Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

Jestem pewien, że wzór na pole powierzchni trójkąta, tj. $$P=\frac{1}{2}ah$$, jest znany niemal wszystkim 🙂  Dzieci, będąc we wczesnym wieku szkolnym, poznają podstawy geometrii, w tym długości obwodów i pola powierzchni figur płaskich. Jeśli interesuje cię dlaczego pole powierzchni trójkąta zależy od długości jego podstawy i wysokości na nią opadającej, to jest to wpis dla Ciebie 🙂 Jednocześnie wzbogacam cykl „Dlaczego?”. Zaczynamy!

Pole powierzchni trójkąta – wzór

Trójkąt - Pole powierzchni

Wzór na pole powierzchni trójkąta, choć prosty, to na pierwszy rzut oka nie jest zbyt intuicyjny (no może poza przypadkiem trójkąta prostokątnego). Oto, w jakiś magiczny sposób, dla każdej podstawy, iloczyny ich długości i długości wysokości na nie opadających, są sobie równe – i więcej – określą pole powierzchni ograniczonej trójkątem 🙂

$$P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}$$

Pole powierzchni trójkąta – dowód przez animację 🙂 – przypadek 1

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta „opada” na jego podstawę.

 

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 1

Pole powierzchni trójkąta – dowód przez animację 🙂 – przypadek 2

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta „opada” poza jego podstawą.

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 2

Pole powierzchni trójkąta – dowód nieco bardziej formalny

Trójkąt prostokątny: przypadek oczywisty, nie wymaga wyprowadzenia 🙂

Trójkąt - Pole powierzchni - Trójkąt prostokątny

$$P=\frac{ab}{2}$$

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta „opada” na jego podstawę.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 1

Wyprowadzenie wzoru:

$$P=P_1+P_2$$

$$2P_1+2P_2=ah$$

$$P_1+P_2=\frac{ah}{2}$$

$$P=\frac{ah}{2}$$

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta „opada” poza jego podstawą.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 2

Wyprowadzenie wzoru:

$$P+P_1=P_2$$

$$P=P_2-P_1$$

$$P_1=\frac{xh}{2}$$

$$P_2=\frac{(a+x)h}{2}=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}$$

$$P=P_2-P_1=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}-\frac{xh}{2}=\frac{ah}{2}$$

$$P=\frac{ah}{2}$$

Koniec na dziś 🙂

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada