Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator)

Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie.

Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$

Przykłady

${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$

${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$

${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$

${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$ liczba składająca się z $3638334640025$ cyfr 🙂

Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład ${^{4}3}$. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.

Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a^{{^{n-1}a}}&\text{dla}\quad n\geq 1\end{cases}$

Funkcja $f(x)=x^x$ i związek tetracji z liczbą $e$

$f(x)=x^x$ to podstawowy przykład funkcji na bazie tetracji.

Własności $f(x)=x^x$

• $f(x)=x^x$ jest określona na dodatnich liczbach rzeczywistych
• $0^0$ jest symbolem nieokreślonym, ale $x^x\to 1$ gdy $x\to 0^+$
• $f(x)=x^x$ posiada minimum $e^{-\frac{1}{e}}$ w punkcie $x=\frac{1}{e}$
• $f(x)=x^x$ maleje w przedziale $x\in(0, \frac{1}{e})$, rośnie w przedziale $x\in(\frac{1}{e},+\infty)$
• $f^\prime(x)=x^x\big(\ln x+1\big)$

Pochodna $f(x)=x^x$

Aby policzyć pochodną $x^x$ wystarczy zastosować drobny trick na bazie własności logarytmu.

$f(x)=x^x$

$x>0$ oraz $f(x)>0$

$\ln f(x)=\ln x^x=x\ln x$

$\Big(\ln f(x)\Big)^\prime=\Big(x\ln x\Big)^\prime$

$\frac{1}{f(x)}f^\prime(x)=x^\prime\ln x + x\Big(\ln x\Big)^\prime=\ln x + 1$

$f^\prime(x)=(x^x)^\prime$

$f^\prime(x)=f(x)\Big(\ln x + 1\Big)=x^x\Big(\ln x + 1\Big)$

Bazując na rekurencyjnej definicji tetracji, korzystając z powyższego tricku, można wyznaczyć ogólną rekurencyjną formułę na pochodną tetracji $n$ liczby $x$. Mając pochodną z łatwością wykazujemy większość podanych własności.

Nieskończona wieża wykładnicza i jeszcze silniejszy związek tetracji z liczbą $e$

${\Huge x^{x^{x^{x^{x^{\cdots}}}}}=?}$

Problem zbieżności ciągu tetracji został rozwiązany już w XVIII wieku, a dokonał tego Leonhard Euler 🙂 Rozważmy granicę

$\lim_{n\to\infty}{^{n}x}$

zadając pytanie "dla jakich $x>0$ istnieje powyższa granica?"

Na potrzeby rozważań załóżmy, że taka granica istnieje i wynosi

$\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=y$

Bazując na rekurencyjnej definicji tetracji otrzymujemy

$y=\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=\lim_{n\to\infty}x^{^{n-1}x}=$

$=x^{\lim_{n\to\infty}{^{n-1}x}}=x^y$

Zatem, warunkiem koniecznym dla zbieżności ciągu tetracji jest

$y=x^y$

gdzie

$\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=y$

Przekształcając $y=x^y$

$y^{\frac{1}{y}}=(x^y)^{\frac{1}{y}}$

otrzymujemy

$x=y^\frac{1}{y}$

Uwaga: nie jest to warunek dostateczny!

Twierdzenie Eulera o zbieżności ciągu tetracji: $y=\lim_{n\to\infty}{^{n}x}$ istnieje i jest skończona wyłącznie jeśli $x\in\Big[e^{-e},e^\frac{1}{e}\Big]$. Zachodzi wtedy

$y\in\Big[\frac{1}{e},e\Big]$

dla

$x\in\Big[e^{-e},e^\frac{1}{e}\Big]$

Dowód powyższego twierdzenia wykracza poza objętość tego artukułu, zainteresowanych zapraszam do publikacji R. Arthur Knoebel , Exponentials Reiterated.

Na koniec niesamowita estetyka, która ujawnia się w nieskończonej wieży wykładniczej

W przedziale $y\in\Big[\frac{1}{e},e\Big]$ leżą tylko dwie liczby całkowite: 1 i 2.

$y=1$ to $x=1$

$y=2$ to $x=2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}$

Piękne - nieskończona tetracja $\sqrt{2}$ daje w wyniku $2$ 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada