Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam Wam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia. 🙂
Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych
Rozkład jednostajny na odcinku $(0,1)$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.
Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)
Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $(a,b)$ jest opisany poniższą funkcją gęstości.
$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$
Pisząc $X\sim U(a,b)$ oznaczamy, że zmienna losowa $X$ ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku $(a,b)$. Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości $0$ lub $\frac{1}{b-a}$ w punktach $x=a$ i $x=b$ jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.
Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych
Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.
Czym jest $\pi$?
- $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
- $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$.
- $\pi$ to połowa obwodu koła o promieniu $1$.
- $\pi$ to $\frac{1}{4}$ pola powierzchni sfery o promieniu $1$.
- $\pi$ to $\frac{3}{4}$ objętości kuli o promieniu $1$.
- $k\pi$ dla całkowitych $k$ to miejsca zerowe funkcji $\sin x$.
- … i wiele innych …
Czym są liczby pierwsze?
- Liczba pierwsza to liczba naturalna $n\in\mathbb{N}$ większa od $1$, której jednymi dzielnikami są $1$ oraz $n$.
- Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
- Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $n-tej$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.
Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych
„Co to jest różniczka? – zapytano matematyka.
Różniczka to wyniczek odejmowanka – odpowiedział”
🙂
Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór Taylora, nazywamy często rozwinięciem Taylora funkcji $f(x)$ w otoczeniu punktu $x_0$, faktycznie „rozwija” funkcję do postaci sumy funkcji elementarnych $a_n(x-x_0)^n$, stanowiących atomy wielomianów. W efekcie otrzymujemy nie tylko efektywną aproksymację wartości funkcji, ale również nową „łatwiejszą” jej formę.
Wielomian Taylora
Twierdzenie Taylora: Dla funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $n$-razy różniczkowalnej $(n\geq 1)$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, istnieje funkcja $h_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, że
$$f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{wielomian-aproksymacja~f(x)}+\underbrace{h_n(x)(x-x_0)^n}_{reszta}$$
$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots$$
$$\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+h_n(x)(x-x_0)^n$$
oraz
$$\displaystyle\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0$$
Przez $f^{(k)}(x)$ oznaczamy pochodną rzędu $k$ funkcji $f(x)$.
Twierdzenie Taylora nosi nazwę od angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opracował je w 1712 roku. Samą własność wcześniej odkrył James Gregory – dokonał tego w 1671 roku.
Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej
„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka.
To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″
🙂
Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania liczby wymiarów na dokonywane pomiary. Jak w zależności od liczby wymiarów zmienia się powierzchnia i objętość kuli? Analogicznie – jak zmienia się maksymalna odległość pomiędzy wierzchołkami kostki? Obiecuję – odpowiedzi będą zaskakujące 🙂
Możesz mieć wrażenie, że to wyłącznie abstrakcyjne rozważania. Czy na pewno? Ja w zasadzie na co dzień analizuję Klientów opisanych szeregiem miar. Poszukiwanie podobieństw, skupień, segmentów czy „najbliższych sąsiadów” niemal w całości opiera się na wielowymiarowej metryce euklidesowej. Zapraszam do pogłębienia wiedzy w tym obszarze:-) Zapewniam – warto!
Zero Silnia – czyli dlaczego 0!=1?
Artykuł „Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus?” cieszy się ogromnym zainteresowaniem (np. w piątek 21.10.2016 został pobity rekord, mianowicie tylko w tym jednym dniu 350 unikalnych użytkowników zapoznało się z treścią wpisu). Będąc świadomym, że dla wielu z Was ważne jest zrozumienie motywacji stojącej za podstawowymi definicjami, postanowiłem rozpocząć nowy cykl „Dlaczego?”. Nowa seria skupi się na powszechnie znanych zagadnieniach, których wyjaśnienie nie jest już takie oczywiste. 🙂 Dziś na tapet idzie zero silnia! Przedstawię kilka argumentacji – w tym coś dla mniej i coś dla bardziej zaawansowanych! Będzie hardcorowo 🙂
Silnia – definicja
Generatywna Sztuczna Inteligencja: Jak stworzyć własnego co-pilota do kreowania i zarządzania produktami i usługami na każdym poziomie organizacji
Czy zastanawialiście się, jak język naturalny może demokratyzować technologię? Albo jak generatywna sztuczna inteligencja może wspomóc różne dziedziny biznesu – od analizy danych po zarządzanie produktem? W trakcie prezentacji zgłębiam moc kontekstu, który zmienia obecne paradygmaty. Przekonuję jak era copilot’ów wpłynie na naszą codzienną pracę. Pomagam również odkryć jakie kompetencje będą potrzebne w świecie napędzanym przez AI. Od copilota programisty, przez analityka danych, aż po CEO – dowiedz się, jak sztuczna inteligencja może stać się Twoim najcenniejszym współpracownikiem!
Prelekcja wygłosiłem podczas #6 Sesji Strategicznej Data Excellence, która odbyła się w dniu 28 września 2023 roku (podsumowanie tutaj).
Prelekcję wygłosiłem również w ramach Seminarium Naukowego IntoDIGITAL / AI Lab Szkoły Głównej Handlowej. Zapis prelekcji poniżej.
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Trajektorie przebiegu COVID-19 w różnych krajach
Skala 15 tys.
Skala 30 tys.
Skala 50 tys.
Skala 100 tys.
Skala 250 tys.
Skala 1 milion
Symulacja procesu epidemii – Grant Sanderson – 3Blue1Brown
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Matematyka w obrazkach #26 – Sowa Lorenzowa :-)
W „matematyce w obrazkach” ponownie grafika wykonana na bazie Atraktora Lorenza – to bardzo wdzięczny motyw! Oto Sowa Lorenzowa 🙂
Chcesz zobaczyć poprzednie grafiki? Kliknij tutaj.
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ
„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.
– Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!
– Nie boję się, jestem $e^x$.
I tak spokojna $e^x$ została. Wpada operator.
– Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!
– A proszę bardzo – jestem $e^x$ – nic mi nie grozi.
– Kochana, ja różniczkuję po $dy$”
Ten iście „nerdowski” dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii „o liczbie e”. Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty „dlaczego?” liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej $a^x$ 🙂
Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania
O liczbie e – Część 1 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Procent składany
Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę $e$, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego.
$$e\approx 2.718\ldots$$
Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów „o liczbie e”. Tym samym wzbogacam cykl „dlaczego?”. Dowody przeprowadzę „metodą elementarną” – wszak chodzi o „pierwotność / naturalność” $e$. Będzie kilka dużych „odcinków” – zapraszam 🙂
Nota historyczna
Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach. W matematyce jest wszechobecna! Z powodzeniem dorównuje liczbie $\pi$. Analiza matematyczna (w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe), funkcje specjalne, analiza zespolona, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna – to najbardziej wyraziste przykłady. W innych naukach ścisłych (np.: ekonomia, fizyka, biologia) liczba e pojawia się w wielu ważnych równaniach, w tym: równanie przewodnictwa cieplnego, wzór barometryczny, rozpady promieniotwórcze, fazory, funkcja falowa w mechanice kwantowej, wzrost populacji, procent składany.
Pierwsze informacje na temat liczby e pojawiły się w 1618 roku. Opublikował je John Napier, przygotowując tabele logarytmów. Praca nie zawierała samej stałej, prezentowała niektóre wartości logarytmów na bazie e. Liczbę e w jej dzisiejszej postaci odkrył Jacob Bernoulli. Dokonał tego w 1683 roku analizując własności procentu składanego. Pierwsze udokumentowane wykorzystanie liczby e, wtedy oznaczanej przez b, pojawiło się w latach 1690-1691 (Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens). Wykorzystanie stałej znacząco rozwinął Leonhard Euler oznaczając ją w 1727 roku do dziś wykorzystywanym symbolem $e$.
Procent składany
Matematyka w obrazkach #25 – Duch – Atraktor Lorenza :-)
Grafika wykonana na bazie Atraktora Lorenza – świetne wzbogacenie cyklu „Matematyka w obrazkach” 🙂
Polecam poniższą animację – 500 tysięcy ciasno upakowanych cząstek rozchodzi się w chaos. Cząstki to punkty z rozkładu Gaussa z odchyleniem standardowym 0.01. W miarę upływu czasu cząstki podążają za dynamiką Lorenza.
Zajrzyj również tutaj: Matematyka w obrazkach #16 – Mathistopheles – Atraktor Lorenza 🙂
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Matematyka w obrazkach #24 – Punkt odniesienia :-)
Inne posty z cyklu „Matematyka w obrazkach”.
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Matematyka w obrazkach #23 – Happy Pi Day!
Wszystkiego najlepszego w Dniu Liczby $\pi$ 🙂
Inne posty w cyklu „Matematyka w obrazkach”.
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?
Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa – fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie „dlaczego” tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco więcej gimnastyki. Pokażę kilka podjeść, w tym osobno „pokryciowe”, osobno oparte na całce Riemanna, oraz osobno na bazie przekształcenia liniowego. Na koniec podam bardziej ogólne wnioski co do zmiany pola powierzchni względem znacznie szerszej niż podobieństwo klasy transformacji. Zapraszam 🙂
Czym jest podobieństwo?
Standaryzacja gęstości oraz dystrybuanty (+ odwrotnej) rozkładu prawdopodobieństwa
Standaryzacja zmiennej losowej $X$ to proces jej „normalizacji”, którego wynikiem jest taka zmienna losowa $Z$, że
$$\text{E}Z=0$$
$$\text{Var}(Z)=1$$
Standaryzację łatwo wyobrazić sobie jako działanie, które obywa się w dwóch krokach:
- adekwatne „przesunięcie” zmiennej – tu chodzi o uzyskanie zerowej miary położenia, którą jest wartość oczekiwana (wartość średnia) zmiennej
- odpowiednia „zmiana skali wartości” zmiennej – w tym przypadku „poprawiamy” miarę rozproszenia, którą jest wariancja.
Standaryzacja Z: jeśli X jest taką zmienną losową, że
MathSpace.pl – kanał YouTube
Kliknij w poniższy obrazek, zostaniesz przeniesiony na niedawno utworzony kanał MathSpace.pl na YouTube – zapraszam 🙂
Zachęcam do subskrybowania 🙂
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Ziemia nie jest płaska – ostateczny dowód :-)
Starman prowadzi Teslę w przestrzeni kosmicznej i dostarcza ostateczny dowód, że Ziemia nie jest płaska 🙂
Elon Musk, SpaceX, Starman – dzięki! Uratowaliście naukę 🙂
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Odczarowujemy modele predykcyjne
Prelekcja wygłoszona w dniu 25.04.2017 podczas Konferencji Big Data – Bigger opportunities – zapraszam.
Omówione zagadnienia:
- Analityka Predykcyjna
- Model Predykcyjny
- Confusion Matrix / Macierz błędu
- Strategie doboru punktu odcięcia
- Ocena jakości klasyfikacji
- Krzywa zysku
- Krzywa Lift
- Krzywa ROC i wskaźnik Giniego
- Krzywa Zysku vs ROC – równoważność?
- Modele teoretycznie idealne
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Matematyka w obrazkach #22 – Matematyk agnostyk
Agnostycyzm – bliska mi postawa.
Świetnie to wyjaśnia genialny fizyk – Leonard Susskind.
Inne posty w cyklu „Matematyka w obrazkach”.
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Skuteczna operacjonalizacja środowiska analitycznego
Prelekcja wygłoszona w dniu 15.10.2015 podczas IV Konferencji Customer Intelligence – zapraszam.
Omówione zagadnienia:
- Komponenty środowiska analitycznego
- Cykl analityczny / Integracja
- Architektura funkcjonalna środowiska
– Obszar budowy / odkrywania wiedzy
– Obszar wdrażania przygotowanych modeli predykcyjnych
– Obszar repozytorium scoringowego
– Obszar definicji oraz uruchomienia kampanii
– Obszar monitoringu modeli predykcyjnych
– Obszar raportowania kampanii - Pełny (360st) obraz klienta
- Pomiar wartości – wpływ inkrementalny
- Analityka – kilka ważnych rad
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Matematyka w obrazkach #21 – Funkcja odwrotna
Dziś głównym bohaterem cyklu „Matematyka w obrazkach” jest drapieżna funkcja odwrotna 🙂
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
MaCDRG-yver – czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa
Inverse Transform Sampling to typowy sposób generowania liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, który opiera się na funkcji odwrotnej $F^{-1}$ do dystrybuanty $F$ tego rozkładu. Procedura jest banalna, wystarczy wylosować $Y\sim U(0,1)$ i zwrócić $F^{-1}(Y)$. Niestety nie zawsze łatwe jest wyznaczenie jawnej postaci dystrybuanty, tym bardziej dotyczy to funkcji do niej odwrotnej. Dla przykładu – powszechny rozkład normalny charakteryzuje się funkcją gęstości w postaci „elementarnej”, natomiast jego dystrybuanta (i funkcja do niej odwrotna) wymagają zastosowania funkcji specjalnych – w tym przypadku funkcji błędu Gaussa.
Kiedyś kolega (pozdrowienia Marcin!) pokazał mi nieskomplikowany sposób generacji liczb losowych z rozkładu opisanego histogramem. Zwyczajnie „kładziemy” (skalując) słupki histogramu na odcinek $(0,1)$, losujemy $X\sim U(0,1)$, weryfikujemy „do którego słupka wpadło X”, zwracamy „właśnie ten słupek”. Genialne w swojej prostocie, i działa. Histogram to dyskretna reprezentacja rozkładu, dlatego postanowiłem metodę uogólnić na klasę rozkładów ciągłych opisanych zadaną funkcją gęstości. Otrzymaną metodę nazwałem „MaCDRG-yver” 🙂