Funkcja e do x (e^x)

„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.

– Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!

– Nie boję się, jestem $e^x$. 

I tak spokojna $e^x$ została. Wpada operator.

– Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!

– A proszę bardzo – jestem $e^x$ – nic mi nie grozi.

– Kochana, ja różniczkuję po $dy$”

Ten iście „nerdowski” dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii „o liczbie e”. Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty „dlaczego?” liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej $a^x$ 🙂

Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania

Continue reading

Liczba e

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę $e$, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego.

$$e\approx 2.718\ldots$$

Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów „o liczbie e”. Tym samym wzbogacam cykl „dlaczego?”. Dowody przeprowadzę „metodą elementarną” – wszak chodzi o „pierwotność / naturalność” $e$. Będzie kilka dużych „odcinków” – zapraszam 🙂

Nota historyczna

Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach. W matematyce jest wszechobecna! Z powodzeniem dorównuje liczbie $\pi$. Analiza matematyczna (w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe), funkcje specjalne, analiza zespolona, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna – to najbardziej wyraziste przykłady. W innych naukach ścisłych (np.: ekonomia, fizyka, biologia) liczba e pojawia się w wielu ważnych równaniach, w tym: równanie przewodnictwa cieplnego, wzór barometryczny, rozpady promieniotwórcze, fazory, funkcja falowa w mechanice kwantowejwzrost populacji, procent składany.

Pierwsze informacje na temat liczby e pojawiły się w 1618 roku. Opublikował je John Napier, przygotowując tabele logarytmów. Praca nie zawierała samej stałej, prezentowała niektóre wartości logarytmów na bazie e. Liczbę e w jej dzisiejszej postaci odkrył Jacob Bernoulli. Dokonał tego w 1683 roku analizując własności procentu składanego. Pierwsze udokumentowane wykorzystanie liczby e, wtedy oznaczanej przez b, pojawiło się w latach 1690-1691 (Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens). Wykorzystanie stałej znacząco rozwinął Leonhard Euler oznaczając ją w 1727 roku do dziś wykorzystywanym symbolem $e$.

Procent składany

Continue reading

Pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa

Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa – fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie „dlaczego” tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco więcej gimnastyki. Pokażę kilka podjeść, w tym osobno „pokryciowe”, osobno oparte na całce Riemanna, oraz osobno na bazie przekształcenia liniowego. Na koniec podam bardziej ogólne wnioski co do zmiany pola powierzchni względem znacznie szerszej niż podobieństwo klasy transformacji. Zapraszam 🙂

Czym jest podobieństwo?

Continue reading

Koło - pole powierzchni - animacja

$P=\pi r^2$ to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu „Dlaczego?” 🙂 Do dzieła! 🙂

Pole powierzchni koła – wzór

Pole powierzchni koła - wzór

$$P=\pi r^2$$

Jak widać powyżej – kwadrat i koło, o tej samej powierzchni, nie są „jakoś intuicyjnie łatwo” powiązane. Więcej – wykazano nawet, że kwadratura koła (procedura wykonywana przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki) jest niewykonalna! I tu pojawia się genialny pomysł z prostokątem 🙂 Nim powiem o co chodzi przyjrzyjmy się co tak naprawdę mówi wzór $$\pi r^2$$.

Pole powierzchni kola - Pi r kwadrat

$\pi\times r^2$ – czyli w kole mieszczą się nieco ponad 3 kwadraty o boku r 🙂

Pole powierzchni koła – dowód przez animację 🙂

Koło - pole powierzchni - animacja

Trochę się napracowałem przy tej animacji 🙂

Pole powierzchni koła – wielokąty foremne

Uwaga – poniższe nie jest dowodem, a obrazuje jedynie sposób wnioskowania stosowany przez Starożytnych Greków (tak np. Archimedes wyznaczał liczbę pi).

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny

Można zauważyć, że obwód n-kąta foremnego opisanego na kole wynosi

$$O_n=na$$

a jego pole to suma pól trójkątów o podstawie $a$ i wysokości równej promieniowi koła $r$.

$$P_n=n\frac{ar}{2}=\frac{nar}{2}$$

Podstawiając

$$P_n=\frac{O_nr}{2}$$

Gdy n jest coraz większe, $P_n$ coraz dokładniej przybliża pole koła, a $O_n$ jego obwód. W „kroku granicznym” (zagadnienie wielkości nieskończenie małej) otrzymujemy

$O_n\to 2\pi r$ – tu z definicji liczby $\pi$

$$P_n\to\frac{2\pi rr}{2}=\pi r^2$$

Pole powierzchni koła – dowód nieco bardziej formalny

Dowód, który przeprowadzę, nie będzie oparty na całkowaniu równania okręgu. Wykorzystam ciągi i ich granice oraz twierdzenie o trzech ciągach.

Twierdzenie o trzech ciągach

Niech będą dane trzy ciągi rzeczywiste $a_n$, $b_n$ i $c_n$. Jeśli „prawie wszędzie” (tzn. pomijając co najwyżej skończenie wiele wyrazów) zachodzi zależność

$$a_n\leq b_n\leq c_n$$

oraz

$$\lim a_n = \lim c_n = g$$

to

$$\lim b_n = g$$

Twierdzenie o trzech ciągach – strona na Wikipedii.

Przyda się również $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$

Pamiętam jak w szkole średniej, na lekcjach fizyki, mój nauczyciel wielokrotnie przyjmował, że dla małych $x$ funkcję $\sin x$ dobrze przybliża właśnie $x$. Wynika to z rozwinięcia $\sin x$ w szereg Taylora – wyjaśnienie pomijam. Wyznaczę jednak samą granicę – bo się przyda 🙂

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\big(\frac{0}{0}\big)\text{ reg. de l`Hospitala}=$$

$$=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)\prime}{x\prime}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=$$

$$=\frac{\cos 0}{1}=\frac{1}{1}=1$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

Reguła de l’Hospitala – Wikipedia

Pole powierzchni koła – dowód

Rozważmy n-kąty foremne opisane na kole i wpisane w koło. Pole n-kąta opisanego nazwijmy „polem zewnętrznym” i oznaczmy $Z_n$. Analogicznie pole n-kąta wpisanego nazwiemy „polem wewnętrznym” oznaczając je $W_n$.

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny wpisany i opisany

Oczywiście

$$W_n\leq P\leq Z_n$$

gdzie $P$ oznacza pole koła.

W kolejnym kroku dzielimy n-kąty na n-trójkątów. Zauważmy, że w ten sposób kąt pełny został również podzielony na n równych części. Pole „trójkąta zewnętrznego” oznaczymy przez $T_n$, a trójkąta wewnętrznego $t_n$.

Pole powierzchni koła - awielokąt foremny wpisany i opisany

$$Z_n=nT_n$$

$$W_n=nt_n$$

Wyznaczamy pole trójkąta „zewnętrznego”

$$T_n=Ar$$

ale

$$\frac{A}{r}=\text{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$\frac{A}{r}r^2=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$Ar=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$T_n=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=r^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}$$

Wyznaczamy pole trójkąta „wewnętrznego”

$$t_n=ah$$

ale

$$\frac{a}{r}=\sin\beta$$

$$a=r\sin\beta$$

oraz

$$\frac{h}{r}=\cos\beta$$

$$h=r\cos\beta$$

podstawiając

$$t_n=r\sin\beta\cdot r\cos\beta=r^2\sin\beta\cos\beta$$

stosując tożsamości trygonometryczne

$$t_n=r^2\sin\beta\cos\beta=\frac{r^2}{2}2\sin\beta\cos\beta=$$

$$=\frac{r^2}{2}\sin2\beta=\frac{r^2}{2}\sin\alpha$$

$$t_n=\frac{r^2}{2}\sin\alpha=\frac{r^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}$$

Finalne ciągi

$$Z_n=nT_n=nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}$$

$$W_n=nt_n=\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}$$

Granice ciągów

$$\lim Z_n=\lim nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}=$$

$$=\lim \frac{nr^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=$$

$$=\lim \frac{\pi r^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=\frac{\pi r^2}{\cos 0}\cdot 1=$$

$$=\frac{\pi r^2}{1}=\pi r^2$$

$$\lim Z_n=\pi r^2$$

$$\lim W_n=\lim\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}=$$

$$\lim \frac{nr^2}{2}\cdot \frac{2\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=$$

$$\lim \pi r^2\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=\pi r^2\cdot 1=\pi r^2$$

$$\lim W_n=\pi r^2$$

Wniosek

Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że pole koła to

$$P=\lim W_n=\lim Z_n=\pi r^2$$

Tempo zbieżności ciągów $W_n$ oraz $Z_n$

Pole powierzchni koła - tempo zbieżności ciągów

🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Trójkąt - Pole powierzchni

Jestem pewien, że wzór na pole powierzchni trójkąta, tj. $P=\frac{1}{2}ah$, jest znany niemal wszystkim 🙂  Dzieci, będąc we wczesnym wieku szkolnym, poznają podstawy geometrii, w tym długości obwodów i pola powierzchni figur płaskich. Jeśli interesuje cię dlaczego pole powierzchni trójkąta zależy od długości jego podstawy i wysokości na nią opadającej, to jest to wpis dla Ciebie 🙂 Jednocześnie wzbogacam cykl „Dlaczego?”. Zaczynamy!

Pole powierzchni trójkąta – wzór

Trójkąt - Pole powierzchni

Wzór na pole powierzchni trójkąta, choć prosty, to na pierwszy rzut oka nie jest zbyt intuicyjny (no może poza przypadkiem trójkąta prostokątnego). Oto, w jakiś magiczny sposób, dla każdej podstawy, iloczyny ich długości i długości wysokości na nie opadających, są sobie równe – i więcej – określą pole powierzchni ograniczonej trójkątem 🙂

$$P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}$$

Pole powierzchni trójkąta – dowód przez animację 🙂 – przypadek 1

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta „opada” na jego podstawę.

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 1

Pole powierzchni trójkąta – dowód przez animację 🙂 – przypadek 2

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta „opada” poza jego podstawą.

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 2

Pole powierzchni trójkąta – dowód nieco bardziej formalny

Trójkąt prostokątny: przypadek oczywisty, nie wymaga wyprowadzenia 🙂

Trójkąt - Pole powierzchni - Trójkąt prostokątny

$$P=\frac{ab}{2}$$

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta „opada” na jego podstawę.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 1

Wyprowadzenie wzoru:

$$P=P_1+P_2$$

$$2P_1+2P_2=ah$$

$$P_1+P_2=\frac{ah}{2}$$

$$P=\frac{ah}{2}$$

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta „opada” poza jego podstawą.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 2

Wyprowadzenie wzoru:

$$P+P_1=P_2$$

$$P=P_2-P_1$$

$$P_1=\frac{xh}{2}$$

$$P_2=\frac{(a+x)h}{2}=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}$$

$$P=P_2-P_1=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}-\frac{xh}{2}=\frac{ah}{2}$$

$$P=\frac{ah}{2}$$

Koniec na dziś 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Zero silnia równa się jeden / 0!=1

Artykuł „Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus?” cieszy się ogromnym zainteresowaniem (np. w piątek 21.10.2016 został pobity rekord, mianowicie tylko w tym jednym dniu 350 unikalnych użytkowników zapoznało się z treścią wpisu). Będąc świadomym, że dla wielu z Was ważne jest zrozumienie motywacji stojącej za podstawowymi definicjami, postanowiłem rozpocząć nowy cykl „Dlaczego?”. Nowa seria skupi się na powszechnie znanych zagadnieniach, których wyjaśnienie nie jest już takie oczywiste. 🙂 Dziś na tapet idzie zero silnia! Przedstawię kilka argumentacji – w tym coś dla mniej i coś dla bardziej zaawansowanych! Będzie hardcorowo 🙂

Zero silnia równa się jeden / 0!=1

Silnia – definicja

Continue reading

Minus razy minus daje plus

Z pewnością każdy wie, że wynikiem mnożenia liczb ujemnych jest liczba dodania. Formułka „minus razy minus daje plus” była nam wtłaczana do głów w trakcie wczesnych lat szkolnych. Nauczyciele zapomnieli jednak wyjaśnić dlaczego tak właśnie jest, oraz przybliżyć motywację matematyków definiujących arytmetykę liczb ujemnych.

Mnożenie jako skrócone dodawanie

Mówi się, że mnożenie to skrócone dodawanie, co jest w zupełności prawdą i, przy ograniczeniu do liczb całkowitych, faktem dosyć oczywistym.

$$3\times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12$$

Mnożenie jest przemienne i rozdzielne względem dodawania

Te dwie fundamentalne własności mnożenia zapisujemy jako

przemienność $a\times b = b\times a$

przykład $3\times 4 = 4\times 3=12$

rozdzielność $a\times (b+c)=a\times b + a\times c$

przykład $3\times 4 = 3\times (1+3) = 3\times 1 + 3\times 3 = 3 + 9 = 12$

Mnożenie liczb ujemnych z punktu widzenia matematyka

Matematycy, definiując arytmetykę liczb ujemnych, chcieli zachować spójność z już rozwiniętą arytmetyką liczb dodatnich i zera. Opierając się na interpretacji skróconego dodawania łatwo uzasadniamy następujące:

$$-3\times 4 = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12$$

„Dodając dług do długu” otrzymujemy większy dług – intuicyjne. Teraz wykorzystując przemienność mnożenia otrzymujemy:

$$4\times (-3)=-3\times 4=-12$$

W tym momencie z intuicją już trochę trudniej, natomiast spójność została zachowana. Czas przejść do meritum – tzn spróbujmy odpowiedzieć na pytanie:

$$-3\times (-4)=?$$

Do rozwiązania powyższego zastosujemy trick na bazie rozdzielność mnożenia względem dodawania.

$$-3\times 0=0$$

$$-3\times 0=-3\times(-4+4)=0$$

$$-3\times(-4+4)=-3\times (-4)+(-3)\times 4=0$$

$$-3\times(-4)+(-12)=0$$

$$-3\times(-4)=12$$

Powyższe z intuicją nie ma nic wspólnego, jednak jest spójne, tzn. na bazie arytmetyki liczb dodatnich i zera, przemienności mnożenia, rozdzielności mnożenia względem dodawania, jesteśmy w stanie uzasadnić dlaczego mnożenie liczb ujemnych musi być liczbą dodatnią.

Mnożenie liczb ujemnych jako zmniejszenie straty

Załóżmy, że mnożymy dwie liczby, gdzie interpretacja pierwszej to wartość zysku bądź starty, natomiast znaczenie drugiej to zwielokrotnienie (zwiększenie / zmniejszenie) pierwszej wartości. W takiej sytuacji mnożenie dwóch liczb ujemnych oznacza zmniejszenie straty, czyli łączny efekt dodatni działania.

Interpretacja zmniejszenia straty

Powyższe wyjaśnienie można określić mianem intuicyjnego 🙂

I na koniec film od Mathologer’a wyjaśniający powyższy problem (materiał, na którym wzorowałem powyższy wpis).

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa