Kategoria: Geometria

— Analiza matematyczna, Geometria, Matematyka —

Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

10 marca 2018

Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa – fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie „dlaczego” tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco… Read More Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

— Geometria, Matematyka —

Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

3 września 2017
Kula - wymiar 3

„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka. To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″ 🙂 Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania… Read More Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

— Geometria, Matematyka —

Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

28 stycznia 2017
Koło - pole powierzchni - animacja

$P=\pi r^2$ to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu „Dlaczego?” 🙂 Do dzieła! 🙂 Pole powierzchni koła – wzór $$P=\pi… Read More Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

— Geometria, Matematyka —

Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

20 stycznia 2017
Trójkąt - Pole powierzchni

Jestem pewien, że wzór na pole powierzchni trójkąta, tj. $P=\frac{1}{2}ah$, jest znany niemal wszystkim 🙂  Dzieci, będąc we wczesnym wieku szkolnym, poznają podstawy geometrii, w tym długości obwodów i pola powierzchni figur płaskich. Jeśli interesuje cię dlaczego pole powierzchni trójkąta zależy od długości jego podstawy i wysokości na nią opadającej, to jest to wpis dla… Read More Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

— Geometria, Historia matematyki, Matematyka, Teoria mnogości —

Georg Cantor i trójkowy zbiór Cantora – czyli geometria fraktalna (część 3)

30 grudnia 2016
Zbiór Cantora

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 – 1918) – niemiecki matematyk, który zainicjował (oraz znacząco rozwinął) teorię mnogości. Można powiedzieć, że „Cantor dla teorii mnogości jest tym, kim Mandelbrot dla geometrii fraktalnej”. Cantora osobiście zaliczam do grona gigantów matematyki, których koncepcje i wyniki prac znacząco wyprzedzały daną epokę. Cantor jako pierwszy zadał pytanie o rozmiar nieskończoności.… Read More Georg Cantor i trójkowy zbiór Cantora – czyli geometria fraktalna (część 3)

— Analiza matematyczna, Geometria, Historia matematyki, Matematyka —

Karl Weierstrass i Funkcja Weierstrassa – czyli geometria fraktalna (część 2)

17 października 2016

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) niemiecki matematyk uznawany za „ojca współczesnej analizy matematycznej”. Choć minęło już 17 lat, to nadal doskonale pamiętam pierwszy semestr studiów matematycznych i ekspozycję na podstawowe „bardziej abstrakcyjne” twierdzenia, w tym Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Twierdzenie mówi, że „każdy rzeczywisty ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny”, i choć brzmi prosto i ogólnie,… Read More Karl Weierstrass i Funkcja Weierstrassa – czyli geometria fraktalna (część 2)

— Geometria, Matematyka —

Fraktalne oblicze natury – czyli geometria fraktalna (część 1)

18 sierpnia 2016

Cykl poświęcony geometrii fraktalnej rozpoczynam od kilku genialnych cytatów oraz, idąc za radą Benoita Mandelbrota, koniecznie podając grafiki / wizualizacje / zdjęcia. „Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących chmur, lasów, kwiatów, galaktyk, liści, piór,… Read More Fraktalne oblicze natury – czyli geometria fraktalna (część 1)

— Ciekawostki, Geometria, Matematyka —

Matematyka w obrazkach #3 – Choinka Sierpińskiego – Wesołych Świąt!

20 grudnia 2015

Kolejne wpisy dopiero po Świętach – zatem już dziś Wszystkim życzę wesołych Świąt! W ramach cyklu „Matematyka w obrazkach” przygotowałem fraktalną kartkę świąteczną – Choinkę Sierpińskiego – na którą składają się: Trójkąt Sierpińskiego Dywan Sierpińskiego Płatki śniegu Kocha (gwiazda, śnieg, zaspy) Zbiory Julii (niebo) Ozdoby – inny wariant dywanu Sierpińskiego 🙂 Choinka Sierpińskiego Pozdrowienia, Mariusz Gromada

— Ciekawostki, Geometria, Matematyka —

Benoit Mandelbrot urodził się w Polsce!

31 października 2015

Benoit Mandelbrot Benoit Mandelbrot (1924-2010) – twórca geometrii fraktalnej, „właściciel” prawdopodobnie najsławniejszego zbioru w matematyce – urodził się w Polsce! Przyszedł na świat w roku 1924 w Warszawie. Był dzieckiem rodziny żydowskiej, która w roku 1936 wyemigrowała do Francji, co prawdopodobnie ocaliło ich życie. Mandelbrot we Francji dołączył do swojego stryja – Szolema Mandelbrojta, również polskiego… Read More Benoit Mandelbrot urodził się w Polsce!

— Ciekawostki, Geometria, Matematyka —

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

29 października 2015

Wszyscy doskonale znają twierdzenie Pitagorasa, jednak już znaczna mniejszość jest świadoma jego bardzo ciekawego uogólnienia, wyrażonego poniższym schematem. Samo uogólnienie nie ogranicza się do półkoli, jest prawdziwe dla całej klasy kształtów pozostających w relacji podobieństwa, gdzie skale podobieństwa są wyrażone długościami boków trójkąta prostokątnego. Uogólnione twierdzenie Pitagorasa Jeśli trzy figury, względem siebie podobne, posiadają pola… Read More Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

— Geometria, Matematyka —

Wymiar fraktalny

23 października 2015

Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa) ma wiele definicji. Większość z nich opiera się na własności samopodobieństwa. Wymiar fraktalny niesie w sobie bardzo ciekawą informację – pokazuje w jakim stopniu obiekt wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony. Dla regularnych obiektów (np. kula, kostka) osadzonych w przestrzeniach n-wymiarowych, wymiar fraktalny wyniesie n (np. wymiar fraktalny kuli… Read More Wymiar fraktalny