Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza

Tetracja - definicja

Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator)

Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie.

Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej a>0 i nieujemnej liczby całkowitej n\geq 0 tetrację n liczby a definiujemy jako:

{^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}

Przykłady

{^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16

{^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536

{^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987

{^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots liczba składająca się z 3638334640025 cyfr 🙂

Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład {^{4}3}. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.

Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej a>0 i nieujemnej liczby całkowitej n\geq 0 tetrację n liczby a definiujemy jako:

{^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a^{{^{n-1}a}}&\text{dla}\quad n\geq 1\end{cases}

Funkcja f(x)=x^x i związek tetracji z liczbą e

Funkcja x^x

f(x)=x^x to podstawowy przykład funkcji na bazie tetracji.

Własności f(x)=x^x

  • f(x)=x^x jest określona na dodatnich liczbach rzeczywistych
  • 0^0 jest symbolem nieokreślonym, ale x^x\to 1 gdy x\to 0^+
  • f(x)=x^x posiada minimum e^{-\frac{1}{e}} w punkcie x=\frac{1}{e}
  • f(x)=x^x maleje w przedziale x\in(0, \frac{1}{e}), rośnie w przedziale x\in(\frac{1}{e},+\infty)
  • f^\prime(x)=x^x\big(\ln x+1\big)

Pochodna f(x)=x^x

Aby policzyć pochodną x^x wystarczy zastosować drobny trick na bazie własności logarytmu.

f(x)=x^x

x>0 oraz f(x)>0

\ln f(x)=\ln x^x=x\ln x

\Big(\ln f(x)\Big)^\prime=\Big(x\ln x\Big)^\prime

\frac{1}{f(x)}f^\prime(x)=x^\prime\ln x + x\Big(\ln x\Big)^\prime=\ln x + 1

f^\prime(x)=(x^x)^\prime

f^\prime(x)=f(x)\Big(\ln x + 1\Big)=x^x\Big(\ln x + 1\Big)

Bazując na rekurencyjnej definicji tetracji, korzystając z powyższego tricku, można wyznaczyć ogólną rekurencyjną formułę na pochodną tetracji n liczby x. Mając pochodną z łatwością wykazujemy większość podanych własności.

Nieskończona wieża wykładnicza i jeszcze silniejszy związek tetracji z liczbą e

{\Huge x^{x^{x^{x^{x^{\cdots}}}}}=?}

Problem zbieżności ciągu tetracji został rozwiązany już w XVIII wieku, a dokonał tego Leonhard Euler 🙂 Rozważmy granicę

\lim_{n\to\infty}{^{n}x}

zadając pytanie "dla jakich x>0 istnieje powyższa granica?"

Na potrzeby rozważań załóżmy, że taka granica istnieje i wynosi

\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=y

Bazując na rekurencyjnej definicji tetracji otrzymujemy

y=\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=\lim_{n\to\infty}x^{^{n-1}x}=

=x^{\lim_{n\to\infty}{^{n-1}x}}=x^y

Zatem, warunkiem koniecznym dla zbieżności ciągu tetracji jest

y=x^y

gdzie

\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=y

Przekształcając y=x^y

y^{\frac{1}{y}}=(x^y)^{\frac{1}{y}}

otrzymujemy

x=y^\frac{1}{y}

Uwaga: nie jest to warunek dostateczny!

Twierdzenie Eulera o zbieżności ciągu tetracji: y=\lim_{n\to\infty}{^{n}x} istnieje i jest skończona wyłącznie jeśli x\in\Big[e^{-e},e^\frac{1}{e}\Big]. Zachodzi wtedy

y\in\Big[\frac{1}{e},e\Big]

dla

x\in\Big[e^{-e},e^\frac{1}{e}\Big]

Dowód powyższego twierdzenia wykracza poza objętość tego artukułu, zainteresowanych zapraszam do publikacji R. Arthur Knoebel , Exponentials Reiterated.

Tetracja - zbieżność

Na koniec niesamowita estetyka, która ujawnia się w nieskończonej wieży wykładniczej

W przedziale y\in\Big[\frac{1}{e},e\Big] leżą tylko dwie liczby całkowite: 1 i 2.

y=1 to x=1

y=2 to x=2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}

Piękne - nieskończona tetracja \sqrt{2} daje w wyniku 2 🙂

Wieża potęgowa - Tetracja

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada