W części 1 wpisu na temat Spirali Ulama zaznaczyłem, że efekt wizualnego ułożenia liczb pierwszych na diagonalach spirali kwadratowej jest konsekwencją głównie dwóch własności:

  1. Na przekątnych są albo same liczby parzyste, albo same liczby nieparzyste, zatem tylko diagonale z liczbami nieparzystymi będą agregować liczby pierwsze;
  2. Niektóre diagonale zagęszczają bardziej liczby pierwsze niż inne, co wynika z zależności pomiędzy przekątnymi i funkcją kwadratową oraz faktem, że niektóre funkcje kwadratowe generują więcej liczb pierwszych niż inne.

Dzisiejszy tekst poświęcę przybliżeniu własności nr 2.

Wielomiany i rekurencja

Funkcja kwadratowa i rekurencja

Dla wielomianów możemy zawsze podać ich postać rekurencyjną, Jest to własność mało znana, jednak dosyć prosta w uzasadnieniu. Pokażę to na przykładzie funkcji kwadratowej, jednocześnie wzbogacając cykl „Zabawy z rekurencją” 🙂

$$f(x) = ax^2+bx+c$$

Rozważmy następnie równanie

$$f(x+1)=f(x)+Bx+C$$

Podstawiając i upraszczając…

$$a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+bx+c+Bx+C$$

$$ax^2+2ax+a+bx+b+c=ax^2+bx+c+Bx+C$$

$$2ax+a+b=Bx+C$$

$2a=B$    oraz    $a+b=C$

otrzymujemy

$a=\frac{B}{2}$    oraz    $b=C-a$

Następnie analizując $f(1)$ mamy

$f(1)=a+b+c$    zatem    $c=f(1)-a-b$

$$c=f(1)-a-(C-a)=f(1)-C$$

Wniosek: jeśli znana jest relacja rekurencyjna $f(x+1)=f(x)+Bx+C$ oraz znamy wartość $f(1)$ to jesteśmy w stanie jednoznacznie wskazać równanie kwadratowe $ax^2+bx+c$ spełniające daną zależność rekurencyjna, gdzie

$a=\frac{B}{2}$,    $b=C-a$,    $c=f(1)-C$

Uogólnienia dokonujemy na bazie dwumianu Newtona

$$(x+1)^n = {n\choose 0}x^n+{n\choose 1}x^{n-1}+{n\choose 2}x^{n-2}+\ldots+{n\choose {n-1}}x+{n\choose n}$$

Funkcja kwadratowa i linie proste / przekątne na spirali Ulama

Poniżej spróbuję pokazać w jaki sposób „nawijanie prostej na kwadrat” sprawia, że parabole w efekcie otrzymują kształt linii prostych.

Przykład 1 – Pionowa prosta

Spirala Ulama - równanie prostej 1

Zapisujemy zależność rekurencyjną

$$f(1)=4$$

$$f(2)=f(1)+1+2+3+3+2$$

$$f(3)=f(2)+2+3+5+5+3$$

$$\ldots$$

$$f(n+1)=f(n)+n+2n+(2n+1)+(2n+1)+(n+1)$$

$$f(n+1)=f(n)+8n+3$$

Teraz, korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru, wyznaczamy współczynniki a, b, c funkcji kwadratowej spełniającej $f(n+1)=f(n)+8n+3$.

$a=\frac{8}{2}=4$,    $b=3-4=-1$,    $c=4-3=1$

$$f(n)=4n^2-n+1$$

Dla testu czy wszystko jest ok sami podstawcie $n=1,2,3\ldots$

Przykład 2 – Przekątna (linia diagonalna)

Spirala Ulama - równanie prostej 2

Ponownie zapisujemy zależność rekurencyjną, tym razem nieco prostszą.

$$f(1)=3$$

$$f(2)=f(1)+2+2+3+3$$

$$f(3)=f(2)+4+4+5+5$$

$$\ldots$$

$$f(n+1)=f(n)+n+2n+2n+(2n+1)+(2n+1)$$

$$f(n+1)=f(n)+8n+2$$

Korzystając ze znanego wzoru wyznaczamy a, b, c dla $f(n+1)=f(n)+8n+2$.

$a=\frac{8}{2}=4$,    $b=2-4=-2$,    $c=3-2=1$

$$f(n)=4n^2-2n+1$$

Przykład: funkcja $n^2+n+41$ generująca liczby pierwsze

Wielomian $n^2+n+41$ jest funkcją „często generującą” liczby pierwsze. W tym przypadku dla każdego $n=0,1,\ldots,39$ wynik jest zawsze liczbą pierwszą. Poniżej tabela prezentująca zestawienie dla $n$ z zakresu od $0$ do $100$.

n n^2+n+41 Czy liczba pierwsza?
0 41 1
1 43 1
2 47 1
3 53 1
4 61 1
5 71 1
6 83 1
7 97 1
8 113 1
9 131 1
10 151 1
11 173 1
12 197 1
13 223 1
14 251 1
15 281 1
16 313 1
17 347 1
18 383 1
19 421 1
20 461 1
21 503 1
22 547 1
23 593 1
24 641 1
25 691 1
26 743 1
27 797 1
28 853 1
29 911 1
30 971 1
31 1033 1
32 1097 1
33 1163 1
34 1231 1
35 1301 1
36 1373 1
37 1447 1
38 1523 1
39 1601 1
40 1681 0
41 1763 0
42 1847 1
43 1933 1
44 2021 0
45 2111 1
46 2203 1
47 2297 1
48 2393 1
49 2491 0
50 2591 1
51 2693 1
52 2797 1
53 2903 1
54 3011 1
55 3121 1
56 3233 0
57 3347 1
58 3463 1
59 3581 1
60 3701 1
61 3823 1
62 3947 1
63 4073 1
64 4201 1
65 4331 0
66 4463 1
67 4597 1
68 4733 1
69 4871 1
70 5011 1
71 5153 1
72 5297 1
73 5443 1
74 5591 1
75 5741 1
76 5893 0
77 6047 1
78 6203 1
79 6361 1
80 6521 1
81 6683 0
82 6847 0
83 7013 1
84 7181 0
85 7351 1
86 7523 1
87 7697 0
88 7873 1
89 8051 0
90 8231 1
91 8413 0
92 8597 1
93 8783 1
94 8971 1
95 9161 1
96 9353 0
97 9547 1
98 9743 1
99 9941 1
100 10141 1

Po więcej przykładów odsyłam do artykułu „Prime-Generating Polynomial”.

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

W 1963 polski matematyk Stanisław Ulam uprzyjemniał sobie czas spędzany w trakcie „bardzo długiego i bardzo nudnego” wykładu. Rekreacja polegała na takim wypisywaniu kolejnych liczby naturalnych 1, 2, 3, …, aby finalny kształt utworzył „spiralę kwadratową” . Poniżej przykład dla pierwszych 49 liczba naturalnych, spirala oczywiście nie kończy się na 49, chodzi jedynie o zobrazowanie zasady.

Spirala Ulama

W kolejnym kroku na tak przygotowanej „tablicy” Ulam oznaczył wszystkie liczby pierwsze

Spirala Ulamanastępnie usuwając pozostałe.

Spirala UlamaW tym momencie jego oczom ukazał się niezwykle ciekawy i nieznany dotąd wzór – tendencja do układania się liczb pierwszych na „przekątnych / liniach diagonalnych”. Lepiej to obrazuje spirala wygenerowana dla znacznie większego zakresu liczb.

Spirala Ulama

Każdy z Was może wygenerować podobną spiralę używają np. tego generatora.

Spirala Ulama i parzystość / nieparzystość liczb

Nietrudno zauważyć, że na liniach diagonalnych leżą albo same liczby parzyste, albo same liczby nieparzyste. Liczby pierwsze, poza 2, są nieparzyste – zatem nic dziwnego, że układają się na przekątnych reprezentujących liczby nieparzyste. Zaskakujące jest natomiast to, że niektóre diagonale zawierają ich znacznie więcej niż inne.

Spirala Ulama i wielomiany kwadratowe

Badania nad spiralą Ulama pokazały, że wzory przez nią ujawnione mają związek z generację przez niektóre funkcje kwadratowe nienaturalnie dużej liczby liczb pierwszych (ang. prime-rich quadratic polynomials), tzn. dla niektórych $f(x)=ax^2+bx+c$ „nienaturalnie” często $f(n)$ jest liczbą pierwszą dla $n\in\mathbb{N}$. Diagonale mogą być reprezentowane przez wielomiany stopnia 2, co wyjaśniam na poniższym schemacie.

Spirala Ulama i wielomiany stopnia 2

Przeczytaj również:

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa