W „matematyce w obrazkach” ponownie grafika wykonana na bazie Atraktora Lorenza – to bardzo wdzięczny motyw! Oto Sowa Lorenzowa 🙂 Chcesz zobaczyć poprzednie grafiki? Kliknij tutaj. Pozdrowienia, Mariusz Gromada
„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala. – Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy! – Nie boję się, jestem $e^x$. I tak spokojna $e^x$ została. Wpada operator. – Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr! – A proszę bardzo – jestem $e^x$ – nic mi nie… Read More O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ
Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę $e$, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego. $$e\approx 2.718\ldots$$ Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów „o liczbie… Read More O liczbie e – Część 1 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Procent składany
Grafika wykonana na bazie Atraktora Lorenza – świetne wzbogacenie cyklu „Matematyka w obrazkach” 🙂 Polecam poniższą animację – 500 tysięcy ciasno upakowanych cząstek rozchodzi się w chaos. Cząstki to punkty z rozkładu Gaussa z odchyleniem standardowym 0.01. W miarę upływu czasu cząstki podążają za dynamiką Lorenza. Zajrzyj również tutaj: Matematyka w obrazkach #16 – Mathistopheles – Atraktor Lorenza 🙂 Pozdrowienia,… Read More Matematyka w obrazkach #25 – Duch – Atraktor Lorenza 🙂
Inne posty z cyklu „Matematyka w obrazkach”. Pozdrowienia, Mariusz Gromada
Wszystkiego najlepszego w Dniu Liczby $\pi$ 🙂 Inne posty w cyklu „Matematyka w obrazkach”. Pozdrowienia, Mariusz Gromada
Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa – fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie „dlaczego” tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco… Read More Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?
Standaryzacja zmiennej losowej $X$ to proces jej „normalizacji”, którego wynikiem jest taka zmienna losowa $Z$, że $$\text{E}Z=0$$ $$\text{Var}(Z)=1$$ Standaryzację łatwo wyobrazić sobie jako działanie, które obywa się w dwóch krokach: adekwatne „przesunięcie” zmiennej – tu chodzi o uzyskanie zerowej miary położenia, którą jest wartość oczekiwana (wartość średnia) zmiennej odpowiednia „zmiana skali wartości” zmiennej – w… Read More Standaryzacja gęstości oraz dystrybuanty (+ odwrotnej) rozkładu prawdopodobieństwa
Prelekcja wygłoszona w dniu 25.04.2017 podczas Konferencji Big Data – Bigger opportunities – zapraszam. Omówione zagadnienia: Analityka Predykcyjna Model Predykcyjny Confusion Matrix / Macierz błędu Strategie doboru punktu odcięcia Ocena jakości klasyfikacji Krzywa zysku Krzywa Lift Krzywa ROC i wskaźnik Giniego Krzywa Zysku vs ROC – równoważność? Modele teoretycznie idealne Pozdrowienia, Mariusz Gromada
Agnostycyzm – bliska mi postawa. Świetnie to wyjaśnia genialny fizyk – Leonard Susskind. Inne posty w cyklu „Matematyka w obrazkach”. Pozdrowienia, Mariusz Gromada
Dziś głównym bohaterem cyklu „Matematyka w obrazkach” jest drapieżna funkcja odwrotna 🙂 Pozdrowienia, Mariusz Gromada
Inverse Transform Sampling to typowy sposób generowania liczb pseudolosowych z zadanego rozkładu, który opiera się na funkcji odwrotnej $F^{-1}$ do dystrybuanty $F$ tego rozkładu. Procedura jest banalna, wystarczy wylosować $Y\sim U(0,1)$ i zwrócić $F^{-1}(Y)$. Niestety nie zawsze łatwe jest wyznaczenie jawnej postaci dystrybuanty, tym bardziej dotyczy to funkcji do niej odwrotnej. Dla przykładu – powszechny… Read More MaCDRG-yver – czyli generacja liczb pseudolosowych na bazie zadanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa
Rozkład jednostajny na odcinku $(0,1)$, chyba najprostszy z możliwych rozkładów ciągłych, z pozoru niezbyt interesujący, a jednak 🙂 Dziś ciekawostka wiążąca rozkład sumy rozkładów jednostajnych z liczbą Eulera e. Rozkład jednostajny ciągły na odcinku (a,b) Rozkład jednostajny ciągły na odcinku $(a,b)$ jest opisany poniższą funkcją gęstości. $$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a}&&\text{dla }a\leq x\leq b\\0&&\text{w p.p.}\end{cases}$$ Pisząc $X\sim U(a,b)$ oznaczamy,… Read More Liczba e ukryta w sumie rozkładów jednostajnych
W nawiązaniu do liczb pierwszych, którym poświęcony był wczorajszy wpis „Liczba π ukryta w liczbach pierwszych”, prezentuję postać z uniwersum Transfomers. Szanowni Czytelnicy – w cyklu „Matematyka w obrazkach” – „Jego Królewska Mość” – Optimus Prime – przywódca Autobotów 🙂 Pozdrowienia 🙂 Mariusz Gromada
Liczba $\pi$ ukryta w liczbach pierwszych? Jak to możliwe? Przecież liczby pierwsze to „chaos”, a $\pi$ ma ścisły związek z najbardziej regularnym obiektem geometrycznym – tzn. z okręgiem / kołem. Czym jest $\pi$? $\pi$ to stosunek obwodu koła do jego średnicy. $\pi$ to pole powierzchni koła o promieniu $1$. $\pi$ to połowa obwodu koła o… Read More Liczba π (Pi) ukryta w liczbach pierwszych
„Co to jest różniczka? – zapytano matematyka. Różniczka to wyniczek odejmowanka – odpowiedział” 🙂 Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór… Read More Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych
W cyklu „Matematyka w obrazkach” – nowe logo MathSpace.pl Motywacja Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o „Geometrii fraktalnej” – wpis „Fraktalne oblicze natury”. „Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących… Read More Matematyka w obrazkach #19 – Oko Mandelbrota
„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka. To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″ 🙂 Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania… Read More Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej
Pizza Infinito w cyklu „Matematyka w obrazkach” – smacznego 🙂 Pozdrowienia, Mariusz Gromada
Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator) Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie. Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako: $${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$$ Przykłady $${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$$ $${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$$ $${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$ $${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂 Tetrację… Read More Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza
Kontynuując przeglądanie strony, wyrażasz zgodę na używanie przez nas plików cookies. więcej informacji
Aby zapewnić Tobie najwyższy poziom realizacji usługi, opcje ciasteczek na tej stronie są ustawione na "zezwalaj na pliki cookies". Kontynuując przeglądanie strony bez zmiany ustawień lub klikając przycisk "Akceptuję" zgadzasz się na ich wykorzystanie.