Analiza matematyczna, Ciekawostki, Matematyka

O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala. – Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy! – Nie boję się, jestem $e^x$.  I tak spokojna $e^x$ została. Wpada operator. – Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr! – A proszę bardzo – jestem $e^x$ – nic mi nie… Read More O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Analiza matematyczna, Ciekawostki, Historia matematyki, Matematyka

O liczbie e – Część 1 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Procent składany

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę $e$, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego. $$e\approx 2.718\ldots$$ Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów „o liczbie… Read More O liczbie e – Część 1 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Procent składany

Ciekawostki, Matematyka

Matematyka w obrazkach #25 – Duch – Atraktor Lorenza :-)

Grafika wykonana na bazie Atraktora Lorenza – świetne wzbogacenie cyklu „Matematyka w obrazkach” 🙂 Polecam poniższą animację – 500 tysięcy ciasno upakowanych cząstek rozchodzi się w chaos. Cząstki to punkty z rozkładu Gaussa z odchyleniem standardowym 0.01. W miarę upływu czasu cząstki podążają za dynamiką Lorenza. Zajrzyj również tutaj: Matematyka w obrazkach #16 – Mathistopheles – Atraktor Lorenza 🙂 Pozdrowienia,… Read More Matematyka w obrazkach #25 – Duch – Atraktor Lorenza 🙂

Analiza matematyczna, Geometria, Matematyka

Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa – fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie „dlaczego” tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco… Read More Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

Matematyka, Probabilistyka, Statystyka matematyczna

Standaryzacja gęstości oraz dystrybuanty (+ odwrotnej) rozkładu prawdopodobieństwa

Standaryzacja zmiennej losowej $X$ to proces jej „normalizacji”, którego wynikiem jest taka zmienna losowa $Z$, że $$\text{E}Z=0$$ $$\text{Var}(Z)=1$$ Standaryzację łatwo wyobrazić sobie jako działanie, które obywa się w dwóch krokach: adekwatne „przesunięcie” zmiennej – tu chodzi o uzyskanie zerowej miary położenia, którą jest wartość oczekiwana (wartość średnia) zmiennej odpowiednia „zmiana skali wartości” zmiennej – w… Read More Standaryzacja gęstości oraz dystrybuanty (+ odwrotnej) rozkładu prawdopodobieństwa

Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna

Odczarowujemy modele predykcyjne

Prelekcja wygłoszona w dniu 25.04.2017 podczas Konferencji Big Data – Bigger opportunities – zapraszam. Omówione zagadnienia: Analityka Predykcyjna Model Predykcyjny Confusion Matrix / Macierz błędu Strategie doboru punktu odcięcia Ocena jakości klasyfikacji Krzywa zysku Krzywa Lift Krzywa ROC i wskaźnik Giniego Krzywa Zysku vs ROC – równoważność? Modele teoretycznie idealne Pozdrowienia, Mariusz Gromada

Customer Intelligence, Data Mining

Skuteczna operacjonalizacja środowiska analitycznego

Prelekcja wygłoszona w dniu 15.10.2015 podczas IV Konferencji Customer Intelligence – zapraszam. Omówione zagadnienia: Komponenty środowiska analitycznego Cykl analityczny / Integracja Architektura funkcjonalna środowiska – Obszar budowy / odkrywania wiedzy – Obszar wdrażania przygotowanych modeli predykcyjnych – Obszar repozytorium scoringowego – Obszar definicji oraz uruchomienia kampanii – Obszar monitoringu modeli predykcyjnych – Obszar raportowania kampanii… Read More Skuteczna operacjonalizacja środowiska analitycznego

Matematyka, Probabilistyka

MaCDRG-yver – czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Inverse Transform Sampling to typowy sposób generowania liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, który opiera się na funkcji odwrotnej $F^{-1}$ do dystrybuanty $F$ tego rozkładu. Procedura jest banalna, wystarczy wylosować $Y\sim U(0,1)$ i zwrócić $F^{-1}(Y)$. Niestety nie zawsze łatwe jest wyznaczenie jawnej postaci dystrybuanty, tym bardziej dotyczy to funkcji do niej odwrotnej. Dla przykładu – powszechny… Read More MaCDRG-yver – czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Ciekawostki, Matematyka, Probabilistyka

Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Rozkład jednostajny na odcinku $(0,1)$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e. Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b) Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $(a,b)$ jest opisany poniższą funkcją gęstości. $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$ Pisząc $X\sim U(a,b)$ oznaczamy,… Read More Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Ciekawostki, Matematyka

Matematyka w obrazkach #20 – Optimus Prime

W nawiązaniu do liczb pierwszych, którym poświęcony był wczorajszy wpis „Liczba π ukryta w liczbach pierwszych”, prezentuję postać z uniwersum Transfomers. Szanowni Czytelnicy – w cyklu „Matematyka w obrazkach” – „Jego Królewska Mość” – Optimus Prime – przywódca Autobotów 🙂 Pozdrowienia 🙂 Mariusz Gromada

Ciekawostki, Matematyka, Teoria liczb

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem. Czym jest $\pi$? $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy. $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$. $\pi$ to połowa obwodu koła o… Read More Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych