Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator)

Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie.

Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$$

Przykłady

$${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$$

$${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$$

$${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$

$${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂

Tetrację można wykorzystać do zapisu naprawdę dużych liczb, co dobrze obrazuje przykład ${^{4}3}$. Tetrację wygodnie jest również definiować w postaci rekurencyjnej.

Definicja rekurencyjna: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako:

$${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a^{{^{n-1}a}}&\text{dla}\quad n\geq 1\end{cases}$$

Funkcja $f(x)=x^x$ i związek tetracji z liczbą $e$

$f(x)=x^x$ to podstawowy przykład funkcji na bazie tetracji.

Własności $f(x)=x^x$

• $f(x)=x^x$ jest określona na dodatnich liczbach rzeczywistych
• $0^0$ jest symbolem nieokreślonym, ale $x^x\to 1$ gdy $x\to 0^+$
• $f(x)=x^x$ posiada minimum $e^{-\frac{1}{e}}$ w punkcie $x=\frac{1}{e}$
• $f(x)=x^x$ maleje w przedziale $x\in(0, \frac{1}{e})$, rośnie w przedziale $x\in(\frac{1}{e},+\infty)$
• $f^\prime(x)=x^x\big(\ln x+1\big)$

Pochodna $f(x)=x^x$

Aby policzyć pochodną $x^x$ wystarczy zastosować drobny trick na bazie własności logarytmu.

$$f(x)=x^x$$

$x>0$ oraz $f(x)>0$

$$\ln f(x)=\ln x^x=x\ln x$$

$$\Big(\ln f(x)\Big)^\prime=\Big(x\ln x\Big)^\prime$$

$$\frac{1}{f(x)}f^\prime(x)=x^\prime\ln x + x\Big(\ln x\Big)^\prime=\ln x + 1$$

$$f^\prime(x)=(x^x)^\prime$$

$$f^\prime(x)=f(x)\Big(\ln x + 1\Big)=x^x\Big(\ln x + 1\Big)$$

Bazując na rekurencyjnej definicji tetracji, korzystając z powyższego tricku, można wyznaczyć ogólną rekurencyjną formułę na pochodną tetracji $n$ liczby $x$. Mając pochodną z łatwością wykazujemy większość podanych własności.

Nieskończona wieża wykładnicza i jeszcze silniejszy związek tetracji z liczbą $e$

$${\Huge x^{x^{x^{x^{x^{\cdots}}}}}=?}$$

Problem zbieżności ciągu tetracji został rozwiązany już w XVIII wieku, a dokonał tego Leonhard Euler 🙂 Rozważmy granicę

$$\lim_{n\to\infty}{^{n}x}$$

zadając pytanie „dla jakich $x>0$ istnieje powyższa granica?”

Na potrzeby rozważań załóżmy, że taka granica istnieje i wynosi

$$\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=y$$

Bazując na rekurencyjnej definicji tetracji otrzymujemy

$$y=\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=\lim_{n\to\infty}x^{^{n-1}x}=$$

$$=x^{\lim_{n\to\infty}{^{n-1}x}}=x^y$$

Zatem, warunkiem koniecznym dla zbieżności ciągu tetracji jest

$$y=x^y$$

gdzie

$$\lim_{n\to\infty}{^{n}x}=y$$

Przekształcając $y=x^y$

$$y^{\frac{1}{y}}=(x^y)^{\frac{1}{y}}$$

otrzymujemy

$$x=y^\frac{1}{y}$$

Uwaga: nie jest to warunek dostateczny!

Twierdzenie Eulera o zbieżności ciągu tetracji: $y=\lim_{n\to\infty}{^{n}x}$ istnieje i jest skończona wyłącznie jeśli $x\in\Big[e^{-e},e^\frac{1}{e}\Big]$. Zachodzi wtedy

$$y\in\Big[\frac{1}{e},e\Big]$$

dla

$$x\in\Big[e^{-e},e^\frac{1}{e}\Big]$$

Dowód powyższego twierdzenia wykracza poza objętość tego artukułu, zainteresowanych zapraszam do publikacji R. Arthur Knoebel , Exponentials Reiterated.

Na koniec niesamowita estetyka, która ujawnia się w nieskończonej wieży wykładniczej

W przedziale $y\in\Big[\frac{1}{e},e\Big]$ leżą tylko dwie liczby całkowite: 1 i 2.

$y=1$ to $x=1$

$y=2$ to $x=2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}$

Piękne – nieskończona tetracja $\sqrt{2}$ daje w wyniku $2$ 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury

Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.

Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa