Genialny wzór Taylora - czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

"Co to jest różniczka? - zapytano  matematyka.
Różniczka to wyniczek odejmowanka - odpowiedział"
🙂

Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór Taylora, nazywamy często rozwinięciem Taylora funkcji f(x) w otoczeniu punktu x_0, faktycznie "rozwija" funkcję do postaci sumy funkcji elementarnych a_n(x-x_0)^n, stanowiących atomy wielomianów. W efekcie otrzymujemy nie tylko efektywną aproksymację wartości funkcji, ale również nową "łatwiejszą" jej formę.

Wielomian Taylora

Twierdzenie Taylora: Dla funkcji f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} n-razy różniczkowalnej (n\geq 1) w punkcie x_0\in\mathbb{R}, istnieje funkcja h_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, że

f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{wielomian-aproksymacja~f(x)}+\underbrace{h_n(x)(x-x_0)^n}_{reszta}

f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots

\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+h_n(x)(x-x_0)^n

oraz

\displaystyle\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0

Przez f^{(k)}(x) oznaczamy pochodną rzędu k funkcji f(x).

Twierdzenie Taylora nosi nazwę od angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opracował je w 1712 roku. Samą własność wcześniej odkrył James Gregory - dokonał tego w 1671 roku.

Czytaj dalej