MaCDRG-yver – czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Inverse Transform Sampling to typowy sposób generowania liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, który opiera się na funkcji odwrotnej $F^{-1}$ do dystrybuanty $F$ tego rozkładu. Procedura jest banalna, wystarczy wylosować $Y\sim U(0,1)$ i zwrócić $F^{-1}(Y)$. Niestety nie zawsze łatwe jest wyznaczenie jawnej postaci dystrybuanty, tym bardziej dotyczy to funkcji do niej odwrotnej. Dla przykładu – powszechny rozkład normalny charakteryzuje się funkcją gęstości w postaci „elementarnej”, natomiast jego dystrybuanta (i funkcja do niej odwrotna) wymagają zastosowania funkcji specjalnych – w tym przypadku funkcji błędu Gaussa.

Kiedyś kolega (pozdrowienia Marcin!) pokazał mi nieskomplikowany sposób generacji liczb losowych z rozkładu opisanego histogramem. Zwyczajnie „kładziemy” (skalując) słupki histogramu na odcinek $(0,1)$, losujemy $X\sim U(0,1)$, weryfikujemy „do którego słupka wpadło X”, zwracamy „właśnie ten słupek”. Genialne w swojej prostocie, i działa. Histogram to dyskretna reprezentacja rozkładu, dlatego postanowiłem metodę uogólnić na klasę rozkładów ciągłych opisanych zadaną funkcją gęstości. Otrzymaną metodę nazwałem „MaCDRG-yver” 🙂

MaCDRG-yver - Monte Carlo Density based Random Generator

Czytaj dalej

Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Rozkład jednostajny na odcinku $$(0,1)$$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.

Uniform Sum Distribution

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$ jest opisany poniższą funkcją gęstości.

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$

Pisząc $$X\sim U(a,b)$$ oznaczamy, że zmienna losowa $$X$$ ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$. Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości $$0$$ lub $$\frac{1}{b-a}$$ w punktach $$x=a$$ i $$x=b$$ jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.

Czytaj dalej

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest $\pi$?

  • $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to połowa obwodu koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{1}{4}$ pola powierzchni sfery o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{3}{4}$ objętości kuli o promieniu $1$.
  • $k\pi$ dla całkowitych $k$ to miejsca zerowe funkcji $\sin x$.
  • … i wiele innych …

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna $n\in\mathbb{N}$ większa od $1$, której jednymi dzielnikami są $1$ oraz $n$.
  • Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $n-tej$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.

Czytaj dalej