Egzotyczna hiperkula - czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

"Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? - zapytano matematyka.
To proste - odpowiedział - wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4"
🙂

Hipersześcian i Hiperkula - rzut

Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę - a przez to wydawałoby się - bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania liczby wymiarów na dokonywane pomiary. Jak w zależności od liczby wymiarów zmienia się powierzchnia i objętość kuli? Analogicznie - jak zmienia się maksymalna odległość pomiędzy wierzchołkami kostki? Obiecuję - odpowiedzi będą zaskakujące 🙂

Możesz mieć wrażenie, że to wyłącznie abstrakcyjne rozważania. Czy na pewno? Ja w zasadzie na co dzień analizuję Klientów opisanych szeregiem miar. Poszukiwanie podobieństw, skupień, segmentów czy "najbliższych sąsiadów" niemal w całości opiera się na wielowymiarowej metryce euklidesowej. Zapraszam do pogłębienia wiedzy w tym obszarze:-) Zapewniam - warto!

Przestrzeń kartezjańska \mathbb{R}^n

Przestrzeń euklidesowa R^n

Przestrzeń kartezjańska \mathbb{R}^n to przestrzeń współrzędnych rzeczywistych

(x_1, x_2, \ldots, x_n)\in\mathbb{R}^n

z określoną metryką

d(\mathbb{x},\mathbb{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}

gdzie

\mathbb{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)\in\mathbb{R}^n

\mathbb{y}=(y_1, y_2, \ldots, y_n)\in\mathbb{R}^n

Można powiedzieć, że metryka euklidesowa to pewna forma twierdzenia Pitagorasa.

Hipersześcian

Dla uproszczenia zdefiniujemy hipersześcian o długości boku a, którego jeden z wierzchołków to punkt 0, a inne wierzchołki składają się ze współrzędnych nieujemnych.

Hipersześcian o boku długości a to zbiór punktów

\mathbb{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)\in\mathbb{R}^n

Spełniających zależność

\begin{cases}0\leq x_1\leq a\\0\leq x_2\leq a\\ \cdots\\0\leq x_n\leq a\end{cases}

Hipersześcian - wymiar od 1 do 4

Odcinek powstaje z "przesunięcia" punktu w dodatkowym nowym wymiarze. Kwadrat powstaje z odcinka poprzez "przesunięcie" odcinka w dodatkowym nowym wymiarze. Kostka powstaje z kwadratu poprzez przesunięcie kwadratu w dodatkowym nowym wymiarze. W tym postępowaniu uwidacznia się zależność rekurencyjna.

Hiperkula

Hiperkula to uogólnienie pojęcia kuli na n-wymiarów przy rozważaniu punktów w przestrzeni euklidesowej \mathbb{R}^n. Ponownie, dla uproszczenia, założymy, że środkiem kuli jest punkt 0.

Hiperkula o promieniu r to zbiór punktów

\mathbb{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)\in\mathbb{R}^n

Spełniających zależność

d(0,\mathbb{x})=\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}\leq r

Hiperkula - wymiar od 1 do 4

Odcinek powstaje z "przesunięcia" punktu w dodatkowym nowym wymiarze. Koło powstaje z odcinka poprzez "przesunięcie" odcinka (jednocześnie odcinek zmienia długość) w dodatkowym nowym wymiarze. Kula powstaje z koła poprzez przesunięcie koła (jednocześnie koło zmienia promień) w dodatkowym nowym wymiarze. Ponownie w tym postępowaniu uwidacznia się zależność rekurencyjna, którą niebawem wykorzystamy.

Przydatna całka \displaystyle\int_{-r}^r\Big(r^2-x^2\Big)^y dx

Wszelkie niezbędne wzory będę wyznaczał korzystając z elementarnych całek. W okręgach, kołach, kulach często pojawiają się równania postaci (r^2-x^2)^y. Poniżej wyznaczę ogólny i pomocny wzór na całkę oznaczoną:

\displaystyle\int_{-r}^r\Big(r^2-x^2\Big)^y dx=\displaystyle\int_{-r}^r\Bigg[r^2\bigg(1-\Big(\frac{x}{r}\Big)^2\bigg)\Bigg]^y dx=

=r^{2y}\displaystyle\int_{-r}^r\bigg[1-\Big(\frac{x}{r}\Big)^2\bigg]^y dx=

={\scriptsize\begin{bmatrix}\frac{x}{r}=\sin t && t = \arcsin\frac{x}{r}\\x=r\sin t && t_{-r}=\arcsin\frac{-r}{r}=\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\\dx=r\cos t dt && t_r=\arcsin\frac{r}{r}=\arcsin(1)=\frac{\pi}{2}\end{bmatrix}}=

=r^{2y}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\Big(1-\sin^2t\Big)^y r\cos t dt=

=r^{2y+1}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2y}t\cos t dt=

=r^{2y+1}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2y+1}t dt

Teraz skorzystamy z poniższej formuły redukcyjnej

\displaystyle\int\cos^nxdx=\frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x+\frac{n-1}{n}\displaystyle\int\cos^{n-2}xdx

Z wyprowadzeniem powyższego wzoru można zapoznać się np. w filmie "Calculus - Reduction Formula for Powers of Cosine".

Podstawiając otrzymujemy

\displaystyle\int_{-r}^r\Big(r^2-x^2\Big)^y dx=

=\frac{r^{2y+1}}{2y+1}\Bigg(\Big[\cos^{2y}t\sin t\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}+2y\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2y-1}t dt\Bigg)=

={\scriptsize\frac{r^{2y+1}}{2y+1}\Bigg(\cos^{2y}\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{2}-\cos^{2y}\big(-\frac{\pi}{2}\big)\sin\big(-\frac{\pi}{2}\big)+2y\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2y-1}t dt\Bigg)}=

=\frac{r^{2y+1}}{2y+1}\Bigg(0\cdot 1-0\cdot\big(-1\big)+2y\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2y-1}t dt\Bigg)=

=\frac{2y}{2y+1}r^{2y+1}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2y-1}t dt

Ostatecznie

{\small\displaystyle\int_{-r}^r\Big(r^2-x^2\Big)^y dx=\frac{2y}{2y+1}r^{2y+1}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2y-1}t dt}

Jest to wzór warty zapamiętania 🙂

Uogólnienie wzoru na objętość kuli

W uogólnieniu wzoru na objętość kuli n-wymiarowej pomaga zrozumienie zależności rekurencyjnej (pisałem o tym definiując hipersześcian i hiperkulę), dosyć oczywistej gdy się rozważa postać i objętość kuli krok po kroku, tzn. zaczynając od wymiaru 1, przechodząc przez wymiary 2 i 3.

Objętość kuli o wymiarze n = 1

Można powiedzieć, że kula o wymiarze 1 (czyli odcinek) powstaje z przesunięcia punktu (który ma wymiar 0), wzdłuż nowego wymiaru X w zakresie x\in[-R,R]

Kula - wymiar 1

{\Large V_R^{\dim 1}=2R}

Objętość kuli o wymiarze n = 2

Mając odcinek (kulę o wymiarze 1), przesuwając go wzdłuż nowego wymiaru X w zakresie x\in[-R,R], dostosowując jednocześnie jego długość (czyli promień kuli o wymiarze 1), otrzymujemy koło - tzn. kulę o wymiarze 2.

Kula - wymiar 2

V_R^{\dim 2}=\displaystyle\int_{-R}^R V_{r(x)}^{\dim 1}dx=

=\displaystyle\int_{-R}^R 2r(x)dx=2\displaystyle\int_{-R}^R \Big(R^2-x^2\Big)^\frac{1}{2}dx=...

Stosujemy wcześniej wyprowadzony wzór dla y=\frac{1}{2}

...=2\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{2\cdot\frac{1}{2}+1}R^{2\cdot\frac{1}{2}+1}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2\cdot\frac{1}{2}-1}t dt=

=2\frac{1}{2}R^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^0t dt=

=R^2\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}dt=R^2\Big[t\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}=

=R^2\Big(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\Big)=\pi R^2

{\Large V_R^{\dim 2}=\pi R^2}

Objętość kuli o wymiarze n = 3

Procedura jest analogiczna. Przesuwając koło (czyli kulę o wymiarze 2) wzdłuż nowego wymiaru X w zakresie x\in[-R,R], jednocześnie zmieniając odpowiednio promień koła, otrzymujemy kulę o wymiarze 3.

Kula - wymiar 3

V_R^{\dim 3}=\displaystyle\int_{-R}^R V_{r(x)}^{\dim 2}dx=

=\displaystyle\int_{-R}^R \pi r^2(x)dx=\pi\displaystyle\int_{-R}^R \Big(\sqrt{R^2-x^2}\Big)^2dx=

=\pi\displaystyle\int_{-R}^R \big(R^2-x^2\big)dx=...

Jak widać jest to całka zupełnie elementarna, nie ma konieczności stosowania wcześniej wyprowadzonego wzoru. Ja to jednak uczynię aby potwierdzić, że poprzednio otrzymana formuła jest prawdziwa w każdym przypadku 🙂

Stosując elementarną całkę

...=\pi\Bigg(\Big[R^2x\Big]_{-R}^R-\Big[\frac{x^3}{3}\Big]_{-R}^R\Bigg)

=\pi\Bigg(\Big[R^2R-R^2(-R)\Big]-\frac{R^3-(-R^3)}{3}\Bigg)=

\pi\bigg(2R^3-\frac{2R^3}{3}\bigg)=\pi\bigg(\frac{6R^3}{3}-\frac{2R^3}{3}\bigg)=\pi\frac{4R^3}{3}

{\Large V_R^{\dim 3}=\frac{4}{3}\pi R^3}

Stosując wcześniej wyprowadzony wzór dla y=1

...=\pi\displaystyle\int_{-R}^R \big(R^2-x^2\big)^1dx=

=\pi \frac{2\cdot 1}{2\cdot 1+1}R^{2\cdot 1+1}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2\cdot 1-1}t dt=

=\pi \frac{2}{3}R^3\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos t dt=\pi \frac{2}{3}R^3\Big[\sin t\Big]_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}=

=\pi \frac{2}{3}R^3\Big(\sin\frac{\pi}{2}-\sin(-\frac{\pi}{2})\Big)=\pi \frac{2}{3}R^3\Big(1-(-1)\Big)=

=\pi \frac{2}{3}R^3\big(2\big)=\frac{4}{3}\pi R^3

{\Large V_R^{\dim 3}=\frac{4}{3}\pi R^3}

Objętość kuli o wymiarze n - uogólnienie

Na bazie przypadków 1, 2, 3 wymiarowych ujawniła się procedura rekurencyjna pozwalająca tworzyć hiperkulę wymiaru n z hiperkuli wymiary n-1. Zwyczajnie "przesuwamy" hiperkulę wymiaru n-1 w nowym wymiarze X w zakresie x\in[-R,R], dostosowując jej promień r(x)=\sqrt{R^2-x^2}, gdzie R jest niezmiennym promieniem hiperkuli.

{\small V_R^{\dim n}=\begin{cases}2R&\text{dla}\quad n=1\\ \displaystyle\int_{-R}^R V_{r(x)=\sqrt{R^2-x^2}}^{\dim n-1}dx&\text{dla}\quad n>1\end{cases}}

Objętość kuli o wymiarze n = 4

V_R^{\dim 4}=\displaystyle\int_{-R}^R V_{r(x)}^{\dim 3}dx=

=\displaystyle\int_{-R}^R\frac{4}{3}\pi r^3(x)dx=\frac{4}{3}\pi\displaystyle\int_{-R}^R \Big(R^2-x^2\Big)^\frac{3}{2}dx=...

Stosujemy wzór dla y=\frac{3}{2}

...=\frac{4}{3}\pi\frac{2\cdot\frac{3}{2}}{2\cdot\frac{3}{2}+1}R^{2\cdot\frac{3}{2}+1}\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^{2\cdot\frac{3}{2}-1}t dt=

=\frac{4}{3}\pi\frac{3}{4}R^4\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2t dt=

=\pi R^4\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2t dt=...

Całkę \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2t dt możemy oczywiście liczyć, ale łatwiej i szybciej zauważyć, że

\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2t+\sin^2tdt=\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}dt=\pi

i że połowa tego "prostokąta" przypada dla \displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2t dt, zatem

\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2t dt=\frac{\pi}{2}

Podstawiając do

...=\pi R^4\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\cos^2t dt=\pi R^4\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{2}R^4

{\Large V_R^{\dim 4}=\frac{\pi^2}{2}R^4}

Hiperkula wpisana w hipersześcian

Wyznaczyliśmy, że:

  • dla 1 wymiaru V_R^{\dim 1}=2R
  • dla 2 wymiarów V_R^{\dim 2}=\pi R^2
  • dla 3 wymiarów V_R^{\dim 3}=\frac{4}{3}\pi R^3
  • dla 4 wymiarów V_R^{\dim 4}=\frac{\pi^2}{2}R^4

5-ty i większy wymiar można wyznaczyć analogicznie, poniżej podam gotowe wzory opublikowane na Wikipedii.

  • dla 5 wymiarów V_R^{\dim 5}=\frac{8}{15}\pi^2R^5
  • dla 6 wymiarów V_R^{\dim 6}=\frac{\pi^3}{6}R^6
  • dla 7 wymiarów V_R^{\dim 7}=\frac{16}{105}\pi^3R^7
  • dla 8 wymiarów V_R^{\dim 8}=\frac{\pi^4}{24}\pi^8R^5
  • dla 9 wymiarów V_R^{\dim 9}=\frac{32}{945}\pi^4R^9
  • dla 10 wymiarów V_R^{\dim 10}=\frac{\pi^5}{120}\pi^2R^{10}
  • ...
  • dla n wymiarów V_R^{\dim n}=\frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}R^n

Jeśli krawędź n-wymiarowego hipersześcianu ma długość a, to jego objętość wynosi a^n. Promień hiperkuli wpisanej w hipersześcian będzie stanowił połowę długości krawędzi hipersześcianu, tzn. R=\frac{a}{2}.

Zadziwiające, objętość kuli wpisanej w hipersześcian "znika" wraz ze wzrostem liczby wymiarów, i ten zanik postępuje na prawdę szybko!!

Aby wyjaśnić ten fenomen należy zauważyć, że wraz ze wzrostem liczby wymiarów rośnie odległość "po przekątnej" do wymiarów, przy jednoczesnym zachowaniu odległości wzdłuż wymiarów. Maksymalna długość "przekątnej" w hipersześcianie jednostkowym (o krawędzi długości 1) będzie równa \sqrt{n}, gdzie n oznacza liczbę wymiarów. Wynika to bezpośrednio z zaaplikowania metryki do wierzchołków \mathbb{0}=(0,0,\ldots,0) i \mathbb{1}=(1,1,\ldots,1).

W konsekwencji objętość hipersześcianu kumuluje się w okolicach jego wierzchołków, zaś kula wpisana leży w jego środku stykając się ze wszystkimi jego ścianami.

Objętość hiperkuli jednostkowej

Kolejna ciekawostka kryje się w objętości hiperkuli jednostkowej (o promieniu 1). Okazuje się, że ta objętość jest najwyższa dla 5 wymiarowej przestrzeni.

Objętość hiperkuli jednostkowej - zależność od liczby wymiarów

Do liczby wymiarów n=5 objętość hiperkuli jednostkowej rośnie, w 5-tym wymiarze osiąga maksimum, powyżej 5-tego wymiaru objętość systematycznie spada, w granicy osiągając wartość 0.

Ciekawostka: jeśli rozważyć powierzchnię hiperkuli n-wymiarowej (czyli hipersfery n-1 wymiarowej) to powierzchnia będzie najwyższa dla hipersfery 6-wymiarowej, czyli hiperkuli 7-wymiarowej. Powyżej 7 wymiaru powierzchnia zaczyna spadać z granicą w nieskończoności równą 0.  Powierzchnię hiperkuli można wyznaczyć poprzez pochodną objętości względem promienia.

Na koniec

Przestrzenie wielowymiarowe, nawet te z bardzo intuicyjną metryką, skrywają wiele tajemnic. Dziś odkryliśmy tylko kilka 🙂 Mam nadzieję, że Wam się podobało!

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada