Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.
Czym jest $\pi$?
$\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
$\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$.
$\pi$ to połowa obwodu koła o promieniu $1$.
$\pi$ to $\frac{1}{4}$ pola powierzchni sfery o promieniu $1$.
$\pi$ to $\frac{3}{4}$ objętości kuli o promieniu $1$.
$k\pi$ dla całkowitych $k$ to miejsca zerowe funkcji $\sin x$.
… i wiele innych …
Czym są liczby pierwsze?
Liczba pierwsza to liczba naturalna $n\in\mathbb{N}$ większa od $1$, której jednymi dzielnikami są $1$ oraz $n$.
Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $n-tej$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.
$${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂
Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład ${^{4}3}$. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.
Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:
Początki matematyki to liczby naturalne $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$, czyli narzędzie służące do opisu liczności (np. trzy elementy) lub do podawania kolejności (np. trzecia osoba). Z biegiem czasu do liczb wprowadzono pierwsze działania– dodawanie i mnożenie. Z łatwością można wykazać, że liczby naturalne są zamknięte ze względu na dodawanie i mnożenie – jednak nim przejdziemy dalej – wyjaśnię w kilku słowach co to tak naprawdę oznacza.
Zamkniętość zbioru ze względu na działanie
Rozważmy dowolny zbiór $A$ oraz dwuargumentowe działanie $a*b$ określone na elementach $a, b \in A$.
Mówimy, że zbiór $A$ jest zamknięty ze względu na działanie $*$ jeśli dla dowolnych $a, b \in A$ istnieje $c \in A$, że $c=a*b$.
Inaczej mówiąc, zbiór jest zamknięty ze względu na dane działanie jeśli wszystkie możliwe wyniki wskazanego działania (na elementach rozważanego zbioru) są również elementami tego zbioru.W analogi do dodawania i mnożenia liczb naturalnych możemy stwierdzić, że suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną, a w konsekwencji mnożenie dwóch liczb naturalnych daje także wynik w liczbach naturalnych.
$$\Big(\mathbb{N}, +, \times\Big)$$
Wraz z rozwojem matematyki wprowadzano kolejne działania, które ujawniły „niekompletność” zbioru liczb naturalnych.
Liczby całkowite $\mathbb{Z}$ jako „domknięcie” odejmowania „-„
Wprowadzenie odejmowania pokazało, że liczby naturalne nie są zamknięte ze względu na to działanie. Dla wielu liczb naturalnych wynik odejmowania jest liczbą naturalną, jednak istnieje równie wiele przykładów uzasadniających wniosek przeciwny, np.:
$$2-5 = -3 \notin \mathbb{N}$$
Uzupełniając liczby naturalne o liczby do nich przeciwne oraz 0 otrzymujemy liczby całkowite $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ zamknięte również ze względu na odejmowanie.
$$\Big(\mathbb{Z}, +, \times,-\Big)$$
Liczby wymierne $\mathbb{Q}$ jako „domknięcie” dzielenia $\frac{\cdot}{\cdot}$
Liczby wymierne wyrażając proporcję (stosunek) pomiędzy wielkościami powstają z ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Każdą liczbę wymierną można zapisać jako ułamek, tzn. $\mathbb{Q}=\Big\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb{Z},n\neq 0\Big\}$ gdzie $m, n$ są liczbami całkowitymi, a $n$ jest różne od 0.
I choć dla części liczb naturalnych ich iloraz jest również liczbą naturalną (np. 10 / 2 = 5), to istnieje równie wiele przypadków sytuacji odwrotnej, np.
$$\frac{1}{5}\notin\mathbb{Z}$$
Liczby wymierne są zamknięte ze względu na iloraz (z pominięciem 0 – gdyż dzielenie przez 0 nie jest określone).
Liczby algebraiczne jako „częściowe domknięcie” pierwiastkowania $\sqrt{\cdot}$ i potęgowania ${m}^{n}$.
Już Pitagoras potrafił wykazać że długości przekątnej jednostkowego kwadratu nie da się wyrazić jako stosunku ówcześnie znanych liczb. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo zapisujemy
$$x^2=1^2+1^2$$
$$x^2=2$$
$$x=+/-\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$$
Pierwiastek z liczby 2 nie jest liczbą wymierną, podobnie jak i $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, … Zapiszmy nieco ogólniej
$$x^2-2=0$$
Zatem pierwiastek z liczby 2 jest zerem wielomianu (pierwiastkiem wielomianu) o wymiernych współczynnikach.
Liczby algebraiczne, zdefiniowane jako rozwiązania wielomianów o wymiernych współczynnikach, są pierwszym etapem „domknięcia” liczb wymiernych.
Liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$ jako granice ciągów liczb wymiernych.
Liczby wymierne (nawet rozszerzone o liczby algebraiczne) nie są zupełne.
Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy’ego, jeśli dla ustalonej dowolnie małej liczby, pomijając skończoną liczbę elementów ciągu, „odległość” pomiędzy pozostałymi dowolnymi dwoma elementami ciągu nie przekracza ustalonej wartości.
Dobrym i bardzo znanym przykładem jest ciąg definiujący podstawę logarytmu naturalnego
$$a_n=(1+\frac{1}{n})^n$$
Każdy element ciągu jest liczbą wymierną, gdyż powstaje z mnożenia liczb wymiernych. Ciąg ten spełnia warunek Cauchy’ego, jest zbieżny, jednak jego granica nie istnieje w liczbach wymiernych.
$$\lim a_n=e\notin\mathbb{Q}$$
Liczba e nie jest liczbą wymierną, nie jest również liczbą algebraiczną, Liczba e jest przykładem kolejnej klasy liczb „uzupełniających braki” w liczbach wymiernych.
Liczby nienależące do zbioru liczb wymiernych, które są granicami ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego, nazywamy liczbami niewymiernymi.
Niektóre z liczb niewymiernych są liczbami algebraicznymi (np. $\sqrt{2}$), jednak znaczna ich większość to liczby przestępne, czyli takie, które nie są pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych.
Liczby zespolone jako „domknięcie” pierwiastkowania $\sqrt{-1}$
Świat szedł do przodu, matematyka odkrywała kolejne wzory opisujące rzeczywistość. W XVI wieku ponownie napotkano problem „niezupełności” liczb i działań. Trudność pojawiła się w momencie wyprowadzania wzoru na pierwiastki wielomianu stopnia 3. Każdy wielomian stopnia 3 ma przynajmniej jedno miejsce zerowe, jednak okazało się, że konstrukcja wzoru podającego te pierwiastki wymaga założenia istnienia wartości $\sqrt{-1}$. Tak powstały liczby zespolone, których znaczenie jest dużo bardziej głębokie niż wartość $\sqrt{-1}$ oraz wzory Cardano dla równań sześciennych. Liczby zespolone to całkowicie nowy wymiar liczb, wymiar ukryty, mimo wszystko pojawiający się w niemal każdej empirycznej dziedzinie nauki z fizyką na czele…
… ale o tym w kolejnej części cyklu…
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Z pewnością każdy wie, że wynikiem mnożenia liczb ujemnych jest liczba dodania. Formułka „minus razy minus daje plus” była nam wtłaczana do głów w trakcie wczesnych lat szkolnych. Nauczyciele zapomnieli jednak wyjaśnić dlaczego tak właśnie jest, oraz przybliżyć motywację matematyków definiujących arytmetykę liczb ujemnych.
Mnożenie jako skrócone dodawanie
Mówi się, że mnożenie to skrócone dodawanie, co jest w zupełności prawdą i, przy ograniczeniu do liczb całkowitych, faktem dosyć oczywistym.
$$3\times 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 = 12$$
Mnożenie jest przemienne i rozdzielne względem dodawania
Te dwie fundamentalne własności mnożenia zapisujemy jako
przemienność $a\times b = b\times a$
przykład $3\times 4 = 4\times 3=12$
rozdzielność $a\times (b+c)=a\times b + a\times c$
Mnożenie liczb ujemnych z punktu widzenia matematyka
Matematycy, definiując arytmetykę liczb ujemnych, chcieli zachować spójność z już rozwiniętą arytmetyką liczb dodatnich i zera. Opierając się na interpretacji skróconego dodawania łatwo uzasadniamy następujące:
$$-3\times 4 = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-12$$
„Dodając dług do długu” otrzymujemy większy dług – intuicyjne. Teraz wykorzystując przemienność mnożenia otrzymujemy:
$$4\times (-3)=-3\times 4=-12$$
W tym momencie z intuicją już trochę trudniej, natomiast spójność została zachowana. Czas przejść do meritum – tzn spróbujmy odpowiedzieć na pytanie:
$$-3\times (-4)=?$$
Do rozwiązania powyższego zastosujemy trick na bazie rozdzielność mnożenia względem dodawania.
$$-3\times 0=0$$
$$-3\times 0=-3\times(-4+4)=0$$
$$-3\times(-4+4)=-3\times (-4)+(-3)\times 4=0$$
$$-3\times(-4)+(-12)=0$$
$$-3\times(-4)=12$$
Powyższe z intuicją nie ma nic wspólnego, jednak jest spójne, tzn. na bazie arytmetyki liczb dodatnich i zera, przemienności mnożenia, rozdzielności mnożenia względem dodawania, jesteśmy w stanie uzasadnić dlaczego mnożenie liczb ujemnych musi być liczbą dodatnią.
Mnożenie liczb ujemnych jako zmniejszenie straty
Załóżmy, że mnożymy dwie liczby, gdzie interpretacja pierwszej to wartość zysku bądź starty, natomiast znaczenie drugiej to zwielokrotnienie (zwiększenie / zmniejszenie) pierwszej wartości. W takiej sytuacji mnożenie dwóch liczb ujemnych oznacza zmniejszenie straty, czyli łączny efekt dodatni działania.
Powyższe wyjaśnienie można określić mianem intuicyjnego 🙂
I na koniec film od Mathologer’a wyjaśniający powyższy problem (materiał, na którym wzorowałem powyższy wpis).
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
https://youtu.be/YSOZPiXw6CY
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
https://youtu.be/XTOjmucEAsw
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
W części 1 wpisu na temat Spirali Ulama zaznaczyłem, że efekt wizualnego ułożenia liczb pierwszych na diagonalach spirali kwadratowej jest konsekwencją głównie dwóch własności:
Na przekątnych są albo same liczby parzyste, albo same liczby nieparzyste, zatem tylko diagonale z liczbami nieparzystymi będą agregować liczby pierwsze;
Niektóre diagonale zagęszczają bardziej liczby pierwsze niż inne, co wynika z zależności pomiędzy przekątnymi i funkcją kwadratową oraz faktem, że niektóre funkcje kwadratowe generują więcej liczb pierwszych niż inne.
Dzisiejszy tekst poświęcę przybliżeniu własności nr 2.
Wielomiany i rekurencja
Dla wielomianów możemy zawsze podać ich postać rekurencyjną, Jest to własność mało znana, jednak dosyć prosta w uzasadnieniu. Pokażę to na przykładzie funkcji kwadratowej, jednocześnie wzbogacając cykl „Zabawy z rekurencją” 🙂
$$f(x) = ax^2+bx+c$$
Rozważmy następnie równanie
$$f(x+1)=f(x)+Bx+C$$
Podstawiając i upraszczając…
$$a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+bx+c+Bx+C$$
$$ax^2+2ax+a+bx+b+c=ax^2+bx+c+Bx+C$$
$$2ax+a+b=Bx+C$$
$2a=B$ oraz $a+b=C$
otrzymujemy
$a=\frac{B}{2}$ oraz $b=C-a$
Następnie analizując $f(1)$ mamy
$f(1)=a+b+c$ zatem $c=f(1)-a-b$
$$c=f(1)-a-(C-a)=f(1)-C$$
Wniosek: jeśli znana jest relacja rekurencyjna $f(x+1)=f(x)+Bx+C$ oraz znamy wartość $f(1)$ to jesteśmy w stanie jednoznacznie wskazać równanie kwadratowe $ax^2+bx+c$ spełniające daną zależność rekurencyjna, gdzie
Funkcja kwadratowa i linie proste / przekątne na spirali Ulama
Poniżej spróbuję pokazać w jaki sposób „nawijanie prostej na kwadrat” sprawia, że parabole w efekcie otrzymują kształt linii prostych.
Przykład 1 – Pionowa prosta
Zapisujemy zależność rekurencyjną
$$f(1)=4$$
$$f(2)=f(1)+1+2+3+3+2$$
$$f(3)=f(2)+2+3+5+5+3$$
$$\ldots$$
$$f(n+1)=f(n)+n+2n+(2n+1)+(2n+1)+(n+1)$$
$$f(n+1)=f(n)+8n+3$$
Teraz, korzystając z wyprowadzonego wcześniej wzoru, wyznaczamy współczynniki a, b, c funkcji kwadratowej spełniającej $f(n+1)=f(n)+8n+3$.
$a=\frac{8}{2}=4$, $b=3-4=-1$, $c=4-3=1$
$$f(n)=4n^2-n+1$$
Dla testu czy wszystko jest ok sami podstawcie $n=1,2,3\ldots$
Przykład 2 – Przekątna (linia diagonalna)
Ponownie zapisujemy zależność rekurencyjną, tym razem nieco prostszą.
$$f(1)=3$$
$$f(2)=f(1)+2+2+3+3$$
$$f(3)=f(2)+4+4+5+5$$
$$\ldots$$
$$f(n+1)=f(n)+n+2n+2n+(2n+1)+(2n+1)$$
$$f(n+1)=f(n)+8n+2$$
Korzystając ze znanego wzoru wyznaczamy a, b, c dla $f(n+1)=f(n)+8n+2$.
$a=\frac{8}{2}=4$, $b=2-4=-2$, $c=3-2=1$
$$f(n)=4n^2-2n+1$$
Przykład: funkcja $n^2+n+41$ generująca liczby pierwsze
Wielomian $n^2+n+41$ jest funkcją „często generującą” liczby pierwsze. W tym przypadku dla każdego $n=0,1,\ldots,39$ wynik jest zawsze liczbą pierwszą. Poniżej tabela prezentująca zestawienie dla $n$ z zakresu od $0$ do $100$.
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
W 1963 polski matematyk Stanisław Ulam uprzyjemniał sobie czas spędzany w trakcie „bardzo długiego i bardzo nudnego” wykładu. Rekreacja polegała na takim wypisywaniu kolejnych liczby naturalnych 1, 2, 3, …, aby finalny kształt utworzył„spiralę kwadratową” . Poniżej przykład dla pierwszych 49 liczba naturalnych, spirala oczywiście nie kończy się na 49, chodzi jedynie o zobrazowanie zasady.
W kolejnym kroku na tak przygotowanej „tablicy” Ulam oznaczył wszystkie liczby pierwsze
następnie usuwając pozostałe.
W tym momencie jego oczom ukazał się niezwykle ciekawy i nieznany dotąd wzór – tendencja do układania się liczb pierwszych na „przekątnych / liniach diagonalnych”. Lepiej to obrazuje spirala wygenerowana dla znacznie większego zakresu liczb.
Każdy z Was może wygenerować podobną spiralę używają np. tego generatora.
Spirala Ulama i parzystość / nieparzystość liczb
Nietrudno zauważyć, że na liniach diagonalnych leżą albo same liczby parzyste, albo same liczby nieparzyste. Liczby pierwsze, poza 2, są nieparzyste – zatem nic dziwnego, że układają się na przekątnych reprezentujących liczby nieparzyste. Zaskakujące jest natomiast to, że niektóre diagonale zawierają ich znacznie więcej niż inne.
Spirala Ulama i wielomiany kwadratowe
Badania nad spiralą Ulama pokazały, że wzory przez nią ujawnione mają związek z generację przez niektóre funkcje kwadratowe nienaturalnie dużej liczby liczb pierwszych (ang. prime-rich quadratic polynomials), tzn. dla niektórych $f(x)=ax^2+bx+c$ „nienaturalnie” często $f(n)$ jest liczbą pierwszą dla $n\in\mathbb{N}$. Diagonale mogą być reprezentowane przez wielomiany stopnia 2, co wyjaśniam na poniższym schemacie.
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
W pierwszych trzech częściach „Zabaw z rekurencją” skupialiśmy się na rekurencji bezpośredniej, tzn. na sytuacji, kiedy w ciele funkcji dochodzi do wywołania „siebie samej”. Przebieg rekurencji bezpośredniej jest dość oczywisty, struktura wywołania, argumenty, jak też warunek stopu, są takie same dla wszystkich odwołań.
Rekurencja pośrednia
O rekurencji pośredniej mówimy w sytuacji „łańcucha wywołań”. Przykładowo funkcja f(.) wywołuje funkcję g(.), następnie funkcja g(.) wywołuje f(.), zatem ponowne wywołanie funkcji f(.) realizowane jest bezpośrednio przez funkcję g(.),jednak pośrednio przez f(.), gdyż to f(.) wywołała g(.).
Długość łańcucha nie musi być ograniczona, w rzeczywistości wywołania pośrednie mogą mieć nietrywialną strukturę, mogą „cofać się” do poprzednich elementów, „iść na skróty”, „rozdzielać się”, a w szczególności może dochodzić do wariantów mieszanych – tzn. wywołań bezpośrednich i pośrednich (różnego typu) w ramach jednej procedury. Dobrze to obrazuje poniższy schemat.
Aproksymacja funkcji sin(x) oraz cos(x) przy wykorzystaniu połączenia rekurencji bezpośredniej i rekurencji pośredniej
Przypomnijmy podstawowe tożsamości trygonometryczne dla wielokrotności kątów.
Zwróćmy uwagę, że znając rozwiązanie dla argumentu mniejszego $\frac{x}{2}$ możemy podać rozwiązanie dla $x$ – zatem tożsamości trygonometryczne są w istocie rekurencją z odwołaniami bezpośrednimi i pośrednimi! Funkcję $\sin(x)$ w otoczeniu $0$ można przybliżyć przez $x$, natomiast funkcję $\cos(x)$ przez stałą wartość $1$. Im mniejsze otoczenie $0$ wybierzemy tym lepsza aproksymacja w zadanym przedziale, a w konsekwencji mniejszy błąd oszacowania w całości. Przyjęte wartości w otoczeniu $0$ dają również pewny warunek stopu! Mamy więc wszystko co niezbędne do zastosowania strategii rekurencyjnej w aproksymacji.
Ustalmy stałą $a>0$ (reprezentującą otoczenie $0$), następnie definiujemy dwie funkcje rekurencyjne
Podkreślmy ponownie, że funkcja $\text{s}(x)$ wywołuje siebie bezpośrednio oraz wskazuje na funkcję $\text{c}(x)$, która, oprócz bezpośredniego wywołania siebie samej, wskazuje ponownie na $\text{s}(x)$. Jest to zatem ciekawa kombinacja rekurencji bezpośredniej z rekurencją pośrednią. Zapiszmy to w MathParser.org-mXparser.
/* Definicja funkcji rekurencyjncyh */
Constant a = new Constant("a = 0.1");
Function s = new Function("s(x) =  if( abs(x) < a, x, 2*s(x/2)*c(x/2) )", a);
Function c = new Function("c(x) =  if( abs(x) < a, 1, c(x/2)^2-s(x/2)^2 )", a);
/* Wskazanie, ze 's' korzysta z 'c', a 'c' korzysta z 's' */
s.addDefinitions(c);
c.addDefinitions(s);
Oczekujemy, że im mniejszy parametr $a>0$ tym lepsza aproksymacja funkcji $\sin(x)$ oraz $\cos(x)$ przez odpowiednio $\text{s}(x)$ oraz $\text{c}(x)$. Poniżej wykresy dla $a=0.5$ oraz $a=0.01$.
Wniosek – proste zapisy rekurencyjne dają złożone wyniki! 🙂
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Jednym z najprostszych testów pierwszości jest weryfikacja czy dana liczba $n$ posiada dzielnik z przedziału $(2, \sqrt{n})$ – takie podejście nazywane jest metodą naiwną – i niestety charakteryzuje się dużą złożonością obliczeniową. Nawet przy wykorzystaniu Sita Eratostenesa złożoność obliczeniowa sięga $\frac{\sqrt{n}}{\log{n}}$. Jednak w cyklu „Zabawy z rekurencją” nie bardzo zwracamy uwagę na złożoność 🙂 , bardziej chodzi o zobrazowanie jak całe algorytmy mogą być łatwo zapisane w postaci krótkich matematycznych funkcji rekurencyjnych – zatem do dzieła 🙂
Rekurencyjne poszukiwanie dzielników
Naszym zadaniem będzie zdefiniowanie funkcji zwracającej $1$ jeśli podana liczba $n$ jest liczbą pierwszą oraz $0$ w przeciwnym wypadku. Zacznijmy jednak od podania funkcji weryfikującej czy liczba posiada dzielniki.
$${\small\text{CzyDzielnik}(n, a, b)=}$$
$${\small=\begin{cases}0&\text{dla}\quad a>b\\1&\text{dla}\quad n \mod a=0\\ \text{CzyDzielnik}(n, a+1, b)&\text{w inn. przyp.}\end{cases}}$$
Powyższa funkcja zwraca $1$ jeśli liczba $n$ posiada dzielnik z przedziału $(a,b)$, oraz $0$ w przeciwnym wypadku. Następnie definiujemy wyrażenie reprezentujące naiwny test pierwszości.
Rolą funkcji „CzyPierwsza” jest jedynie „wprawienie algorytmu w ruch” oraz zwrócenie negacji wyniki funkcji „CzyDzielnik”. Proste prawda? 🙂 Sprawdźmy więc w mXparser czy to faktycznie działa.
CzyPierwsza(1) = 0.0, czas oblicz. = 0.08 s.
CzyPierwsza(2) = 1.0, czas oblicz. = 0.03 s.
CzyPierwsza(3) = 1.0, czas oblicz. = 0.026 s.
CzyPierwsza(4) = 0.0, czas oblicz. = 0.022 s.
CzyPierwsza(5) = 1.0, czas oblicz. = 0.038 s.
CzyPierwsza(6) = 0.0, czas oblicz. = 0.015 s.
CzyPierwsza(7) = 1.0, czas oblicz. = 0.028 s.
CzyPierwsza(8) = 0.0, czas oblicz. = 0.015 s.
CzyPierwsza(9) = 0.0, czas oblicz. = 0.053 s.
CzyPierwsza(10) = 0.0, czas oblicz. = 0.011 s.
Wygląda na to, że obliczenia są poprawne! Teraz możemy zweryfikować ile jest liczb pierwszych w podanym przedziale, definiując
$$\pi(n)=\sum_{i=1}^n \text{CzyPierwsza}(i)$$
/* Definicja wyrażenia sumującego wynik funkcji CzyPierwsza */
Expression pi100 = new Expression("sum(i, 1, 100, CzyPierwsza(i) )");
pi100.addFunctions(CzyPierwsza);
/* Obliczenie i wyświetlenie wyniku */
mXparser.consolePrintln( "Liczba liczb pierwszych w przedziale (1,100) = " + pi100.calculate());
+ wynik
Liczba liczb pierwszych w przedziale (1,100) = 25.0
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Pamiętajcie, że uruchamiając kody mXparsera należy dodać w nagłówku:
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Serdecznie zapraszam do zapoznania się z wysoce elastycznym interpreterem wyrażeń matematycznych. Oprogramowanie jest mojego autorstwa, powstało w 2010 roku i wtedy zostało opublikowane w serwisie SourceForge.net. Z racji, że teraz posiadam stronę o odpowiedniej tematyce, zdecydowałem się przygotować dedykowany opis, który znajdziecie pod tym linkiem. Dostępne są również tutorial oraz specyfikacja API.
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Pobierz mXparser – parser matematyczny
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Jakiś czas temu rozważałem problem losowania ze zwracaniem dokładnie $n$-elementów z $n$-elementowego zbioru (dla uściślenia w zbiorze wyjściowym znajduje się dokładnie $n$ różnych elementów). W wyniku takiej operacji, w wylosowanej próbie, mogą pojawić się duplikaty – załóżmy zatem, że otrzymaliśmy $k$ unikalnych rezultatów (oczywiście $1\leq k\leq n$). Naturalnie pojawia się pytanie kombinatoryczne.
Ile istnieje sposobów takiego wylosowania (ze zwracaniem) $n$ elementów spośród $n$-elementowego zbioru, że w wyniku otrzymamy dokładnie $k$ unikalnych rezultatów?
Liczba sposobów otrzymania k-unikalnych rezultatów
Liczbę takich sposobów oznaczmy przez $B_n^k$.
„Kombinowanie” czas start! Początkowo wyszedłem od losowania $k$ różnych elementów, w kolejnym kroku planując losowanie $n-k$ z wylosowanych wcześniej $k$. Tego typu podejście prowadziło do bardzo skomplikowanych rozważań, szczegóły pominę. Na rozwiązanie wpadłem po około 2 dniach.
Wariacja bez powtórzeń
Pierwszy krok – liczba sposobów wyboru $k$ różnych elementów z $n$ zwracając uwagę na kolejność – jest to wariacja bez powtórzeń $V_n^k$.
$$V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$$
Liczba Stirlinga II rodzaju
Drugi krok – zapominamy, że właśnie wylosowaliśmy $k$ unikalnych i należy jeszcze dolosować $n-k$ (choć to prawda). W zamian ustalamy, że mamy już $n$, w tym $k$ unikalnych. Trick polega na zauważeniu, że mając $k$ różnych elementów w zbiorze $n$-elementowym, dokonaliśmy jego podziału na $k$-podzbiorów.
Ile mamy sposobów podziału $n$-elementowego zbioru na $k$ podzbiorów? Jest to właśnie liczba Stirlinga II rodzaju oznaczona $S_2(n,k)$. Zatem finalnie
Dlaczego w kroku pierwszym zwracałem uwagę na kolejność? Chętnych zapraszam do komentowania 🙂
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
I Am Here – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Deep Under – RELEARN – Mariusz Gromada (2024)
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Skalar - kalkulator, funkcje, wykresy i skrypty - Made in Poland
Skalar to potężny silnik matematyczny i matematyczny język skryptowy, który zbudowany jest na bazie MathParser.org-mXparser
Kliknij na wideo i zobacz Skalara w akcji 🙂
Scalar Lite – wersja lite
Scalar Pro – wersja profesjonalna
Kontynuując przeglądanie strony, wyrażasz zgodę na używanie przez nas plików cookies. więcej informacji
Aby zapewnić Tobie najwyższy poziom realizacji usługi, opcje ciasteczek na tej stronie są ustawione na "zezwalaj na pliki cookies". Kontynuując przeglądanie strony bez zmiany ustawień lub klikając przycisk "Akceptuję" zgadzasz się na ich wykorzystanie.
następnie usuwając pozostałe.
W tym momencie
