MaCDRG-yver - czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Inverse Transform Sampling to typowy sposób generowania liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, który opiera się na funkcji odwrotnej F^{-1} do dystrybuanty F tego rozkładu. Procedura jest banalna, wystarczy wylosować Y\sim U(0,1) i zwrócić F^{-1}(Y). Niestety nie zawsze łatwe jest wyznaczenie jawnej postaci dystrybuanty, tym bardziej dotyczy to funkcji do niej odwrotnej. Dla przykładu - powszechny rozkład normalny charakteryzuje się funkcją gęstości w postaci "elementarnej", natomiast jego dystrybuanta (i funkcja do niej odwrotna) wymagają zastosowania funkcji specjalnych - w tym przypadku funkcji błędu Gaussa.

Kiedyś kolega (pozdrowienia Marcin!) pokazał mi nieskomplikowany sposób generacji liczb losowych z rozkładu opisanego histogramem. Zwyczajnie "kładziemy" (skalując) słupki histogramu na odcinek (0,1), losujemy X\sim U(0,1), weryfikujemy "do którego słupka wpadło X", zwracamy "właśnie ten słupek". Genialne w swojej prostocie, i działa. Histogram to dyskretna reprezentacja rozkładu, dlatego postanowiłem metodę uogólnić na klasę rozkładów ciągłych opisanych zadaną funkcją gęstości. Otrzymaną metodę nazwałem "MaCDRG-yver" 🙂

MaCDRG-yver - Monte Carlo Density based Random Generator

Czytaj dalej

Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Rozkład jednostajny na odcinku (0,1), chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.

Uniform Sum Distribution

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b) jest opisany poniższą funkcją gęstości.

f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}

Pisząc X\sim U(a,b) oznaczamy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b). Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości 0 lub \frac{1}{b-a} w punktach x=a i x=b jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.

Czytaj dalej

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba \pi ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to "chaos", a \pi ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym - tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest \pi?

  • \pi to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • \pi to pole powierzchni koła o promieniu 1.
  • \pi to połowa obwodu koła o promieniu 1.
  • \pi to \frac{1}{4} pola powierzchni sfery o promieniu 1.
  • \pi to \frac{3}{4} objętości kuli o promieniu 1.
  • k\pi dla całkowitych k to miejsca zerowe funkcji \sin x.
  • ... i wiele innych ...

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna n\in\mathbb{N} większa od 1, której jednymi dzielnikami są 1 oraz n.
  • Liczby pierwsze to "atomy" w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia n-tej liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu "Prime-counting function".

Czytaj dalej