Miara zbioru jako przykład potęgi matematycznych uogólnień

Miara zbioru

Osiągnięcia matematyczne są tym większe im bardziej uogólnione rezultaty są przedstawiane. Teorie matematyczne zawsze dążą do systematyzowania i generalizowania pojęć, umożliwiając ich aplikację w znacznie szerszej klasie problemów. Przykładowo matematyk nie zgłosi trudności z wyobrażeniem sobie 4 wymiarów, zwyczajnie analizuje n-wymiarów i podstawia n = 4 🙂 .

Teoria miary i całki

Jednym z ciekawszych przejawów tego trendu jest teoria miary i całki, która wyrosła z potrzeby ujednolicenia pod pojęciem rozmiaru zbioru jego długości, pola powierzchni, czy też objętości. Nową dziedzinę matematyki zaproponował na początku XX wieku Henri Lebesgue swoimi pracami na temat całki.

Podstawowe własności miary

Zastanawiając się jakie cechy powinna posiadać "dobra" funkcja miary najlepiej jest rozważać wspomniane wyżej "miary" naturalne takie jak: objętość, długość, waga. Dobrze skalibrowana waga nigdy nie pokazuje wartości ujemnych. Taka waga powinna wskazać zero jeżeli nic nie ważymy. Ponadto, jeżeli ważmy różne produkty, oczekujemy łącznej wagi równej sumie wag poszczególnych produktów. Idąc jeszcze dalej, jeśli podzielimy ważony element na części, które można zważyć, również oczekujemy zgodności odpowiednich pomiarów.

Co możemy mierzyć

Na tym etapie rozważmy dowolny niepusty zbiór \Omega. Mówiąc o pomiarach na zbiorze \Omega będziemy myśleli o pomiarach na jego podzbiorach \big(\Omega jest "maksymalnym" zbiorem podlegającym pomiarowi - np. może to być cała płaszczyzna \mathbb{R}^2\big) - niech zatem \mathfrak{F} oznacza rodzinę mierzalnych podzbiorów zbioru \Omega. Od takiej rodziny mierzalnych zbiorów oczekujemy spełnienia jedynie 3 warunków:

  1. Możemy zmierzyć "nic" - tzn. zbiór pusty jest mierzalny, co zapiszemy \emptyset \in \mathfrak{F}
  2. Jeżeli możemy zmierzyć zbiór A, możemy również zmierzyć to co pozostało (tzn. \Omega \setminus A), co zapisujemy \big(A \in \mathfrak{F} \big) \Rightarrow \big( \Omega \setminus A \in \mathfrak{F} \big)
  3. Jeśli dysponujemy wieloma zbiorami, które można zmierzyć, to o ile można je ponumerować, również można zmierzyć ich sumę, co zapisujemy \big(A_i \in \mathfrak{F}  dla i=1,2,\ldots \big) \Rightarrow \bigg(\displaystyle \bigcup_{i =1}^\infty A_i \in\mathfrak{F}\bigg)

Powyższe warunki (i ich konsekwencje) określają jakiego typu podzbiory przestrzeni \Omega mogą zostać zmierzone. Oczekuje się, że jeżeli można zmierzyć podzbiór, to można również zmierzyć jego dopełnienie. Jeżeli można zmierzyć wiele podzbiorów przestrzeni, można również zmierzyć ich sumę, jak też ich część wspólną. Ponadto, jeżeli można zmierzyć dwa dowolne podzbiory przestrzeni, można również zmierzyć ich różnicę. W szczególności zakłada się, że możliwe jest dokonanie pomiaru na zbiorze pustym, jak też na całej przestrzeni. Rodziny \mathfrak{F} podzbiorów zbioru \Omega spełniające powyższe warunki nazywa się sigma-ciałami.

Funkcja miary zbioru

Miarą zbioru nazwiemy funkcję, która każdemu zbiorowi, który można zmierzyć (elementy sigma-ciała), przyporządkuje wartości liczbowe (również nieskończoność) spełniające poniższe 3 warunki:

  1. Miara zbioru (\mu) nie przyjmuje wartości ujemnych, ale może być zerowa, co zapisujemy \forall ~A \in \mathfrak{F},  \mu(A) \mathfrak{\geq} 0
  2. Miara "nic" jest zawsze równa 0, co zapisujemy \mu(\emptyset)=0
  3. Jeśli podzielimy zbiór na rozłączne części, to miara zbioru jest równa sumie miar jego części, co zapisujemy \big( A_i \cap A_j = \emptyset \quad \mathrm{dla} \quad i \ne j \big) \Rightarrow \Bigg( \mu \bigg(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i \bigg) = \sum_{i = 1}^\infty \mu(A_i) \Bigg)

Powyższe warunki są wystarczające, aby funkcja miary zbioru dodatkowo spełniała poniższe:

  • Miara podzbioru jest nie większa niż miara wyjściowego zbioru, co zapisujemy \big( A \subseteq B \big) \Rightarrow \big( \mu(A) \leq \mu(B) \big)
  • Dodatkowo \big( A \subseteq B \big) \wedge \big( \mu(B) < +\infty \big) \Rightarrow \big( \mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A) \big)

Prawdopodobieństwo i miara - Patrick Billingsley

Miara zbioru (i ogólnie mierzalność) jest zupełnie podstawowym pojęciem w probabilistyce, to właśnie na przestrzeniach mierzalnych oparty jest cały model probabilistyczny, a w konsekwencji też model statystyczny. Wykorzystując okazję serdecznie polecam niesamowitą książkę Patrick'a Billingsley'a pod tytułem "Prawdopodobieństwo i miara".

Miara Lebesgue’a

W kolejnych artykułach przedstawimy miarę Lebesgue’a, która stanowi podstawę określania rozmiarów zbiorów w przestrzeniach euklidesowych.

Pozdrawiam,

Mariusz Gromada

 

 

 

"Prawie na pewno" vs "Na pewno" - czyli jedna z subtelności probabilistyki

Interpretacja słów niemożliwe i pewne nie sprawia na ogół żadnego kłopotu. Mówiąc, że coś jest niemożliwe, bądź pewne, mocno i zdecydowanym tonem akcentujemy fakt rozumiany jako coś niepodważalnego. W życiu codziennym rzadko dysponujemy takimi faktami, częściej posiadamy dobrze umotywowane przypuszczenia, że coś jest prawie niemożliwe lub prawie pewne. Rozumienie wyrażeń prawie niemożliwe i prawie pewne jest intuicyjnie łatwe, o ile potrafimy określić granicę kiedy prawie niemożliwe zaczyna być możliwe, a możliwe przechodzi w prawie pewne. Powyższe gierki słowne można nawet uporządkować rosnąco: niemożliwe < prawie niemożliwe < możliwe < prawie pewne < pewne. Idąc dalej powiemy, że to co jest prawie pewne lub pewne jest też zarazem możliwe. Nawet to co prawie niemożliwe pozostawia cień szansy na możliwość. Tej ciekawej własności nie posiada natomiast wyrażenie niemożliwe. Ufff...

Ale jak to się ma do teorii prawdopodobieństwa? Największe bogactwo probabilistyki to umiejętność wartościowania w sposób liczbowy wszelkich możliwych przypuszczeń, fachowo nazywanych zdarzeniami losowymi. Probabilistyka potrafi wartościować również zdarzenia rozumiane jako fakty, określane mianem zdarzenia losowego niemożliwego oraz zdarzenia losowego pewnego.

Przykładem prawie niemożliwego zdarzenia losowego może być wylosowanie danej liczby spośród zbioru liczb naturalnych. Najbardziej naturalnym będzie przyjąć, że prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi 0 (w uproszczeniu 1/∞). Czyżby istniały zdarzenia z prawdopodobieństwem 0, które mogą jednak zachodzić? Analogicznie dochodzimy do wniosku, że zdarzeniem prawie pewnym będzie każde zdarzenie losowe zachodzące z prawdopodobieństwem 1, jednak różne od całego zbioru zdarzeń elementarnych. Wskazanie zdarzeń niemożliwych i pewnych pozostawiam Wam - zatem czekam na komentarze 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Paradoks Banacha-Tarskiego i Cudowne rozmnożenie chleba w Galilei

Paradoks Banacha-Tarskiego

W 1924 roku Stefan Banach i Alfred Tarski sformułowali i udowodnili paradoksalne twierdzenie teorii mnogości o takim podziale jednej kuli na kilka części (skończoną ich liczbę), aby z powstałych elementów można było "skleić" dwie kule o identycznych parametrach jak ta wyjściowa. Podczas operacji "sklejania" wykorzystali jedynie obroty i przesunięcia, bez rozciągania, czy też innych operacji zmieniających kształt! Czyżby matematyka znalazła naukowe uzasadnienie dla Cudownego rozmnożenia chleba w Galilei? Jeśli chcesz poznać odpowiedź polecam film przygotowany przez Vsauce Vsauce

Jak zwykle zachęcam do dyskusji i komentarzy 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada