Oko Mandelbrota

W cyklu „Matematyka w obrazkach” – nowe logo MathSpace.pl

Motywacja

Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o „Geometrii fraktalnej” – wpis „Fraktalne oblicze natury”.

„Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze.”

Michael F. Barnsley

 

„W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć”

Benoit Mandelbrot

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Zbiór Cantora

Georg Cantor - źródło Wikipedia.org

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918) – niemiecki matematyk, który zainicjował (oraz znacząco rozwinął) teorię mnogości. Można powiedzieć, że „Cantor dla teorii mnogości jest tym, kim Mandelbrot dla geometrii fraktalnej”. Cantora osobiście zaliczam do grona gigantów matematyki, których koncepcje i wyniki prac znacząco wyprzedzały daną epokę. Cantor jako pierwszy zadał pytanie o rozmiar nieskończoności. Wprawdzie w 17 wieku Newton i Leibniz stosowali pojęcie wielkości nieskończenie małej o niezerowym rozmiarze, co zapoczątkowało rachunek różniczkowy i całkowy – w 2015 roku napisałem na ten temat kilka słów. Ich starania nie były precyzyjne i w zasadzie jedynie „mgliście” wykorzystywały przejście w krok nieskończony, pomijając szereg problemów z tym związanych.

Cantor zajął się prawdziwie aktualną nieskończonością, wprowadzając definicję równoliczności zbiorów (również tych nieskończonych), co pozwoliło uogólnić pojęcie liczności zbioru. Dziś moc zbioru, określana mianem liczby kardynalnej i oznaczana $|A|$, odnosi się do wskazania zbioru równolicznego (na bazie istnienia bijekcji – czyli jednoznacznego parowania elementów dwóch zbiorów – co działa również w przypadku nieskończonym), którego moc jest znana. Idąc dalej – Cantor w liczbach kardynalnych wprowadził porządek. Powiemy, że $|A|\leq |B|$ jeśli A jest równoliczne z podzbiorem B.

Na mocy twierdzenie Cantora-Bernsteina otrzymujemy, że

jeśli $|A|\leq |B|$ oraz $|B|\leq |A|$ to $|A|=|B|$

Wynik genialny, gdyż pozwala porządkować również zbiory nieskończone! Cantor uczynił ten krok, wskazał nieskończoność najmniejszą – tj. nieskończoność zbioru liczb naturalnych. Zbiory równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych nazywamy dziś nieskończonymi zbiorami przeliczalnymi o mocy $\aleph_0$ (czyt. aleph zero).

W 1890 roku Cantor udowodnił przełomowe twierdzenie mówiące, że każdy zbiór ma mniejszą moc niż zbiór jego podzbiorów (zbiór potęgowy).

$$|A|< |2^A|$$

Kolejny genialny wynik, dający „generator” coraz to „większych” nieskończoności. Tych większych nieskończoności nie trzeba było szukać bardzo daleko. Analizując zbiór liczb rzeczywistych Cantor stwierdził, że jego nieskończoność znacznie przewyższa nieskończoność liczb naturalnych. Nieskończoność zbioru liczb rzeczywistych nazywamy dziś continuum i oznaczamy $\mathfrak{c}$.

$$\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$$

Czy istnieje nieskończoność większa od nieskończoności liczb naturalnych oraz mniejsza od nieskończoności liczb rzeczywistych? To pytanie również postawił Cantor, niestety na swoje nieszczęście… Pytanie, nazywane dziś Hipotezą Continuum, doprowadziło Cantora do choroby psychicznej. Cantor do końca życia przekonany był – na zmianę – o prawdziwości / nieprawdziwości hipotezy, co rusz przesyłając dowody potwierdzające / zaprzeczające. Dopiero w 1963 roku Paul Cohen wykazał, że Hipoteza Coninuum jest niezależna od aksjomatów teorii mnogości – czyli, że na bazie tych aksjomatów, nie można jej ani wykazać ani zaprzeczyć…

Zdecydowałem się na ten nieco długi, nie do końca związany z geometrią fraktalną, wstęp, ze względu na wpływ, jaki wywarły na moją osobę idee Georga Cantora. W 2007 roku napisałem artykuł „Od paradoksów do Hipotezy Continuum czyli – Tajemnice Nieskończoności” – zapraszam do lektury wszystkich pragnących zgłębić pojęcie nieskończoności w matematyce.

Polecam również „A Hierarchy of Infinities” – odcinek z serii „PBS Infinite Series”.

Zbiór Cantora

Zbiór Cantora jest podzbiorem jednostkowego odcinka powstającym poprzez:

  • podział odcinka na 3 równe części;
  • usunięcie części środkowej;
  • powtórzenie procedury usuwania dla nowo powstałych odcinków.

Finalny zbiór Cantora jest zbiorem granicznym przy nieskończenie wielu iteracjach wykonanych zgodnie z powyższymi punktami.

Zbiór Cantora

Zbiór Cantora został przez opisany w roku 1883.

Niezwykłe właściwości zbioru Cantora

  • Długość zbioru Cantora jest równa 0 – w języku bardziej formalnym powiemy, że jest to zbiór miary 0 (w sensie miary Lebesgue’a).

Zbiór Cantora powstaje poprzez usuwanie pewnych części – policzmy długość odcinków usuniętych.

$$1\cdot\frac{1}{3}+2\cdot\frac{1}{9}+4\cdot\frac{1}{27}+\ldots+2^{n-1}\cdot\frac{1}{3^n}+\ldots=$$

$$=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3\cdot 3^{n-1}}=$$

$$=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3}\bigg(\frac{2}{3}\bigg)^{n-1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=1$$

Długość odcinków usuniętych jest równa jedności, zatem to co pozostało musi mieć długość równą 0 🙂

  • Zbiór Cantora jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ – czyli ma moc continuum $\mathfrak{c}$.

Jest to dość zaskakująca własność dla zbioru, który nie ma długości (co pokazaliśmy wyżej). Zbiór Cantora ma formę „rozdmuchanego pyłu”, mimo to punktów jest znacznie więcej niż liczb naturalnych. Szczegóły dowodu relacji równoliczności znajdziecie tutaj.

  • Zbiór Cantora posiada własność samo-podobieństwa – czyli, że w jego skład wchodzą „jego mniejsze kopie”.

Zbiór Cantora i samo-podobieństwo

Własność samo-podobieństwa wynika wprost z definicji zbioru. Powyżej na obrazku zaznaczyłem część zbioru podobną do jego całości.

Zbiór Cantora jako fraktal

Zbiór Cantora posiada nietrywialną strukturę w każdej skali i jest samo-podobny – jest to zatem fraktal, najprostszy z możliwych 🙂

Iloczyn kartezjański zbiorów Cantora

Pył Cantora 2D - źródło Wikipedia

Pył Cantora 2D – źródło Wikipedia

Pył Cantora 3D - źródło Wikipedia

Pył Cantora 3D – źródło Wikipedia

Georg Cantor – ciekawostki

  • Był uczniem Karla Weierstrass’a oraz Leopolda Kronecker’a.
  • Przyjaźnił się z Richardem Dedekind’em – pamiętacie przedziały Dedekinda i liczby rzeczywiste? 🙂
  • Był osobą bardzo wierzącą. Odkrywając tajemnice nieskończoności odnosił wrażenie, że to sam Bóg mu je przekazuje.
  • Z powodu niemożności rozwiązania Hipotezy Continuum popadł w ciężką depresję, był wielokrotnie hospitalizowany, nie odzyskał w pełni zdrowia.
  • W ostatnich latach życia zajmował się mistycyzmem rozwijając koncepcję Absolutnej Nieskończoności, którą utożsamiał z Bogiem.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Karl Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) niemiecki matematyk uznawany za „ojca współczesnej analizy matematycznej”. Choć minęło już 17 lat, to nadal doskonale pamiętam pierwszy semestr studiów matematycznych i ekspozycję na podstawowe „bardziej abstrakcyjne” twierdzenia, w tym Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Twierdzenie mówi, że „każdy rzeczywisty ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny”, i choć brzmi prosto i ogólnie, jest niezwykle przydatnym narzędziem dowodzenia innych wyników metodą nie-wprost (zgodnie ze schematem „załóżmy, że … wtedy istnieje ciąg ograniczony, że …, wtedy istnieje podciąg zbieżny, że …, i z własności … wynika sprzeczność z założeniem”). Pięknie to (i nie tylko to) wykładał Pan Prof. Dr Hab. Tadeusz Rzeżuchowski – wielkie dzięki Panie Profesorze!

Funkcja Weierstrassa

Większość matematyków z okresu XVIII i XIX wieku uważało, że wszystkie rzeczywiste funkcje ciągłe są różniczkowalne w znaczącej części swej dziedziny (poza zbiorem izolowanych punktów). Dosyć naturalny pogląd okazał się jednak fałszywy, co wykazał Weierstrass w 1872 roku, a wcześniej podejrzewali Bernhard Riemann oraz Bernard Bolzano (prawdopodobnie w roku 1830 Bolzano podał kontrprzykład, którego nie opublikował). Funkcja Weierstrassa jest przykładem rzeczywistej funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej w całej dziedzinie (tzn. nie istnieje ani jeden punkt dziedziny, w otoczeniu którego funkcja zachowuje się „normalnie” – np. monotonicznie). Własność nietypowa, a nawet patologiczna! Jednak nie dla fraktali, zatem i nie dla otaczającej nas natury (analogia do nieintuicyjnej mechaniki kwantowej zaskakująco precyzyjnie opisującej rzeczywistość).

$${\Large f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)}$$

gdzie

$${\large 0<a<1\qquad ab>1+\frac{3}{2}\pi}$$

Warto zauważyć, że funkcję Weierstrassa można zapisać w postaci analitycznej (w uproszczeniu – podając wzór).

Funkcja Weierstrassa i fraktale

Poniżej wykres funkcji Weierstrassa na przedziale [-2; 2] – źródło Wikipedia.

Funkcja Weierstrassa

Benoit Mandelbrot mawiał, że „fraktal to zbiór matematyczny (lub inny obiekt ) charakteryzujący się w każdej skali wysoką nieregularnością oraz dużą fragmentacją.” W części pierwszej cyklu o „geometrii fraktalnej”odnosząc się do słów Mandelbrota, pisałem, że cechą fraktalną jest nietrywialna struktura obiektu w każdej skali – tzn. powiększanie ujawnia kolejne równie skomplikowane formy. Wspomniałem również o samo-podobieństwie – tzn. sytuacji, gdy w skład obiektu wchodzą jego „mniejsze” kopie. Wykres funkcji Weierstrassa zdaje się spełniać te kryteria – był to pierwszy odkryty fraktal!

Karl Weierstrass – ciekawostki

Weierstrass wykładał w Wałczu oraz w Braniewie. Wikipedia wymienia, że jego uczniami byli: Georg Cantor, Otto Holder, Georg Frobenius, Felix Klein, Hermann Minkowski.

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Cykl poświęcony geometrii fraktalnej rozpoczynam od kilku genialnych cytatów oraz, idąc za radą Benoita Mandelbrota, koniecznie podając grafiki / wizualizacje / zdjęcia.

„Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze.”

Michael F. Barnsley

„W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć”

Benoit Mandelbrot

„Fraktal to zbiór matematyczny (lub inny obiekt ) charakteryzujący się w każdej skali wysoką nieregularnością oraz dużą fragmentacją.”

Benoit Mandelbrot

„Ostatnie lata rozwoju matematyki, fizyki, biologii, astronomii oraz ekonomii dostarczyły nowego sposobu rozumienia ciągle rosnącej złożoności natury. Ta nowa dziedzina nauki, nazywana teorią chaosu, pozwala dostrzec porządek oraz wzorce gdzie dawnej dominowała losowość, niekonsekwencja, nieprzewidywalność – w skrócie obserwowany był chaos.”

James Gleick

Dla wielu termin fraktal kojarzy się z niezwykle pięknym zbiorem Mandelbrota, a wszystko za sprawą szeregu prostych programów komputerowych służących do jego wizualizacji. Jestem pewien, że znaczna część programistów rozpoczynała swoją przygodę z kodowaniem od programu generującego wspomniany zbiór – jednym z nich byłem ja! Dziś jednak nie będę skupiał się na osobie Benoita Mandelbrota – na to przyjdzie jeszcze czas. Zaznaczę natomiast, że był postacią o chyba największym wpływie na rozwój nowej dziedziny geometrii, geometrii przyrody.

Czym jest fraktal?

Nie istnieje jedna precyzyjna definicja fraktali. W zamian wymienia się cechy obiektów fraktalnych – najważniejsze to:

  • Samo-podobieństwo – tzn. w skład obiektu wchodzą jego „mniejsze kopie (lub przybliżone kopie)” – np. liść paproci.
  • Nietrywialna struktura w każdej skali – tzn. powiększanie ujawnia kolejne równie skomplikowane formy – np. drzewo, konary / gałęzie.
  • Niecałkowity (a nawet niewymierny) wymiar fraktalny – ten koncept wyjaśnimy szczegółowo później, chodzi np. o nieskończenie długą krzywą zamkniętą, która jest osadzona w ograniczonej przestrzeni (obiekt o typie „pomiędzy” linią a płaszczyzną)  – przykład rzeczywisty to chociażby linia brzegowa i pomiar jej długości – im  mniejsza skala pomiaru tym istotnie większy wynik.

Historia fraktali

Pierwsza część cyklu to jedynie wstęp – dlatego podaję główne nazwiska (w kolejności chronologicznej), które istotnie przyczyniły się do rozwoju geometrii fraktalnej. Są to wybitni matematycy i dlatego każdemu z nich poświęcę osobny wpis.

Fraktale w naturze – rośliny

Fraktale w naturze - rośliny

Fraktale w naturze - rośliny

 

Fraktale w naturze – krajobraz

Fraktale w naturze - krajobraz / góry

Fraktale w naturze - krajobraz / powierzchnia ziemi

 

Fraktale w naturze – biologia / ciało człowieka

Fraktale w naturze - ciało człowieka / płuca

Fraktale w naturze - ciało człowieka / oko

 

Fraktale w naturze – bilogia / kolonie bakterii

Fraktale w naturze - biologia / kolonie bakterii

Fraktale w naturze - biologia / kolonie bakterii

 

Fraktale w naturze – fizyka / materia / energia

Fraktale w naturze - fizyka / kryształ

Fraktale w naturze - ekonomia / wyładowanie elektryczne

 

Fraktale w naturze – astronomia / kosmologia

Fraktale w naturze - astronomia / galaktyka

Fraktale w naturze - astronomia / powierzchnia księżyca

 

Fraktale w naturze – ekonomia

Fraktale w naturze - ekonomia / trend

Fraktale w naturze - ekonomia / trend

Ciąg dalszy nastąpi … 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Kolejne wpisy dopiero po Świętach – zatem już dziś Wszystkim życzę wesołych Świąt! W ramach cyklu „Matematyka w obrazkach” przygotowałem fraktalną kartkę świąteczną – Choinkę Sierpińskiego – na którą składają się:

  1. Trójkąt Sierpińskiego
  2. Dywan Sierpińskiego
  3. Płatki śniegu Kocha (gwiazda, śnieg, zaspy)
  4. Zbiory Julii (niebo)
  5. Ozdoby – inny wariant dywanu Sierpińskiego

🙂

Choinka Sierpińskiego

Matematyka w obrazkach - Choinka Sierpińskiego

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Dziś ciekawostka w nawiązaniu do wpisu z dnia 20 października 2015 roku „Liczba PI ukryta w zbiorze Mandelbrota”, ujawniająca nietrywialne powiązanie liczby $\pi$ z prędkością ucieczki do nieskończoności przy zbliżaniu się punktu startu iteracji do „ostrza” zbioru Mandelbrota. Brzmi trochę skomplikowanie? Poniżej wyjaśnienie 🙂

Zbliżanie się do „ostrza” zbioru Mandelbrota

Rozważmy równanie rekurencyjne dla liczb rzeczywistych

$$x_n=\begin{cases}x_{n-1}^2+\frac{1}{4}+\epsilon&\text{dla}\quad n>0\\0&\text{dla}\quad n=0\end{cases}$$

Powyższe wyrażenie powstaje na bazie równania (w liczbach zespolonych) opisującego zbiór Mandelbrota

$$z_n=z_{n-1}^2+c$$

Mandelbrot - Ostrze

Ograniczając się do prostej rzeczywistej (dlatego użyłem zapisu $x_n$) przeanalizujmy zachowanie $x_n$ przy zbliżaniu się elementu $x_1=\frac{1}{4}+\epsilon$ do „ostrza” (ang. „cusp”) zbioru – ostrze to punkt o współrzędnych $(\frac{1}{4},0)$.

Szybkość ucieczki do nieskończoności

Ustalając odpowiednio małe $\epsilon>0$ decydujemy jak bardzo chcemy się zbliżyć do „ostrza”. Teraz zadanie polega na znalezieniu pierwszego $n$, dla którego $x_n>=2$. Takie minimalne $n$ jest dobrą miarą prędkości ucieczki $x_n$ do nieskończoności w zależności od wybranego $\epsilon$. Na marginesie dodam, że zbiór Juli dla równania Mandelbrota (na powyższym obrazku oznaczony kolorem czarnym), reprezentuje punkty „nieuciekające” do nieskończoności w trakcie nieskończonej iteracji . Ta tematyka jest sama w sobie bardzo ciekawa i zapewne kiedyś coś napiszę o atraktorach.

$$x_n=\begin{cases}x_{n-1}^2+\frac{1}{4}+\epsilon&\text{dla}\quad n>0\\0&\text{dla}\quad n=0\end{cases}$$

$$N_\epsilon=\min\big\{n~|~x_n\ge2\big\}$$

Rekurencja na rekurencji

W celu poszukiwania rozwiązania zapisujemy zadanie wykorzystując rekurencję

$$N(n,\epsilon)=\begin{cases}N(n+1,\epsilon)&\text{dla}\quad x_n<2\\n&\text{dla}\quad x_n>=2\end{cases}$$

Nietrudno zauważyć, że zdefiniowaliśmy rekurencję na rekurencji. To zły znak dla wydajności.

Test w MathParser.org-mXparser

/* Definicja funkcji rekurencyjnej */
Function x = new Function(&quot;x(n, eps) = if( n &amp;amp;gt; 0, x(n-1, eps)^2 + 0.25 + eps, 0 )&quot;);
Function N = new Function(&quot;N(n, eps) = if( x(n, eps) &amp;amp;gt;= 2, n, N(n+1, eps) )&quot;, x);

/* Obliczenia i wyświetlenie wyniku */
mXparser.consolePrintln( &quot;eps = 0.01&quot; + &quot;, N(0, eps) = &quot; + N.calculate(0, 0.01) + &quot;, czas = &quot; + N.getComputingTime() + &quot; s&quot; );
mXparser.consolePrintln( &quot;eps = 0.0001&quot; + &quot;, N(0, eps) = &quot; + N.calculate(0, 0.0001) + &quot;, czas = &quot; + N.getComputingTime() + &quot; s&quot; );
mXparser.consolePrintln( &quot;eps = 0.000001&quot; + &quot;, N(0, eps) = &quot; + N.calculate(0, 0.000001) + &quot;, czas = &quot; + N.getComputingTime() + &quot; s&quot; );
mXparser.consolePrintln( &quot;eps = 0.00000001&quot; + &quot;, N(0, eps) = &quot; + N.calculate(0, 0.00000001) + &quot;, czas = &quot; + N.getComputingTime() + &quot; s&quot; );

+ wyczekiwany wynik

eps = 0.01, N(0, eps) = 30.0, czas = 0.224 s
eps = 0.0001, N(0, eps) = 312.0, czas = 1.532 s
eps = 0.000001, N(0, eps) = 3140.0, czas = 37.343 s
eps = 0.00000001, N(0, eps) = 31414.0, czas = 4068.338 s

Wzorzec prędkości ucieczki

$$\epsilon=\frac{1}{10}\Rightarrow N_\epsilon=30$$

$$\epsilon=\frac{1}{1000}\Rightarrow N_\epsilon=312$$

$$\epsilon=\frac{1}{100000}\Rightarrow N_\epsilon=3140$$

$$\epsilon=\frac{1}{10000000}\Rightarrow N_\epsilon=31414$$

WOW! Jaki super wzorzec liczby wymaganych iteracji, aby przekroczyć 2! Dostajemy coś, co przypomina $\pi$, jednak wymaga postawienia „przecinka” w odpowiednim miejscu! Można również zauważyć, że 100-krotne zmniejszenie $\epsilon$ zwiększa niezbędną liczbę iteracji około 10-krotnie. Zmniejszając $\epsilon$ otrzymujemy liczbę coraz bardziej „przypominającą” $\pi$ 🙂

Zbiór Mandelbrota

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Zobacz również:

  1. Polowanie na czarownice – czyli zabawy z rekurencją (część 1)
  2. Naiwny test pierwszości – czyli zabawy z rekurencją (część 3)
  3. Rekurencja pośrednia – czyli zabawy z rekurencją (część 4)
  4. Liczba PI ukryta w zbiorze Mandelbrota

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot

Benoit Mandelbrot (1924-2010) – twórca geometrii fraktalnej, „właściciel” prawdopodobnie najsławniejszego zbioru w matematyce – urodził się w Polsce! Przyszedł na świat w roku 1924 w Warszawie. Był dzieckiem rodziny żydowskiej, która w roku 1936 wyemigrowała do Francji, co prawdopodobnie ocaliło ich życie. Mandelbrot we Francji dołączył do swojego stryja – Szolema Mandelbrojta, również polskiego matematyka, ucznia Jacques’a Hadamarda i członka grupy Burbakiego – to Szolem wprowadził Benoit’a w świat matematyki. Mandelbrot miał niesamowitą zdolność rozwiązywania problemów poprzez wizualizację, co w tamtych czasach było niespotykane (np. grupa Burbakiego propagowała podejście niemal wyłącznie analityczne).

Historia Mandelbrota będzie z pewnością tematem osobnego wpisu, gdzie bliżej przedstawię wyniki jego prac, szczególnie te nad systemami funkcji iterowanych oraz pojęciem wymiaru fraktalnego.

Zbiór Mandelbrota

Benoit Mandelbrot – wywiad dla bigthink.com.

Zapraszam do obejrzenia wywiadu, którego Mandelrbrot udzielił dla bigthink.com.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Nieskończoność

———————-

„Skończoność jest pożywieniem matematyki, nieskończoność – tlenem.”

———————-
„W matematyce – chodzimy na skróty przez nieskończoność.”

———————-
„Nieskończoność jest równikiem pomiędzy skończonymi biegunami założenia i tezy.”

———————-
„Do najistotniejszych pojęć matematyki należą mosty łączące skończoność i nieskończoność.”

———————-

Leżącą cyfra osiem, lemniskata ∞, dobrze wszystkim znany symbol nieskończoności. Czasami z plusem, czasami z minusem, innym razem samotnie, ale zawsze od początku do końca, od zera do krańca wszystkiego. Pojęcie nieskończoności pojawia się w wielu dziedzinach. Świat fizyki zastanawia się czy Wszechświat jest nieskończony? Czy istnieje nieskończoność w mikroskali? Czy materię można dzielić na coraz mniejsze części, powtarzając czynność bez końca? Świat werbalny przedstawia nieskończoność jako granicę, jako zjawisko cykliczne, jako abstrakcję. Boskość wraz z wiecznością silnie wiążą się z nieskończonością dla świata duchowego. Nawet w świecie komputerów prosty błąd programisty może doprowadzić do nieskończonej pętli. Wiele możliwości interpretacji, wiele typów nieskończoności, a świat matematyki dostarcza kolejnych. Dlatego zapraszam wszystkich do poznania wielu różnych oblicz nieskończoności w matematyce, do zrozumienia, że istnieją te mniejsze i te większe, że nie istnieje największa, że jednocześnie możemy wskazać nieskończoność najmniejszą – i bardziej ogólnie – że istnieją metody porównywania rozmiarów nieskończoności!

Zapraszam do eseju „Od paradoksów do hipotezy continuum – czyli tajemnice nieskończoności.”

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa) ma wiele definicji. Większość z nich opiera się na własności samopodobieństwa. Wymiar fraktalny niesie w sobie bardzo ciekawą informację – pokazuje w jakim stopniu obiekt wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony. Dla regularnych obiektów (np. kula, kostka) osadzonych w przestrzeniach n-wymiarowych, wymiar fraktalny wyniesie n (np. wymiar fraktalny kuli 2-wymiarowej wynosi 2), wskazując, że te obiekty w „100% wypełniają” przestrzeń, w której są osadzone. W przypadku fraktali ich wymiar fraktalny jest mniejszy od wymiaru przestrzeni, w której się znajdują – i co bardziej istotne – będzie niecałkowity (a nawet niewymierny). To fascynujące, że takie obiekty istnieją, a geometria fraktalna jest językiem biologii! Wszystkich chętnych do zapoznania się z intuicyjną definicję wymiaru fraktalnego (dla szczególnych klas obiektów i przestrzeni – takich jak przestrzenie metryczne), zapraszam do mojego mini artykułu Fraktale – jako obrazy matematycznego świata zbiorów (fraktale i samopodobieństwo).

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Drewno + 1500 volt = fraktal

Kształty łudząco przypominające wzory fraktalne można uzyskać poprzez włączenie „drewna” w obieg prądu o napięciu 15000 volt! Bieżąca definicja fraktali opiera się na własności samopodobieństwa i/lub na nieskończonej złożoności kształtu, gdzie powiększanie fragmentów nie powoduje zmniejszenia poziomu „złożoności” obiektu. Moim zdaniem poniższy obraz spełnia podane kryteria.

Dla porównania animacja „głębokiego powiększania” odgałęzień zbioru Mandelbrota.

Zainteresowanych zapraszam do serii artykułów o geometrii fraktalnej, w szczególności „Fraktalne oblicze natury”.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Numberphile logo

Zbiór Mandelbrota

Numberphile logoCiekawostka od Numberphile pokazująca w jaki przedziwny sposób liczba PI jest ukryta w „ostrzu” zbioru Mandelbrota. Polecam!

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Zobacz również:

  1. Prędkość ucieczki do nieskończoności – czyli zabawy z rekurencją (część 2)

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa