Wszyscy doskonale znają twierdzenie Pitagorasa, jednak już znaczna mniejszość jest świadoma jego bardzo ciekawego uogólnienia, wyrażonego poniższym schematem.
Samo uogólnienie nie ogranicza się do półkoli, jest prawdziwe dla całej klasy kształtów pozostających w relacji podobieństwa, gdzie skale podobieństwa są wyrażone długościami boków trójkąta prostokątnego.
Uogólnione twierdzenie Pitagorasa
Jeśli trzy figury, względem siebie podobne, posiadają pola powierzchni odpowiednio A, B i C, oraz istnieje figura do tych trzech podobna w takich skalach podobieństwa a, b i c, że a² + b² = c² to A + B = C.
Dowód: Załóżmy, że pole figury podobnej do wskazanych trzech wynosi P. Wiemy, że pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa (poza fraktalami, gdzie z reguły ciężko wskazać te o niezerowym polu – ale o nich tu nie mówimy), zatem:
A = P·a² B = P·b² C = P·c²
Wtedy
A + B = P·a² + P·b² = P(a² + b²) = P·c² = C
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Super!
Dzięki!