Matematyka w obrazkach #17 – Pitagoras vs Einstein

Pitagoras vs Einstein

Po dłuższej przerwie zaczynam od czegoś lekkiego – dziś w cyklu „Matematyka w obrazkach” pojedynek geometrii euklidesowej ze szczególną teorią względności 🙂

Pitagoras vs Einstein

Ciekawostki o pewnych równoważnościach:

  • Twierdzenie Pitagorasa jest równoważne z V aksjomatem geometrii euklidesowej, (tzw. Postulatem Euklidesa, inaczej postulatem równoległości).
  • $E=mc^2$ wywodzi się ze szczególnej teorii względności opracowanej przez Alberta Einsteina przedstawiając dwa różne typy równoważności masy i energii:
    • Równoważność masy i energii spoczynkowej.
    • Równoważność masy relatywistycznej (choć to sztuczny termin i relikt – masa jest jedna!) i energii całkowitej.
  • Ogólna teoria względności jest uogólnieniem szczególnej teorii względności. Korzysta ona między innymi z metod geometrii nieeuklidesowej (np. stwierdzenie, że siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni). Zatem, w pewnym sensie, powyższy pojedynek to starcie między geometrią euklidesową a geometrią nieeuklidesową 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa

Views All Time
Views All Time
4791
Views Today
Views Today
2

10 komentarzy

  1. Lokalnie czasoprzestrzeń jest płaska ! czyli sprowadza się do STW. Krzywizna jest własnością globalną. Literki oznaczające zmienne kompletnie nie mają znaczenia :/ . E=mc^2 wyraża niezmiennik kwadratu czteropędu i jest nim pewna stała, którą fizycznie interpretujemy jako masę. Po jego rozpisaniu widać co oznacza. W układzie gdzie przestrzenna część pędu jest zero otrzymuje się równoważność E^2 = m^2 natomiast w przypadku ogólnym po rozwinięciu w szereg otrzymuje się to co istotne czyli wyraz wolny oraz Newtonowską relacje E = p^2/2m. Poza tym warto wspomnieć, że fizycy często korzystają z jednostek gdzie c = 1.

    1. Dzięki za ciekawy komentarz 🙂 W kwestii literek – artykuły z cyklu „Matematyka w obrazkach” są pisane z „przymrużeniem oka” 🙂 Lokalna vs globalna – nigdy nie wiadomo gdzie przebiega granica – tzn. albo jest krzywizna, albo jej nie ma 🙂 Może być zaniedbywalna, ale matematycznie tam jest 🙂 'c=1′ da się bardziej kompletnie interpretować, bo to nie o prędkość światła w 'c’ chodzi, ale o „przyczynowo-skutkowość”.

      Pozdrowienia

      1. 😀 przymrużenie rozumiem (wiem wiem czepiam się ). Lokalnie krzywizna nie jest zaniedbywalna – nie ma jej bo to własność globalna – Odpowiednie tensory wypowiadają się na ten temat. Co do prędkości światła to nie rozumiem co masz na myśli ale zapewne chodzi o to, że najważniejsze że jest skończona (duża w porównaniu do codziennych prędkości ale skończona). W fizyce Newtona także jest przyczynowość i skutkowość (a raczej skutek). Pozdrawiam serdecznie i powodzenia w zgłębianiu Fizyki

        1. To ciekawe co piszesz, widać muszę wejść głębiej. Nie sądziłem, że lokalnie krzywizny w ogóle nie ma – bo jeśli masa zakrzywia czasoprzestrzeń, to lokalnie też, ale widać jest tam jakiś „myk”.

          Co do „c=1” – nie wiem czy dobrze myślę, ale dla mnie prędkość światła to prędkość z jaką wszystko podróżuje w czasoprzestrzeni. Ruch w czasoprzestrzeni przebiega „w dwóch” wymiarach (uproszczenie) – tzn. w czasie i w przestrzeni. Jeśli brak ruchu w składowej czasu, to wtedy na maksa ruch na osi przestrzeni. Jeśli brak ruchu w składowej przestrzeni, to na maksa ruch w składowej czasu. Jeśli „skręcamy” zarówno w czas i w przestrzeń, ruch w czasie zwalnia, ruch w przestrzeni przyspiesza, ale ruch w czasoprzestrzeni jest stały. Zatem wszystko w czasoprzestrzeni podróżuje z „tą samą prędkością” – dobrze kombinuję?

          1. Prędkość światła to nie prędkość z jaką wszystko podróżuje w czasoprzestrzeni – Ty się tak nie poruszasz w żadnym układzie odniesienia ;). Prędkość światła to prędkość fali elektromagnetycznej w próżni – Czasoprzestrzeń to nie jest w całości próżnia ( to chyba oczywiste – przecież ktoś pisze tego bloga). Stała c o tyle jest istotna, że możesz z tej jednej stałej określić jednostkę czasu i przestrzeni (jedna stała i te dwie pozornie różne wielkości). Ruch to zmiana położenia w (zmianie czasu) czasie. Stąd nie ma sensu pojęcie ruchu tylko w przestrzeni a w czasie nie. Twój problem jest taki, iż ruch jest w Twoim pojęciu czymś absolutnym – albo się porusza albo nie. A Fizyka mówi, że to zależy od wyboru układu odniesienia z tym, że oprócz translacji i obrotów możesz jeszcze wybrać układ poruszający się ze stałą prędkością w stosunku do Twojego układu – i wsyzstkie te układy są równoważne. Czyli nie ma absolutnego spoczynku – jak zmienię układ to coś coś nie poruszało może się poruszać – To wyjaśnia dlaczego rzut poziomy i ukośny mają ten sam czas spadania (różnią się tylko o stałą prędkość w jednym kierunku (x) ).

        2. Znalazłem ciekawe wyjaśnienie – chyba

          „You are mistaking being 'curved’ with non-vanishing Ricci curvature. The former which is your first intuitive notion of curvature is in fact extrinsic curvature, whilst the Ricci curvature is intrinsic. For example, a cylinder is flat in the Ricci sense, but you see it as 'curved’ if say, you fold a piece of paper. This corresponds to non-vanishing extrinsic curvature given by the divergence of the normal.”

          Czy to miałeś na myśli?

          1. A widzisz … czyli jednak byłem mało precyzyjny 🙂 Dzięki bardzo za zmuszenie do przypomnienia sobie tematu bardziej dokładnie. Znalazłem opis bardziej fizyczny https://pl.wikipedia.org/wiki/Ogólna_teoria_względności (mimo, iż nie trawię wiki ) . Natomiast http://www.astrouw.edu.pl/~mj/PozaGalaktyczna/W09.pdf jest slajd o krzywiznie w pomiarach – sądzę, że właśnie odpowiednie wskazanie tensorów mówi sporo co i jak. Nawet jeśli mam masę (np. Ziemię) to lokalnie wybieram tylko otoczenie gdzie wszystko jest płaskie (dlatego Ziemię postrzegamy żyjąc na niej jako płaską – po prostu widzimy „lokalnie”. Ogólnie warto zacząć od podstaw fizycznych i geometrycznych – czyli -Fizyka nie zależy od wyboru układu odniesienia. Oprócz układów prostoliniowych mamy układy krzywoliniowe – i w tym już mamy trochę grawitację (polecam https://www.youtube.com/watch?v=u20qbOIAtyI ) . Ruchy prostoliniowe to takie ze stałą prędkością (bez przyśpieszenia). Ze względu na wektorowość prędkości jakakolwiek zmiana kierunku to przyśpieszenie ! czyli krzywizna. Sądzę, że najlepszym rozwiązaniem będzie spokojna lektura https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf bo do opowiadania dużo.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *