Matematyka w obrazkach #17 - Pitagoras vs Einstein

Po dłuższej przerwie zaczynam od czegoś lekkiego - dziś w cyklu "Matematyka w obrazkach" pojedynek geometrii euklidesowej ze szczególną teorią względności 🙂

Pitagoras vs Einstein

Ciekawostki o pewnych równoważnościach:

  • Twierdzenie Pitagorasa jest równoważne z V aksjomatem geometrii euklidesowej, (tzw. Postulatem Euklidesa, inaczej postulatem równoległości).
  • E=mc^2 wywodzi się ze szczególnej teorii względności opracowanej przez Alberta Einsteina przedstawiając dwa różne typy równoważności masy i energii:
    • Równoważność masy spoczynkowej i energii spoczynkowej.
    • Równoważność masy relatywistycznej i energii całkowitej.
  • Ogólna teoria względności jest uogólnieniem szczególnej teorii względności. Korzysta ona między innymi z metod geometrii nieeuklidesowej (np. stwierdzenie, że siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni). Zatem, w pewnym sensie, powyższy pojedynek to starcie między geometrią euklidesową a geometrią nieeuklidesową 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

Wszyscy doskonale znają twierdzenie Pitagorasa, jednak już znaczna mniejszość jest świadoma jego bardzo ciekawego uogólnienia, wyrażonego poniższym schematem.

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

Samo uogólnienie nie ogranicza się do półkoli, jest prawdziwe dla całej klasy kształtów pozostających w relacji podobieństwa, gdzie skale podobieństwa są wyrażone długościami boków trójkąta prostokątnego.

Uogólnione twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trzy figury, względem siebie podobne, posiadają pola powierzchni odpowiednio A, B i C, oraz istnieje figura do tych trzech podobna w takich skalach podobieństwa a, b i c, że a² + b² = c² to A + B = C.

Dowód: Załóżmy, że pole figury podobnej do wskazanych trzech wynosi P. Wiemy, że pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa (poza fraktalami 🙂 ale o nich tu nie mówimy), zatem:

A = P·a²            B = P·b²            C = P·c²

Wtedy

A + B = P·a² + P·b² = P(a² + b²) = P·c² = C

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada