Matematyka w obrazkach #17 - Pitagoras vs Einstein

Po dłuższej przerwie zaczynam od czegoś lekkiego - dziś w cyklu "Matematyka w obrazkach" pojedynek geometrii euklidesowej ze szczególną teorią względności 🙂

Pitagoras vs Einstein

Ciekawostki o pewnych równoważnościach:

  • Twierdzenie Pitagorasa jest równoważne z V aksjomatem geometrii euklidesowej, (tzw. Postulatem Euklidesa, inaczej postulatem równoległości).
  • E=mc^2 wywodzi się ze szczególnej teorii względności opracowanej przez Alberta Einsteina przedstawiając dwa różne typy równoważności masy i energii:
    • Równoważność masy i energii spoczynkowej.
    • Równoważność masy relatywistycznej (choć to sztuczny termin i relikt - masa jest jedna!) i energii całkowitej.
  • Ogólna teoria względności jest uogólnieniem szczególnej teorii względności. Korzysta ona między innymi z metod geometrii nieeuklidesowej (np. stwierdzenie, że siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni). Zatem, w pewnym sensie, powyższy pojedynek to starcie między geometrią euklidesową a geometrią nieeuklidesową 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Views All Time
Views All Time
1296
Views Today
Views Today
2

10 myśli nt. „Matematyka w obrazkach #17 - Pitagoras vs Einstein

  1. Lokalnie czasoprzestrzeń jest płaska ! czyli sprowadza się do STW. Krzywizna jest własnością globalną. Literki oznaczające zmienne kompletnie nie mają znaczenia :/ . E=mc^2 wyraża niezmiennik kwadratu czteropędu i jest nim pewna stała, którą fizycznie interpretujemy jako masę. Po jego rozpisaniu widać co oznacza. W układzie gdzie przestrzenna część pędu jest zero otrzymuje się równoważność E^2 = m^2 natomiast w przypadku ogólnym po rozwinięciu w szereg otrzymuje się to co istotne czyli wyraz wolny oraz Newtonowską relacje E = p^2/2m. Poza tym warto wspomnieć, że fizycy często korzystają z jednostek gdzie c = 1.

    • Dzięki za ciekawy komentarz 🙂 W kwestii literek - artykuły z cyklu "Matematyka w obrazkach" są pisane z "przymrużeniem oka" 🙂 Lokalna vs globalna - nigdy nie wiadomo gdzie przebiega granica - tzn. albo jest krzywizna, albo jej nie ma 🙂 Może być zaniedbywalna, ale matematycznie tam jest 🙂 'c=1' da się bardziej kompletnie interpretować, bo to nie o prędkość światła w 'c' chodzi, ale o "przyczynowo-skutkowość".

      Pozdrowienia

      • 😀 przymrużenie rozumiem (wiem wiem czepiam się ). Lokalnie krzywizna nie jest zaniedbywalna - nie ma jej bo to własność globalna - Odpowiednie tensory wypowiadają się na ten temat. Co do prędkości światła to nie rozumiem co masz na myśli ale zapewne chodzi o to, że najważniejsze że jest skończona (duża w porównaniu do codziennych prędkości ale skończona). W fizyce Newtona także jest przyczynowość i skutkowość (a raczej skutek). Pozdrawiam serdecznie i powodzenia w zgłębianiu Fizyki

        • To ciekawe co piszesz, widać muszę wejść głębiej. Nie sądziłem, że lokalnie krzywizny w ogóle nie ma - bo jeśli masa zakrzywia czasoprzestrzeń, to lokalnie też, ale widać jest tam jakiś "myk".

          Co do "c=1" - nie wiem czy dobrze myślę, ale dla mnie prędkość światła to prędkość z jaką wszystko podróżuje w czasoprzestrzeni. Ruch w czasoprzestrzeni przebiega "w dwóch" wymiarach (uproszczenie) - tzn. w czasie i w przestrzeni. Jeśli brak ruchu w składowej czasu, to wtedy na maksa ruch na osi przestrzeni. Jeśli brak ruchu w składowej przestrzeni, to na maksa ruch w składowej czasu. Jeśli "skręcamy" zarówno w czas i w przestrzeń, ruch w czasie zwalnia, ruch w przestrzeni przyspiesza, ale ruch w czasoprzestrzeni jest stały. Zatem wszystko w czasoprzestrzeni podróżuje z "tą samą prędkością" - dobrze kombinuję?

          • Prędkość światła to nie prędkość z jaką wszystko podróżuje w czasoprzestrzeni - Ty się tak nie poruszasz w żadnym układzie odniesienia ;). Prędkość światła to prędkość fali elektromagnetycznej w próżni - Czasoprzestrzeń to nie jest w całości próżnia ( to chyba oczywiste - przecież ktoś pisze tego bloga). Stała c o tyle jest istotna, że możesz z tej jednej stałej określić jednostkę czasu i przestrzeni (jedna stała i te dwie pozornie różne wielkości). Ruch to zmiana położenia w (zmianie czasu) czasie. Stąd nie ma sensu pojęcie ruchu tylko w przestrzeni a w czasie nie. Twój problem jest taki, iż ruch jest w Twoim pojęciu czymś absolutnym - albo się porusza albo nie. A Fizyka mówi, że to zależy od wyboru układu odniesienia z tym, że oprócz translacji i obrotów możesz jeszcze wybrać układ poruszający się ze stałą prędkością w stosunku do Twojego układu - i wsyzstkie te układy są równoważne. Czyli nie ma absolutnego spoczynku - jak zmienię układ to coś coś nie poruszało może się poruszać - To wyjaśnia dlaczego rzut poziomy i ukośny mają ten sam czas spadania (różnią się tylko o stałą prędkość w jednym kierunku (x) ).

        • Znalazłem ciekawe wyjaśnienie - chyba

          "You are mistaking being 'curved' with non-vanishing Ricci curvature. The former which is your first intuitive notion of curvature is in fact extrinsic curvature, whilst the Ricci curvature is intrinsic. For example, a cylinder is flat in the Ricci sense, but you see it as 'curved' if say, you fold a piece of paper. This corresponds to non-vanishing extrinsic curvature given by the divergence of the normal."

          Czy to miałeś na myśli?

          • A widzisz ... czyli jednak byłem mało precyzyjny 🙂 Dzięki bardzo za zmuszenie do przypomnienia sobie tematu bardziej dokładnie. Znalazłem opis bardziej fizyczny https://pl.wikipedia.org/wiki/Ogólna_teoria_względności (mimo, iż nie trawię wiki ) . Natomiast http://www.astrouw.edu.pl/~mj/PozaGalaktyczna/W09.pdf jest slajd o krzywiznie w pomiarach - sądzę, że właśnie odpowiednie wskazanie tensorów mówi sporo co i jak. Nawet jeśli mam masę (np. Ziemię) to lokalnie wybieram tylko otoczenie gdzie wszystko jest płaskie (dlatego Ziemię postrzegamy żyjąc na niej jako płaską - po prostu widzimy "lokalnie". Ogólnie warto zacząć od podstaw fizycznych i geometrycznych - czyli -Fizyka nie zależy od wyboru układu odniesienia. Oprócz układów prostoliniowych mamy układy krzywoliniowe - i w tym już mamy trochę grawitację (polecam https://www.youtube.com/watch?v=u20qbOIAtyI ) . Ruchy prostoliniowe to takie ze stałą prędkością (bez przyśpieszenia). Ze względu na wektorowość prędkości jakakolwiek zmiana kierunku to przyśpieszenie ! czyli krzywizna. Sądzę, że najlepszym rozwiązaniem będzie spokojna lektura https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf bo do opowiadania dużo.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *