Analiza matematyczna, Ciekawostki, Matematyka

O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala. – Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy! – Nie boję się, jestem $e^x$.  I tak spokojna $e^x$ została. Wpada operator. – Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr! – A proszę bardzo – jestem $e^x$ – nic mi nie… Read More O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Analiza matematyczna, Ciekawostki, Historia matematyki, Matematyka

O liczbie e – Część 1 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Procent składany

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę $e$, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego. $$e\approx 2.718\ldots$$ Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów „o liczbie… Read More O liczbie e – Część 1 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Procent składany

Analiza matematyczna, Geometria, Matematyka

Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

Pole powierzchni figur płaskich podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa – fakt nauczany już w szkole podstawowej. Dziś zadajemy pytanie „dlaczego” tak jest? O ile uzasadnienie dla najprostszych typów figur jest banalne (wynika bezpośrednio ze wzorów na pole), to w przypadku powierzchni ograniczonej dowolną krzywą (no może nie do końca dowolną) potrzeba już nieco… Read More Kwadrat skali podobieństwa – dlaczego tak właśnie zmienia się pole powierzchni figur płaskich podobnych?

Geometria, Matematyka

Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

$P=\pi r^2$ to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu „Dlaczego?” 🙂 Do dzieła! 🙂 Pole powierzchni koła – wzór $$P=\pi… Read More Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

Geometria, Matematyka

Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

Jestem pewien, że wzór na pole powierzchni trójkąta, tj. $P=\frac{1}{2}ah$, jest znany niemal wszystkim 🙂  Dzieci, będąc we wczesnym wieku szkolnym, poznają podstawy geometrii, w tym długości obwodów i pola powierzchni figur płaskich. Jeśli interesuje cię dlaczego pole powierzchni trójkąta zależy od długości jego podstawy i wysokości na nią opadającej, to jest to wpis dla… Read More Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

Ciekawostki, Kombinatoryka, Matematyka, Teoria mnogości

Zero Silnia – czyli dlaczego 0!=1?

Artykuł „Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus?” cieszy się ogromnym zainteresowaniem (np. w piątek 21.10.2016 został pobity rekord, mianowicie tylko w tym jednym dniu 350 unikalnych użytkowników zapoznało się z treścią wpisu). Będąc świadomym, że dla wielu z Was ważne jest zrozumienie motywacji stojącej za podstawowymi definicjami, postanowiłem rozpocząć nowy cykl… Read More Zero Silnia – czyli dlaczego 0!=1?

Arytmetyka, Ciekawostki, Matematyka, Teoria liczb

Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus

Z pewnością każdy wie, że wynikiem mnożenia liczb ujemnych jest liczba dodania. Formułka „minus razy minus daje plus” była nam wtłaczana do głów w trakcie wczesnych lat szkolnych. Nauczyciele zapomnieli jednak wyjaśnić dlaczego tak właśnie jest, oraz przybliżyć motywację matematyków definiujących arytmetykę liczb ujemnych. Mnożenie jako skrócone dodawanie Mówi się, że mnożenie to skrócone dodawanie,… Read More Mnożenie liczb ujemnych – czyli dlaczego minus razy minus daje plus