Miesiąc: październik 2015

— Ciekawostki, Geometria, Matematyka —

Benoit Mandelbrot urodził się w Polsce!

31 października 2015

Benoit Mandelbrot Benoit Mandelbrot (1924-2010) – twórca geometrii fraktalnej, „właściciel” prawdopodobnie najsławniejszego zbioru w matematyce – urodził się w Polsce! Przyszedł na świat w roku 1924 w Warszawie. Był dzieckiem rodziny żydowskiej, która w roku 1936 wyemigrowała do Francji, co prawdopodobnie ocaliło ich życie. Mandelbrot we Francji dołączył do swojego stryja – Szolema Mandelbrojta, również polskiego… Read More Benoit Mandelbrot urodził się w Polsce!

— Ciekawostki, Geometria, Matematyka —

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

29 października 2015

Wszyscy doskonale znają twierdzenie Pitagorasa, jednak już znaczna mniejszość jest świadoma jego bardzo ciekawego uogólnienia, wyrażonego poniższym schematem. Samo uogólnienie nie ogranicza się do półkoli, jest prawdziwe dla całej klasy kształtów pozostających w relacji podobieństwa, gdzie skale podobieństwa są wyrażone długościami boków trójkąta prostokątnego. Uogólnione twierdzenie Pitagorasa Jeśli trzy figury, względem siebie podobne, posiadają pola… Read More Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

— Kombinatoryka, Matematyka, Probabilistyka, Teoria liczb —

Liczba Stirlinga II rodzaju i losowanie ze zwracaniem

28 października 2015

Jakiś czas temu rozważałem problem losowania ze zwracaniem dokładnie $n$-elementów z $n$-elementowego zbioru (dla uściślenia w zbiorze wyjściowym znajduje się dokładnie $n$ różnych elementów). W wyniku takiej operacji, w wylosowanej próbie, mogą pojawić się duplikaty – załóżmy zatem, że otrzymaliśmy $k$ unikalnych rezultatów (oczywiście $1\leq k\leq n$). Naturalnie pojawia się pytanie kombinatoryczne. Ile istnieje sposobów… Read More Liczba Stirlinga II rodzaju i losowanie ze zwracaniem

— Analiza matematyczna, Ciekawostki, Historia matematyki, Matematyka, Rachunek różniczkowy i całkowy, Teoria mnogości —

Przeciwieństwo nieskończoności, Wielkość nieskończenie mała, Wielkość infinitezymalna, Różniczka, Monada, Infinitesimal, Differential – czyli początki rachunku różniczkowego i całkowego

27 października 2015

Wielkość nieskończenie – geneza powstania W 17 wieku Newton i Leibniz skonstruowali podstawy rachunku różniczkowego i całkowego. Ich logika opierała się na wykorzystaniu wielkości nieskończenie małej w celu wyznaczenia powierzchni pod krzywą daną równaniem funkcji. Podejście to zakładało istnienie niezerowego elementu nieskończenie małego. Filozof Leibniz poszedł dalej, gdyż ponadto uważał, że cały świat jest zbudowany… Read More Przeciwieństwo nieskończoności, Wielkość nieskończenie mała, Wielkość infinitezymalna, Różniczka, Monada, Infinitesimal, Differential – czyli początki rachunku różniczkowego i całkowego

— Data Mining, Matematyka, Probabilistyka, Statystyka matematyczna —

Confusion matrix, Macierz błędu, tablica / macierz pomyłek – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 1)

26 października 2015

Macierz pomyłek i klasyfikacja binarna Macierz błędu jest podstawowym narzędziem stosowanym do oceny jakości klasyfikacji. Poniżej rozważymy przypadek klasyfikacji binarnej (dwie klasy).Kodowanie klas: 1 – Positive (np.: fakt skorzystania z produktu przez Klienta, pacjent z potwierdzoną chorobą, pacjentka z potwierdzoną ciążą) 0 – Negative (np.: fakt nieskorzystania z produktu przez Klienta, pacjent z wykluczoną chorobą, pacjentka z… Read More Confusion matrix, Macierz błędu, tablica / macierz pomyłek – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 1)

— Data Mining, Matematyka —

Analiza dyskryminacyjna, Rodziny klasyfikatorów, Bagging, Boosting, AdaBoost, Lasy losowe, Porównanie metod

25 października 2015

Temat pracy dotyczy problemu dyskryminacji oraz budowy i zastosowań rodzin klasyfikatorów, w tym głównie metody typu bagging, metody typu boosting oraz lasów losowych. Przedmiotem pracy jest zbadanie metematyczno-statystycznych fundamentów, na których opierają się metodologie budowy rodzin klasyfikatorów. Istotną częścią pracy jest analiza rozwiązań podanych zagadnień. W pierwszym rozdziale omówiony został problem klasyfikacji pod nadzorem, zwanej… Read More Analiza dyskryminacyjna, Rodziny klasyfikatorów, Bagging, Boosting, AdaBoost, Lasy losowe, Porównanie metod

— Data Mining, Matematyka, Matematyka dyskretna, Probabilistyka, Statystyka matematyczna, Teoria grafów, Topologia —

Analiza dyskryminacyjna, Drzewa klasyfikacyjne, Klasyfikatory SLIQ i SPRINT

24 października 2015

Temat pracy dotyczy problemu dyskryminacji oraz budowy drzew klasyfikacyjnych w kontekście ich przydatności do rozwiązywania zadań o dużym wymiarze prób losowych i/lub dużym wymiarze wektora obserwacji, w których podstawowego znaczenia nabiera złożoność obliczeniowa drzewa. Radzenie sobie z dużymi zbiorami danych wymaga konstrukcji specjalnych technik sortowania danych w trakcie budowy drzewa, kodowania, organizacji wzrostu i przycinania… Read More Analiza dyskryminacyjna, Drzewa klasyfikacyjne, Klasyfikatory SLIQ i SPRINT

— Matematyka, Teoria mnogości —

Różne oblicza nieskończoności

23 października 2015

———————- „Skończoność jest pożywieniem matematyki, nieskończoność – tlenem.” ———————- „W matematyce – chodzimy na skróty przez nieskończoność.” ———————- „Nieskończoność jest równikiem pomiędzy skończonymi biegunami założenia i tezy.” ———————- „Do najistotniejszych pojęć matematyki należą mosty łączące skończoność i nieskończoność.” ———————- Leżącą cyfra osiem, lemniskata ∞, dobrze wszystkim znany symbol nieskończoności. Czasami z plusem, czasami z minusem,… Read More Różne oblicza nieskończoności

— Geometria, Matematyka —

Wymiar fraktalny

23 października 2015

Wymiar fraktalny (nazywany czasami wymiarem samopodobieństwa) ma wiele definicji. Większość z nich opiera się na własności samopodobieństwa. Wymiar fraktalny niesie w sobie bardzo ciekawą informację – pokazuje w jakim stopniu obiekt wypełnia przestrzeń, w której jest osadzony. Dla regularnych obiektów (np. kula, kostka) osadzonych w przestrzeniach n-wymiarowych, wymiar fraktalny wyniesie n (np. wymiar fraktalny kuli… Read More Wymiar fraktalny

— Matematyka, Probabilistyka —

„Prawie na pewno” vs „Na pewno” – czyli jedna z subtelności probabilistyki

22 października 2015

Interpretacja słów niemożliwe i pewne nie sprawia na ogół żadnego kłopotu. Mówiąc, że coś jest niemożliwe, bądź pewne, mocno i zdecydowanym tonem akcentujemy fakt rozumiany jako coś niepodważalnego. W życiu codziennym rzadko dysponujemy takimi faktami, częściej posiadamy dobrze umotywowane przypuszczenia, że coś jest prawie niemożliwe lub prawie pewne. Rozumienie wyrażeń prawie niemożliwe i prawie pewne… Read More „Prawie na pewno” vs „Na pewno” – czyli jedna z subtelności probabilistyki

— Ciekawostki, Matematyka, Teoria miary i całki, Teoria mnogości —

Paradoks Banacha-Tarskiego i Cudowne rozmnożenie chleba w Galilei

21 października 2015

W 1924 roku Stefan Banach i Alfred Tarski sformułowali i udowodnili paradoksalne twierdzenie teorii mnogości o takim podziale jednej kuli na kilka części (skończoną ich liczbę), aby z powstałych elementów można było „skleić” dwie kule o identycznych parametrach jak ta wyjściowa. Podczas operacji „sklejania” wykorzystali jedynie obroty i przesunięcia, bez rozciągania, czy też innych operacji zmieniających kształt!… Read More Paradoks Banacha-Tarskiego i Cudowne rozmnożenie chleba w Galilei

— Ciekawostki, Matematyka —

15000 Volt + drewno = fraktale!

20 października 2015

Kształty łudząco przypominające wzory fraktalne można uzyskać poprzez włączenie „drewna” w obieg prądu o napięciu 15000 volt! Bieżąca definicja fraktali opiera się na własności samopodobieństwa i/lub na nieskończonej złożoności kształtu, gdzie powiększanie fragmentów nie powoduje zmniejszenia poziomu „złożoności” obiektu. Moim zdaniem poniższy obraz spełnia podane kryteria. Dla porównania animacja „głębokiego powiększania” odgałęzień zbioru Mandelbrota. Zainteresowanych zapraszam… Read More 15000 Volt + drewno = fraktale!