Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem. Czym jest $\pi$? $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy. $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$. $\pi$ to połowa obwodu koła o… Read More Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych
Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator) Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie. Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako: $${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$$ Przykłady $${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$$ $${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$$ $${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$ $${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂 Tetrację… Read More Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza
Liczby naturalne $\mathbb{N}$ Początki matematyki to liczby naturalne $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$, czyli narzędzie służące do opisu liczności (np. trzy elementy) lub do podawania kolejności (np. trzecia osoba). Z biegiem czasu do liczb wprowadzono pierwsze działania – dodawanie i mnożenie. Z łatwością można wykazać, że liczby naturalne są zamknięte ze względu na dodawanie i mnożenie – jednak… Read More Ukryty wymiar liczb – czyli liczby zespolone (część 1)
Z pewnością każdy wie, że wynikiem mnożenia liczb ujemnych jest liczba dodania. Formułka „minus razy minus daje plus” była nam wtłaczana do głów w trakcie wczesnych lat szkolnych. Nauczyciele zapomnieli jednak wyjaśnić dlaczego tak właśnie jest, oraz przybliżyć motywację matematyków definiujących arytmetykę liczb ujemnych. Mnożenie jako skrócone dodawanie Mówi się, że mnożenie to skrócone dodawanie,… Read More Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus
W części 1 wpisu na temat Spirali Ulama zaznaczyłem, że efekt wizualnego ułożenia liczb pierwszych na diagonalach spirali kwadratowej jest konsekwencją głównie dwóch własności: Na przekątnych są albo same liczby parzyste, albo same liczby nieparzyste, zatem tylko diagonale z liczbami nieparzystymi będą agregować liczby pierwsze; Niektóre diagonale zagęszczają bardziej liczby pierwsze niż inne, co wynika… Read More Spirala Ulama (spirala liczb pierwszych) – część 2 – czyli funkcja kwadratowa i zabawy z rekurencją (część 5)
W 1963 polski matematyk Stanisław Ulam uprzyjemniał sobie czas spędzany w trakcie „bardzo długiego i bardzo nudnego” wykładu. Rekreacja polegała na takim wypisywaniu kolejnych liczby naturalnych 1, 2, 3, …, aby finalny kształt utworzył „spiralę kwadratową” . Poniżej przykład dla pierwszych 49 liczba naturalnych, spirala oczywiście nie kończy się na 49, chodzi jedynie o zobrazowanie… Read More Spirala Ulama (spirala liczb pierwszych) – część 1
W pierwszych trzech częściach „Zabaw z rekurencją” skupialiśmy się na rekurencji bezpośredniej, tzn. na sytuacji, kiedy w ciele funkcji dochodzi do wywołania „siebie samej”. Przebieg rekurencji bezpośredniej jest dość oczywisty, struktura wywołania, argumenty, jak też warunek stopu, są takie same dla wszystkich odwołań. Rekurencja pośrednia O rekurencji pośredniej mówimy w sytuacji „łańcucha wywołań”. Przykładowo funkcja f(.) wywołuje funkcję… Read More Rekurencja pośrednia – czyli zabawy z rekurencją (część 4)
Jednym z najprostszych testów pierwszości jest weryfikacja czy dana liczba $n$ posiada dzielnik z przedziału $(2, \sqrt{n})$ – takie podejście nazywane jest metodą naiwną – i niestety charakteryzuje się dużą złożonością obliczeniową. Nawet przy wykorzystaniu Sita Eratostenesa złożoność obliczeniowa sięga $\frac{\sqrt{n}}{\log{n}}$. Jednak w cyklu „Zabawy z rekurencją” nie bardzo zwracamy uwagę na złożoność 🙂 , bardziej chodzi o… Read More Naiwny test pierwszości – czyli zabawy z rekurencją (część 3)
Serdecznie zapraszam do zapoznania się z wysoce elastycznym interpreterem wyrażeń matematycznych. Oprogramowanie jest mojego autorstwa, powstało w 2010 roku i wtedy zostało opublikowane w serwisie SourceForge.net. Z racji, że teraz posiadam stronę o odpowiedniej tematyce, zdecydowałem się przygotować dedykowany opis, który znajdziecie pod tym linkiem. Dostępne są również tutorial oraz specyfikacja API. Pozdrowienia, Mariusz Gromada Pobierz… Read More mXparser – wysoce elastyczny parser (interpreter) wyrażeń matematycznych dla JAVA oraz C# .NET
Jakiś czas temu rozważałem problem losowania ze zwracaniem dokładnie $n$-elementów z $n$-elementowego zbioru (dla uściślenia w zbiorze wyjściowym znajduje się dokładnie $n$ różnych elementów). W wyniku takiej operacji, w wylosowanej próbie, mogą pojawić się duplikaty – załóżmy zatem, że otrzymaliśmy $k$ unikalnych rezultatów (oczywiście $1\leq k\leq n$). Naturalnie pojawia się pytanie kombinatoryczne. Ile istnieje sposobów… Read More Liczba Stirlinga II rodzaju i losowanie ze zwracaniem
Kontynuując przeglądanie strony, wyrażasz zgodę na używanie przez nas plików cookies. więcej informacji
Aby zapewnić Tobie najwyższy poziom realizacji usługi, opcje ciasteczek na tej stronie są ustawione na "zezwalaj na pliki cookies". Kontynuując przeglądanie strony bez zmiany ustawień lub klikając przycisk "Akceptuję" zgadzasz się na ich wykorzystanie.