liczb n\geq 0 zachodzi

 {\Gamma(n+1)=n!}

 {\large0!=\Gamma(1)=1}

Kolejne bardzo ciekawe spostrzeżenie, że {0!} ma związek z funkcją eksponencjalną!!

Funkcja eksponencjalna

Zwięzek liczby e oraz silni jest nawet większy!

e=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\ldots

Obiecałem, że będzie hardcorowo - i było 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Mnożenie liczb ujemnych - czyli dlaczego minus razy minus daje plus

Minus razy minus daje plus

Z pewnością każdy wie, że wynikiem mnożenia liczb ujemnych jest liczba dodania. Formułka "minus razy minus daje plus" była nam wtłaczana do głów w trakcie wczesnych lat szkolnych. Nauczyciele zapomnieli jednak wyjaśnić dlaczego tak właśnie jest, oraz przybliżyć motywację matematyków definiujących arytmetykę liczb ujemnych.

Mnożenie jako skrócone dodawanie

Mówi się, że mnożenie to skrócone dodawanie, co jest w zupełności prawdą i, przy ograniczeniu do liczb całkowitych, faktem dosyć oczywistym.

3\times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12

Mnożenie jest przemienne i rozdzielne względem dodawania

Te dwie fundamentalne własności mnożenia zapisujemy jako

przemienność a\times b = b\times a

przykład 3\times 4 = 4\times 3=12

rozdzielność a\times (b+c)=a\times b + a\times c

przykład 3\times 4 = 3\times (1+3) = 3\times 1 + 3\times 3 = 3 + 9 = 12

Mnożenie liczb ujemnych z punktu widzenia matematyka

Matematycy, definiując arytmetykę liczb ujemnych, chcieli zachować spójność z już rozwiniętą arytmetyką liczb dodatnich i zera. Opierając się na interpretacji skróconego dodawania łatwo uzasadniamy następujące:

-3\times 4 = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12

"Dodając dług do długu" otrzymujemy większy dług - intuicyjne. Teraz wykorzystując przemienność mnożenia otrzymujemy:

4\times (-3)=-3\times 4=-12

W tym momencie z intuicją już trochę trudniej, natomiast spójność została zachowana. Czas przejść do meritum - tzn spróbujmy odpowiedzieć na pytanie:

-3\times (-4)=?

Do rozwiązania powyższego zastosujemy trick na bazie rozdzielność mnożenia względem dodawania.

-3\times 0=0

-3\times 0=-3\times(-4+4)=0

-3\times(-4+4)=-3\times (-4)+(-3)\times 4=0

-3\times(-4)+(-12)=0

-3\times(-4)=12

Powyższe z intuicją nie ma nic wspólnego, jednak jest spójne, tzn. na bazie arytmetyki liczb dodatnich i zera, przemienności mnożenia, rozdzielności mnożenia względem dodawania, jesteśmy w stanie uzasadnić dlaczego mnożenie liczb ujemnych musi być liczbą dodatnią.

Mnożenie liczb ujemnych jako zmniejszenie straty

Załóżmy, że mnożymy dwie liczby, gdzie interpretacja pierwszej to wartość zysku bądź starty, natomiast znaczenie drugiej to zwielokrotnienie (zwiększenie / zmniejszenie) pierwszej wartości. W takiej sytuacji mnożenie dwóch liczb ujemnych oznacza zmniejszenie straty, czyli łączny efekt dodatni działania.

Interpretacja zmniejszenia straty

Powyższe wyjaśnienie można określić mianem intuicyjnego 🙂

I na koniec film od Mathologer'a wyjaśniający powyższy problem (materiał, na którym wzorowałem powyższy wpis).

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada