Cykl poświęcony geometrii fraktalnej rozpoczynam od kilku genialnych cytatów oraz, idąc za radą Benoita Mandelbrota, koniecznie podając grafiki / wizualizacje / zdjęcia.

„Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór, skał, gór, potoków, i wielu innych. Twoja interpretacja przyrody zmieni się całkowicie i na zawsze.”

Michael F. Barnsley

„W kwestii fraktali zobaczyć znaczy uwierzyć”

Benoit Mandelbrot

„Fraktal to zbiór matematyczny (lub inny obiekt ) charakteryzujący się w każdej skali wysoką nieregularnością oraz dużą fragmentacją.”

Benoit Mandelbrot

„Ostatnie lata rozwoju matematyki, fizyki, biologii, astronomii oraz ekonomii dostarczyły nowego sposobu rozumienia ciągle rosnącej złożoności natury. Ta nowa dziedzina nauki, nazywana teorią chaosu, pozwala dostrzec porządek oraz wzorce gdzie dawnej dominowała losowość, niekonsekwencja, nieprzewidywalność – w skrócie obserwowany był chaos.”

James Gleick

Dla wielu termin fraktal kojarzy się z niezwykle pięknym zbiorem Mandelbrota, a wszystko za sprawą szeregu prostych programów komputerowych służących do jego wizualizacji. Jestem pewien, że znaczna część programistów rozpoczynała swoją przygodę z kodowaniem od programu generującego wspomniany zbiór – jednym z nich byłem ja! Dziś jednak nie będę skupiał się na osobie Benoita Mandelbrota – na to przyjdzie jeszcze czas. Zaznaczę natomiast, że był postacią o chyba największym wpływie na rozwój nowej dziedziny geometrii, geometrii przyrody.

Czym jest fraktal?

Nie istnieje jedna precyzyjna definicja fraktali. W zamian wymienia się cechy obiektów fraktalnych – najważniejsze to:

• Samo-podobieństwo – tzn. w skład obiektu wchodzą jego „mniejsze kopie (lub przybliżone kopie)” – np. liść paproci.
• Nietrywialna struktura w każdej skali – tzn. powiększanie ujawnia kolejne równie skomplikowane formy – np. drzewo, konary / gałęzie.
• Niecałkowity (a nawet niewymierny) wymiar fraktalny – ten koncept wyjaśnimy szczegółowo później, chodzi np. o nieskończenie długą krzywą zamkniętą, która jest osadzona w ograniczonej przestrzeni (obiekt o typie „pomiędzy” linią a płaszczyzną)  – przykład rzeczywisty to chociażby linia brzegowa i pomiar jej długości – im  mniejsza skala pomiaru tym istotnie większy wynik.

Historia fraktali

Pierwsza część cyklu to jedynie wstęp – dlatego podaję główne nazwiska (w kolejności chronologicznej), które istotnie przyczyniły się do rozwoju geometrii fraktalnej. Są to wybitni matematycy i dlatego każdemu z nich poświęcę osobny wpis.

• Karl Weierstrass (1815 – 1897)
• Georg Cantor (1845 – 1918)
• Helge von Koch (1870 – 1924)
• Felix Hausdorff (1868 – 1942)
• Gaston Julia (1893 – 1978)
• Pierre Fatou (1878 – 1929)
• Paul Lévy (1886 – 1971)
• Benoit Mandelbrot (1924 – 2010)

Fraktale w naturze – rośliny

 

Fraktale w naturze – krajobraz

 

Fraktale w naturze – biologia / ciało człowieka

 

Fraktale w naturze – bilogia / kolonie bakterii

 

Fraktale w naturze – fizyka / materia / energia

 

Fraktale w naturze – astronomia / kosmologia

 

Fraktale w naturze – ekonomia

Ciąg dalszy nastąpi … 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa