Ciekawostki, Matematyka, Probabilistyka

Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Rozkład jednostajny na odcinku $(0,1)$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e. Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b) Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $(a,b)$ jest opisany poniższą funkcją gęstości. $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$ Pisząc $X\sim U(a,b)$ oznaczamy,… Read More Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Ciekawostki, Matematyka, Teoria liczb

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem. Czym jest $\pi$? $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy. $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$. $\pi$ to połowa obwodu koła o… Read More Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Analiza matematyczna, Matematyka, Rachunek różniczkowy i całkowy

Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

„Co to jest różniczka? – zapytano  matematyka. Różniczka to wyniczek odejmowanka – odpowiedział” 🙂 Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór… Read More Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

Geometria, Matematyka

Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka. To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″ 🙂 Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania… Read More Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

Ciekawostki, Kombinatoryka, Matematyka, Teoria mnogości

Zero Silnia – czyli dlaczego 0!=1?

Artykuł „Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus?” cieszy się ogromnym zainteresowaniem (np. w piątek 21.10.2016 został pobity rekord, mianowicie tylko w tym jednym dniu 350 unikalnych użytkowników zapoznało się z treścią wpisu). Będąc świadomym, że dla wielu z Was ważne jest zrozumienie motywacji stojącej za podstawowymi definicjami, postanowiłem rozpocząć nowy cykl… Read More Zero Silnia – czyli dlaczego 0!=1?

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-18: Zmarli na COVID względem wieku + wskaźnik ryzyka

W Polsce nie są publikowane dane o wieku osób chorych na COVID. Minister Zdrowia przekazuje jedynie informacje o wieku osób które zmarły z powodu COVID. W związku z tym nie jest możliwe wyznaczenie śmiertelności w zależności od grup wiekowych. Mimo to, zestawiając dostępne dane z rozkładem wieku w całej populacji Polski, możliwe jest wyznaczenie wskaźnika… Read More Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-18: Zmarli na COVID względem wieku + wskaźnik ryzyka

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-15: Śmiertelność vs Gęstość zakażeń

Koronawirus jest cały czas w ofensywie. W trakcie kilku ostatnich dni sytuacja Polski nie uległa zmianie. Liczba zachorowań na COVID to 7582 i nadal rośnie w tempie około 400 dziennie. Na świecie potwierdzono już 2 miliony zakażeń, a Belgia została nowym liderem w smutnym wyścigu śmiertelności. Są jednak pozytywne sygnały płynące z niektórych krajów (Austria,… Read More Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-15: Śmiertelność vs Gęstość zakażeń

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-12: Dobry wynik Polski i Portugalii

Polska wykazuje pewne oznaki stabilizacji. Z drugiej strony Portugalia to przykład jak łatwo jest ponownie wzrosnąć. Nie wiem z czego dokładnie wynika ten jednodniowy ogromny skok – mimo to budzi obawę. Z pewnością nie jest to czas na łagodzenie ograniczeń. Mam nadzieję, że kilka dni po świętach Wielkiej Nocy, w Polsce nie odnotujemy negatywnych zmian… Read More Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-12: Dobry wynik Polski i Portugalii

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Powolny wzrost, jednak brak wyraźnych oznak zmian trendu: Polska, Irlandia, Szwajcaria, Rumunia

Kilka ostatnich dni w Polsce to stabilizacja liczby potwierdzonych nowych zachorowań (około 400 przypadków dziennie). Polska, pomimo szeregu podjętych działań, nie osiągnęła jeszcze dziennego szczytu. Epidemia w naszym kraju charakteryzuje się powolnym przyrostem, jednak kształt krzywej nadal wykazuje cechy wzrostu wykładniczego. Sytuacja w niektórych krajach uległa znacznej poprawie. CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Umiarkowana poprawa w trakcie ostatnich 2-3 dni: Włochy, Niemcy, Hiszpania, Portugalia

We Włoszech, Niemczech i Hiszpania nadal identyfikuje się wielu nowych chorych. Mimo to, dzienne przyrosty przestały rosnąć – to bardzo dobry znak, który daje nadzieję na powolne wygaszenie pandemii.  Dużo zależy od odpowiedzialnego zachowania społeczeństw. Pomimo poprawy, wiele ograniczeń jest nadal utrzymywanych. Podobną efekty osiągnęła Portugalii, choć tu skala zachorowań jest znacznie mniejsza. CZYTAJ DALEJ… Read More Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Umiarkowana poprawa w trakcie ostatnich 2-3 dni: Włochy, Niemcy, Hiszpania, Portugalia

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Duże wzrosty oraz wyraźnie negatywna prognoza: Stany Zjednoczone, Wielka Brytania, Francja oraz Rosja

Stany Zjednoczone, Wielka Brytania oraz Francja to duże liczby chorych oraz duże dzienne wzrosty – to przekłada się na zdecydowanie negatywną prognozę rozwoju sytuacji. Do tego grona dołącza również Rosja – tu nadał łączna liczba chorych nie jest bardzo duża, jednak tempo i kształt wzrostu są bardzo niepokojące. CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Liczba chorych na milion mieszkańców

W początkowym etapie rozwoju epidemii, porównywanie krajów pod względem liczby chorych na milion mieszkańców, nie ma większego sensu. Obecnie dochodzimy do takiego punktu, gdzie tego typu zestawienia będą pokazywały pewne prawdziwe zależności. Na dzień 5 kwietnia 2020 roku na COVID zachorowało średnio 161 osób na milion mieszkańców globu (zachorowanie potwierdzone). W Polsce wskaźnik ten wyniósł… Read More Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Liczba chorych na milion mieszkańców

Koronawirus

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Stabilizacja dynamiki pandemii w Portugalii

Jako pracownik Banku Millennium mam wielu przyjaciół pochodzących z Portugalii. Portugalia o dwa dni wcześniej niż Polska potwierdziła pierwsze zachorowania na własnym terenie. Portugalia to znacznie mniejszy kraj, jednak tempo rozwoju epidemii było i nadal jest tam istotnie wyższe niż to obserwowane w Polsce. Po kilku dniach bardzo wyraźnych wzrostów, dzienne zmiany są obecnie na… Read More Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Stabilizacja dynamiki pandemii w Portugalii