Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

$P=\pi r^2$ to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu „Dlaczego?” 🙂 Do dzieła! 🙂

Pole powierzchni koła – wzór

Pole powierzchni koła - wzór

$$P=\pi r^2$$

Jak widać powyżej – kwadrat i koło, o tej samej powierzchni, nie są „jakoś intuicyjnie łatwo” powiązane. Więcej – wykazano nawet, że kwadratura koła (procedura wykonywana przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki) jest niewykonalna! I tu pojawia się genialny pomysł z prostokątem 🙂 Nim powiem o co chodzi przyjrzyjmy się co tak naprawdę mówi wzór $$\pi r^2$$.

Pole powierzchni kola - Pi r kwadrat

$\pi\times r^2$ – czyli w kole mieszczą się nieco ponad 3 kwadraty o boku r 🙂

Pole powierzchni koła – dowód przez animację 🙂

Koło - pole powierzchni - animacja

Trochę się napracowałem przy tej animacji 🙂

Pole powierzchni koła – wielokąty foremne

Uwaga – poniższe nie jest dowodem, a obrazuje jedynie sposób wnioskowania stosowany przez Starożytnych Greków (tak np. Archimedes wyznaczał liczbę pi).

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny

Można zauważyć, że obwód n-kąta foremnego opisanego na kole wynosi

$$O_n=na$$

a jego pole to suma pól trójkątów o podstawie $a$ i wysokości równej promieniowi koła $r$.

$$P_n=n\frac{ar}{2}=\frac{nar}{2}$$

Podstawiając

$$P_n=\frac{O_nr}{2}$$

Gdy n jest coraz większe, $P_n$ coraz dokładniej przybliża pole koła, a $O_n$ jego obwód. W „kroku granicznym” (zagadnienie wielkości nieskończenie małej) otrzymujemy

$O_n\to 2\pi r$ – tu z definicji liczby $\pi$

$$P_n\to\frac{2\pi rr}{2}=\pi r^2$$

Pole powierzchni koła – dowód nieco bardziej formalny

Dowód, który przeprowadzę, nie będzie oparty na całkowaniu równania okręgu. Wykorzystam ciągi i ich granice oraz twierdzenie o trzech ciągach.

Twierdzenie o trzech ciągach

Niech będą dane trzy ciągi rzeczywiste $a_n$, $b_n$ i $c_n$. Jeśli „prawie wszędzie” (tzn. pomijając co najwyżej skończenie wiele wyrazów) zachodzi zależność

$$a_n\leq b_n\leq c_n$$

oraz

$$\lim a_n = \lim c_n = g$$

to

$$\lim b_n = g$$

Twierdzenie o trzech ciągach – strona na Wikipedii.

Przyda się również $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$

Pamiętam jak w szkole średniej, na lekcjach fizyki, mój nauczyciel wielokrotnie przyjmował, że dla małych $x$ funkcję $\sin x$ dobrze przybliża właśnie $x$. Wynika to z rozwinięcia $\sin x$ w szereg Taylora – wyjaśnienie pomijam. Wyznaczę jednak samą granicę – bo się przyda 🙂

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\big(\frac{0}{0}\big)\text{ reg. de l`Hospitala}=$$

$$=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)\prime}{x\prime}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=$$

$$=\frac{\cos 0}{1}=\frac{1}{1}=1$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

Reguła de l’Hospitala – Wikipedia

Pole powierzchni koła – dowód

Rozważmy n-kąty foremne opisane na kole i wpisane w koło. Pole n-kąta opisanego nazwijmy „polem zewnętrznym” i oznaczmy $Z_n$. Analogicznie pole n-kąta wpisanego nazwiemy „polem wewnętrznym” oznaczając je $W_n$.

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny wpisany i opisany

Oczywiście

$$W_n\leq P\leq Z_n$$

gdzie $P$ oznacza pole koła.

W kolejnym kroku dzielimy n-kąty na n-trójkątów. Zauważmy, że w ten sposób kąt pełny został również podzielony na n równych części. Pole „trójkąta zewnętrznego” oznaczymy przez $T_n$, a trójkąta wewnętrznego $t_n$.

Pole powierzchni koła - awielokąt foremny wpisany i opisany

$$Z_n=nT_n$$

$$W_n=nt_n$$

Wyznaczamy pole trójkąta „zewnętrznego”

$$T_n=Ar$$

ale

$$\frac{A}{r}=\text{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$\frac{A}{r}r^2=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$Ar=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$T_n=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=r^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}$$

Wyznaczamy pole trójkąta „wewnętrznego”

$$t_n=ah$$

ale

$$\frac{a}{r}=\sin\beta$$

$$a=r\sin\beta$$

oraz

$$\frac{h}{r}=\cos\beta$$

$$h=r\cos\beta$$

podstawiając

$$t_n=r\sin\beta\cdot r\cos\beta=r^2\sin\beta\cos\beta$$

stosując tożsamości trygonometryczne

$$t_n=r^2\sin\beta\cos\beta=\frac{r^2}{2}2\sin\beta\cos\beta=$$

$$=\frac{r^2}{2}\sin2\beta=\frac{r^2}{2}\sin\alpha$$

$$t_n=\frac{r^2}{2}\sin\alpha=\frac{r^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}$$

Finalne ciągi

$$Z_n=nT_n=nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}$$

$$W_n=nt_n=\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}$$

Granice ciągów

$$\lim Z_n=\lim nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}=$$

$$=\lim \frac{nr^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=$$

$$=\lim \frac{\pi r^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=\frac{\pi r^2}{\cos 0}\cdot 1=$$

$$=\frac{\pi r^2}{1}=\pi r^2$$

$$\lim Z_n=\pi r^2$$

$$\lim W_n=\lim\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}=$$

$$\lim \frac{nr^2}{2}\cdot \frac{2\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=$$

$$\lim \pi r^2\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=\pi r^2\cdot 1=\pi r^2$$

$$\lim W_n=\pi r^2$$

Wniosek

Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że pole koła to

$$P=\lim W_n=\lim Z_n=\pi r^2$$

Tempo zbieżności ciągów $W_n$ oraz $Z_n$

Pole powierzchni koła - tempo zbieżności ciągów

🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada