Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

$P=\pi r^2$ to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu „Dlaczego?” 🙂 Do dzieła! 🙂

Pole powierzchni koła – wzór

Pole powierzchni koła - wzór

$$P=\pi r^2$$

Jak widać powyżej – kwadrat i koło, o tej samej powierzchni, nie są „jakoś intuicyjnie łatwo” powiązane. Więcej – wykazano nawet, że kwadratura koła (procedura wykonywana przy użyciu cyrkla i linijki bez podziałki) jest niewykonalna! I tu pojawia się genialny pomysł z prostokątem 🙂 Nim powiem o co chodzi przyjrzyjmy się co tak naprawdę mówi wzór $$\pi r^2$$.

Pole powierzchni kola - Pi r kwadrat

$\pi\times r^2$ – czyli w kole mieszczą się nieco ponad 3 kwadraty o boku r 🙂

Pole powierzchni koła – dowód przez animację 🙂

Koło - pole powierzchni - animacja

Trochę się napracowałem przy tej animacji 🙂

Pole powierzchni koła – wielokąty foremne

Uwaga – poniższe nie jest dowodem, a obrazuje jedynie sposób wnioskowania stosowany przez Starożytnych Greków (tak np. Archimedes wyznaczał liczbę pi).

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny

Można zauważyć, że obwód n-kąta foremnego opisanego na kole wynosi

$$O_n=na$$

a jego pole to suma pól trójkątów o podstawie $a$ i wysokości równej promieniowi koła $r$.

$$P_n=n\frac{ar}{2}=\frac{nar}{2}$$

Podstawiając

$$P_n=\frac{O_nr}{2}$$

Gdy n jest coraz większe, $P_n$ coraz dokładniej przybliża pole koła, a $O_n$ jego obwód. W „kroku granicznym” (zagadnienie wielkości nieskończenie małej) otrzymujemy

$O_n\to 2\pi r$ – tu z definicji liczby $\pi$

$$P_n\to\frac{2\pi rr}{2}=\pi r^2$$

Pole powierzchni koła – dowód nieco bardziej formalny

Dowód, który przeprowadzę, nie będzie oparty na całkowaniu równania okręgu. Wykorzystam ciągi i ich granice oraz twierdzenie o trzech ciągach.

Twierdzenie o trzech ciągach

Niech będą dane trzy ciągi rzeczywiste $a_n$, $b_n$ i $c_n$. Jeśli „prawie wszędzie” (tzn. pomijając co najwyżej skończenie wiele wyrazów) zachodzi zależność

$$a_n\leq b_n\leq c_n$$

oraz

$$\lim a_n = \lim c_n = g$$

to

$$\lim b_n = g$$

Twierdzenie o trzech ciągach – strona na Wikipedii.

Przyda się również $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$

Pamiętam jak w szkole średniej, na lekcjach fizyki, mój nauczyciel wielokrotnie przyjmował, że dla małych $x$ funkcję $\sin x$ dobrze przybliża właśnie $x$. Wynika to z rozwinięcia $\sin x$ w szereg Taylora – wyjaśnienie pomijam. Wyznaczę jednak samą granicę – bo się przyda 🙂

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\big(\frac{0}{0}\big)\text{ reg. de l`Hospitala}=$$

$$=\lim_{x\to 0}\frac{(\sin x)\prime}{x\prime}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=$$

$$=\frac{\cos 0}{1}=\frac{1}{1}=1$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

Reguła de l’Hospitala – Wikipedia

Pole powierzchni koła – dowód

Rozważmy n-kąty foremne opisane na kole i wpisane w koło. Pole n-kąta opisanego nazwijmy „polem zewnętrznym” i oznaczmy $Z_n$. Analogicznie pole n-kąta wpisanego nazwiemy „polem wewnętrznym” oznaczając je $W_n$.

Pole powierzchni koła - wielokąt foremny wpisany i opisany

Oczywiście

$$W_n\leq P\leq Z_n$$

gdzie $P$ oznacza pole koła.

W kolejnym kroku dzielimy n-kąty na n-trójkątów. Zauważmy, że w ten sposób kąt pełny został również podzielony na n równych części. Pole „trójkąta zewnętrznego” oznaczymy przez $T_n$, a trójkąta wewnętrznego $t_n$.

Pole powierzchni koła - awielokąt foremny wpisany i opisany

$$Z_n=nT_n$$

$$W_n=nt_n$$

Wyznaczamy pole trójkąta „zewnętrznego”

$$T_n=Ar$$

ale

$$\frac{A}{r}=\text{tg}\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$\frac{A}{r}r^2=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$Ar=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$$

$$T_n=r^2\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=r^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}$$

Wyznaczamy pole trójkąta „wewnętrznego”

$$t_n=ah$$

ale

$$\frac{a}{r}=\sin\beta$$

$$a=r\sin\beta$$

oraz

$$\frac{h}{r}=\cos\beta$$

$$h=r\cos\beta$$

podstawiając

$$t_n=r\sin\beta\cdot r\cos\beta=r^2\sin\beta\cos\beta$$

stosując tożsamości trygonometryczne

$$t_n=r^2\sin\beta\cos\beta=\frac{r^2}{2}2\sin\beta\cos\beta=$$

$$=\frac{r^2}{2}\sin2\beta=\frac{r^2}{2}\sin\alpha$$

$$t_n=\frac{r^2}{2}\sin\alpha=\frac{r^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}$$

Finalne ciągi

$$Z_n=nT_n=nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}$$

$$W_n=nt_n=\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}$$

Granice ciągów

$$\lim Z_n=\lim nr^2\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\cos\frac{\pi}{n}}=$$

$$=\lim \frac{nr^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=$$

$$=\lim \frac{\pi r^2}{\cos\frac{\pi}{n}}\cdot\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=\frac{\pi r^2}{\cos 0}\cdot 1=$$

$$=\frac{\pi r^2}{1}=\pi r^2$$

$$\lim Z_n=\pi r^2$$

$$\lim W_n=\lim\frac{nr^2}{2}\sin\frac{2\pi}{n}=$$

$$\lim \frac{nr^2}{2}\cdot \frac{2\pi}{n}\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=$$

$$\lim \pi r^2\cdot\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{\frac{2\pi}{n}}=\pi r^2\cdot 1=\pi r^2$$

$$\lim W_n=\pi r^2$$

Wniosek

Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że pole koła to

$$P=\lim W_n=\lim Z_n=\pi r^2$$

Tempo zbieżności ciągów $W_n$ oraz $Z_n$

Pole powierzchni koła - tempo zbieżności ciągów

🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Views All Time
Views All Time
20282
Views Today
Views Today
2

5 myśli w temacie “Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

    • Dzięki – całka jak najbardziej – dla nas matematyków daje super łatwe rozwiązanie i super łatwą interpretację. Do pozostałych bardziej trafia prosta geometryczna intuicja.

      Pozdrowienia

    • Te PI to: 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428 itd., czyli nie wiadomo ile… Powierzchnia jest zatem niepoliczalna… Całki tu też nic nie pomogą…

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *