Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych

Wyróżnione

Rozkład jednostajny na odcinku $$(0,1)$$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e.

Uniform Sum Distribution

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b)

Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$ jest opisany poniższą funkcją gęstości.

$$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$

Pisząc $$X\sim U(a,b)$$ oznaczamy, że zmienna losowa $$X$$ ma rozkład jednostajny ciągły na odcinku $$(a,b)$$. Jest to rozkład ciągły, zatem przyjęcie wartości $$0$$ lub $$\frac{1}{b-a}$$ w punktach $$x=a$$ i $$x=b$$ jest umowne i nie ma zwykle wpływu na własności i rozważania.

Czytaj dalej

Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych

Wyróżnione

Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem.

Prime Pi

Czym jest $\pi$?

  • $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy.
  • $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to połowa obwodu koła o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{1}{4}$ pola powierzchni sfery o promieniu $1$.
  • $\pi$ to $\frac{3}{4}$ objętości kuli o promieniu $1$.
  • $k\pi$ dla całkowitych $k$ to miejsca zerowe funkcji $\sin x$.
  • … i wiele innych …

Czym są liczby pierwsze?

  • Liczba pierwsza to liczba naturalna $n\in\mathbb{N}$ większa od $1$, której jednymi dzielnikami są $1$ oraz $n$.
  • Liczby pierwsze to „atomy” w teorii liczb, tzn. każdą liczbę naturalną można rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych.
  • Rozmieszczenie liczb pierwszych wśród liczb naturalnych spełnia pewne zależności statystyczne, jednak nie jest znany żaden precyzyjny wzór dla określenia $n-tej$ liczby pierwszej. Ciekawskich odsyłam do artykułu „Prime-counting function”.

Czytaj dalej

Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

Wyróżnione

„Co to jest różniczka? – zapytano  matematyka.
Różniczka to wyniczek odejmowanka – odpowiedział”
🙂

Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór Taylora, nazywamy często rozwinięciem Taylora funkcji $f(x)$ w otoczeniu punktu $x_0$, faktycznie „rozwija” funkcję do postaci sumy funkcji elementarnych $a_n(x-x_0)^n$, stanowiących atomy wielomianów. W efekcie otrzymujemy nie tylko efektywną aproksymację wartości funkcji, ale również nową „łatwiejszą” jej formę.

Wielomian Taylora

Twierdzenie Taylora: Dla funkcji $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $n$-razy różniczkowalnej $(n\geq 1)$ w punkcie $x_0\in\mathbb{R}$, istnieje funkcja $h_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, że

$$f(x)=\underbrace{\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}_{wielomian-aproksymacja~f(x)}+\underbrace{h_n(x)(x-x_0)^n}_{reszta}$$

$$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(1)}(x_0)}{1!}(x-x_0)^1+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots$$

$$\ldots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+h_n(x)(x-x_0)^n$$

oraz

$$\displaystyle\lim_{x\to x_0}h_n(x)=0$$

Przez $f^{(k)}(x)$ oznaczamy pochodną rzędu $k$ funkcji $f(x)$.

Twierdzenie Taylora nosi nazwę od angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opracował je w 1712 roku. Samą własność wcześniej odkrył James Gregory – dokonał tego w 1671 roku.

Czytaj dalej

Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

Wyróżnione

„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka.
To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″
🙂

Hipersześcian i Hiperkula - rzut

Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania liczby wymiarów na dokonywane pomiary. Jak w zależności od liczby wymiarów zmienia się powierzchnia i objętość kuli? Analogicznie – jak zmienia się maksymalna odległość pomiędzy wierzchołkami kostki? Obiecuję – odpowiedzi będą zaskakujące 🙂

Możesz mieć wrażenie, że to wyłącznie abstrakcyjne rozważania. Czy na pewno? Ja w zasadzie na co dzień analizuję Klientów opisanych szeregiem miar. Poszukiwanie podobieństw, skupień, segmentów czy „najbliższych sąsiadów” niemal w całości opiera się na wielowymiarowej metryce euklidesowej. Zapraszam do pogłębienia wiedzy w tym obszarze:-) Zapewniam – warto!

Czytaj dalej

Zero Silnia – czyli dlaczego 0!=1?

Wyróżnione

Artykuł „Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus?” cieszy się ogromnym zainteresowaniem (np. w piątek 21.10.2016 został pobity rekord, mianowicie tylko w tym jednym dniu 350 unikalnych użytkowników zapoznało się z treścią wpisu). Będąc świadomym, że dla wielu z Was ważne jest zrozumienie motywacji stojącej za podstawowymi definicjami, postanowiłem rozpocząć nowy cykl „Dlaczego?”. Nowa seria skupi się na powszechnie znanych zagadnieniach, których wyjaśnienie nie jest już takie oczywiste. 🙂 Dziś na tapet idzie zero silnia! Przedstawię kilka argumentacji – w tym coś dla mniej i coś dla bardziej zaawansowanych! Będzie hardcorowo 🙂

Zero silnia równa się jeden / 0!=1

Silnia – definicja

Czytaj dalej

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-18: Zmarli na COVID względem wieku + wskaźnik ryzyka

W Polsce nie są publikowane dane o wieku osób chorych na COVID. Minister Zdrowia przekazuje jedynie informacje o wieku osób które zmarły z powodu COVID. W związku z tym nie jest możliwe wyznaczenie śmiertelności w zależności od grup wiekowych. Mimo to, zestawiając dostępne dane z rozkładem wieku w całej populacji Polski, możliwe jest wyznaczenie wskaźnika pokazującego o ile razy jest większe / mniejsze ryzyko śmierci z powodu COVID (w danej grupie wiekowej) w porównaniu do ryzyka śmierci w całej populacji.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-16: brak spadku liczby nowych dziennych zachorowań

Na dzień 16 kwietnia liczba zachorowań w Polsce to 7918 i nadal rośnie w tempie około 400. Krzywa została spłaszczona, jednak konieczne jest doprowadzenie do systematycznego spadku nowych przypadków w ujęciu dziennym. Dla ułatwienia oceny załączam krzywe Austrii i Czech.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-15: Śmiertelność vs Gęstość zakażeń

Koronawirus jest cały czas w ofensywie. W trakcie kilku ostatnich dni sytuacja Polski nie uległa zmianie. Liczba zachorowań na COVID to 7582 i nadal rośnie w tempie około 400 dziennie. Na świecie potwierdzono już 2 miliony zakażeń, a Belgia została nowym liderem w smutnym wyścigu śmiertelności. Są jednak pozytywne sygnały płynące z niektórych krajów (Austria, Norwegia, Dania, Czechy) pokazujące, że możemy kontrolować rozprzestrzenianie się choroby.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-13: Śmiertelność vs Gęstość zakażeń

Poziom śmiertelności jest typem wskaźnika, który może pokazać na ile przeciążona jest służba zdrowia. Pojemność służby zdrowia powinna być pochodną wielkości kraju. Uwzględniając powyższe prezentuję zestawienie odsetka śmiertelności wśród chorych na COVID względem gęstości choroby w przeliczeniu na milion mieszkańców.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-12: Dobry wynik Polski i Portugalii

Polska wykazuje pewne oznaki stabilizacji. Z drugiej strony Portugalia to przykład jak łatwo jest ponownie wzrosnąć. Nie wiem z czego dokładnie wynika ten jednodniowy ogromny skok – mimo to budzi obawę. Z pewnością nie jest to czas na łagodzenie ograniczeń. Mam nadzieję, że kilka dni po świętach Wielkiej Nocy, w Polsce nie odnotujemy negatywnych zmian w krzywej COVID.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Powolny wzrost, jednak brak wyraźnych oznak zmian trendu: Polska, Irlandia, Szwajcaria, Rumunia

Kilka ostatnich dni w Polsce to stabilizacja liczby potwierdzonych nowych zachorowań (około 400 przypadków dziennie). Polska, pomimo szeregu podjętych działań, nie osiągnęła jeszcze dziennego szczytu. Epidemia w naszym kraju charakteryzuje się powolnym przyrostem, jednak kształt krzywej nadal wykazuje cechy wzrostu wykładniczego. Sytuacja w niektórych krajach uległa znacznej poprawie.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Istotna poprawa utrzymana przez kilka – kilkanaście dni: Austria, Norwegia, Czechy, Szwajcaria

Austria, Norwegia, Czechy i Szwajcaria stanowczo ograniczyły rozwój choroby. Odpowiadające tym krajom krzywe wzrostu przedstawiają „wypadnięcie” z trendu wykładniczego – stan powielony przez kilka – kilkanaście dni.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Umiarkowana poprawa w trakcie ostatnich 2-3 dni: Włochy, Niemcy, Hiszpania, Portugalia

We Włoszech, Niemczech i Hiszpania nadal identyfikuje się wielu nowych chorych. Mimo to, dzienne przyrosty przestały rosnąć – to bardzo dobry znak, który daje nadzieję na powolne wygaszenie pandemii.  Dużo zależy od odpowiedzialnego zachowania społeczeństw. Pomimo poprawy, wiele ograniczeń jest nadal utrzymywanych. Podobną efekty osiągnęła Portugalii, choć tu skala zachorowań jest znacznie mniejsza.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Duże wzrosty oraz wyraźnie negatywna prognoza: Stany Zjednoczone, Wielka Brytania, Francja oraz Rosja

Stany Zjednoczone, Wielka Brytania oraz Francja to duże liczby chorych oraz duże dzienne wzrosty – to przekłada się na zdecydowanie negatywną prognozę rozwoju sytuacji. Do tego grona dołącza również Rosja – tu nadał łączna liczba chorych nie jest bardzo duża, jednak tempo i kształt wzrostu są bardzo niepokojące.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-08: Poprawa sytuacji utrzymana w dłuższym czasie: Chiny, Korea Południowa

Chiny i Korea Południowa dosyć szybko przerwały wzrost wykładniczy. Chiny niemal całkowicie zatrzymały rozprzestrzenianie się wirusa. W przypadku Korei mam do czynienia z „pełzającą epidemią”.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Stany Zjednoczone to ponad 25% wszystkich zakażonych na świecie

W dniu 5 kwietnia 2020 w Stanach Zjednoczonych potwierdzono ponad 335 tys. zachorowań na COVID, co stanowi 26% całości chorych na świecie. Populacja USA to 331 milionów mieszkańców, co stanowi 4% populacji światowej. Liczba chorych w USA nadal znacząco rośnie.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Liczba chorych na milion mieszkańców

W początkowym etapie rozwoju epidemii, porównywanie krajów pod względem liczby chorych na milion mieszkańców, nie ma większego sensu. Obecnie dochodzimy do takiego punktu, gdzie tego typu zestawienia będą pokazywały pewne prawdziwe zależności. Na dzień 5 kwietnia 2020 roku na COVID zachorowało średnio 161 osób na milion mieszkańców globu (zachorowanie potwierdzone). W Polsce wskaźnik ten wyniósł 107.

CZYTAJ DALEJ >>

Koronawirus RAPORT: Analiza z dnia 2020-04-05: Stabilizacja dynamiki pandemii w Portugalii

Jako pracownik Banku Millennium mam wielu przyjaciół pochodzących z Portugalii. Portugalia o dwa dni wcześniej niż Polska potwierdziła pierwsze zachorowania na własnym terenie. Portugalia to znacznie mniejszy kraj, jednak tempo rozwoju epidemii było i nadal jest tam istotnie wyższe niż to obserwowane w Polsce. Po kilku dniach bardzo wyraźnych wzrostów, dzienne zmiany są obecnie na stabilnym poziomie (od początku kwietnia około 700 – 800 nowych zachorowań dziennie). To dobra informacja! Portugalia wdrożyła szereg restrykcji, bardzo podobnych do tych w naszym kraju, jednak kilka dni później.

CZYTAJ DALEJ >>