O liczbie e - Część 1 - Dlaczego jest tak "naturalna" - Procent składany

Liczba e

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę e, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego.

e\approx 2.718\ldots

Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów "o liczbie e". Tym samym wzbogacam cykl "dlaczego?". Dowody przeprowadzę "metodą elementarną" - wszak chodzi o "pierwotność / naturalność" e. Będzie kilka dużych "odcinków" - zapraszam 🙂

Nota historyczna

Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach. W matematyce jest wszechobecna! Z powodzeniem dorównuje liczbie \pi. Analiza matematyczna (w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe), funkcje specjalne, analiza zespolona, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna - to najbardziej wyraziste przykłady. W innych naukach ścisłych (np.: ekonomia, fizyka, biologia) liczba e pojawia się w wielu ważnych równaniach, w tym: równanie przewodnictwa cieplnego, wzór barometryczny, rozpady promieniotwórcze, fazory, funkcja falowa w mechanice kwantowejwzrost populacji, procent składany.

Pierwsze informacje na temat liczby e pojawiły się w 1618 roku. Opublikował je John Napier, przygotowując tabele logarytmów. Praca nie zawierała samej stałej, prezentowała niektóre wartości logarytmów na bazie e. Liczbę e w jej dzisiejszej postaci odkrył Jacob Bernoulli. Dokonał tego w 1683 roku analizując własności procentu składanego. Pierwsze udokumentowane wykorzystanie liczby e, wtedy oznaczanej przez b, pojawiło się w latach 1690-1691 (Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens). Wykorzystanie stałej znacząco rozwinął Leonhard Euler oznaczając ją w 1727 roku do dziś wykorzystywanym symbolem e.

Procent składany

Czytaj dalej

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba \pi ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to "chaos", a \pi ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym - tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest \pi?

  • \pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • \pi to pole powierzchni koła o promieniu 1.
  • \pi to połowa obwodu koła o promieniu 1.
  • \pi to \frac{1}{4} pola powierzchni sfery o promieniu 1.
  • \pi to \frac{3}{4} objętości kuli o promieniu 1.
  • k\pi dla całkowitych k to miejsca zerowe funkcji \sin x.
  • ... i wiele innych ...

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna n\in\mathbb{N} większa od 1, której jednymi dzielnikami są 1 oraz n.
  • Liczby pierwsze to "atomy" w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia n-tej liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu "Prime-counting function".

Czytaj dalej