Liczby naturalne $\mathbb{N}$
Początki matematyki to liczby naturalne $\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}$, czyli narzędzie służące do opisu liczności (np. trzy elementy) lub do podawania kolejności (np. trzecia osoba). Z biegiem czasu do liczb wprowadzono pierwsze działania – dodawanie i mnożenie. Z łatwością można wykazać, że liczby naturalne są zamknięte ze względu na dodawanie i mnożenie – jednak nim przejdziemy dalej – wyjaśnię w kilku słowach co to tak naprawdę oznacza.
Zamkniętość zbioru ze względu na działanie
Rozważmy dowolny zbiór $A$ oraz dwuargumentowe działanie $a*b$ określone na elementach $a, b \in A$.
Mówimy, że zbiór $A$ jest zamknięty ze względu na działanie $*$ jeśli dla dowolnych $a, b \in A$ istnieje $c \in A$, że $c=a*b$.
Inaczej mówiąc, zbiór jest zamknięty ze względu na dane działanie jeśli wszystkie możliwe wyniki wskazanego działania (na elementach rozważanego zbioru) są również elementami tego zbioru. W analogi do dodawania i mnożenia liczb naturalnych możemy stwierdzić, że suma dwóch liczb naturalnych jest liczbą naturalną, a w konsekwencji mnożenie dwóch liczb naturalnych daje także wynik w liczbach naturalnych.
$$\Big(\mathbb{N}, +, \times\Big)$$
Wraz z rozwojem matematyki wprowadzano kolejne działania, które ujawniły „niekompletność” zbioru liczb naturalnych.
Liczby całkowite $\mathbb{Z}$ jako „domknięcie” odejmowania „-„
Wprowadzenie odejmowania pokazało, że liczby naturalne nie są zamknięte ze względu na to działanie. Dla wielu liczb naturalnych wynik odejmowania jest liczbą naturalną, jednak istnieje równie wiele przykładów uzasadniających wniosek przeciwny, np.:
$$2-5 = -3 \notin \mathbb{N}$$
Uzupełniając liczby naturalne o liczby do nich przeciwne oraz 0 otrzymujemy liczby całkowite $\mathbb{Z}=\{\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\}$ zamknięte również ze względu na odejmowanie.
$$\Big(\mathbb{Z}, +, \times,-\Big)$$
Liczby wymierne $\mathbb{Q}$ jako „domknięcie” dzielenia $\frac{\cdot}{\cdot}$
Liczby wymierne wyrażając proporcję (stosunek) pomiędzy wielkościami powstają z ilorazu dwóch liczb całkowitych.
Każdą liczbę wymierną można zapisać jako ułamek, tzn. $\mathbb{Q}=\Big\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb{Z},n\neq 0\Big\}$ gdzie $m, n$ są liczbami całkowitymi, a $n$ jest różne od 0.
I choć dla części liczb naturalnych ich iloraz jest również liczbą naturalną (np. 10 / 2 = 5), to istnieje równie wiele przypadków sytuacji odwrotnej, np.
$$\frac{1}{5}\notin\mathbb{Z}$$
Liczby wymierne są zamknięte ze względu na iloraz (z pominięciem 0 – gdyż dzielenie przez 0 nie jest określone).
$$\Big(\mathbb{Q}, +, \times,-, \frac{\cdot}{\cdot}\Big)$$
Liczby algebraiczne jako „częściowe domknięcie” pierwiastkowania $\sqrt{\cdot}$ i potęgowania ${m}^{n}$.
Już Pitagoras potrafił wykazać że długości przekątnej jednostkowego kwadratu nie da się wyrazić jako stosunku ówcześnie znanych liczb. Z twierdzenia Pitagorasa łatwo zapisujemy
$$x^2=1^2+1^2$$
$$x^2=2$$
$$x=+/-\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$$
Pierwiastek z liczby 2 nie jest liczbą wymierną, podobnie jak i $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, … Zapiszmy nieco ogólniej
$$x^2-2=0$$
Zatem pierwiastek z liczby 2 jest zerem wielomianu (pierwiastkiem wielomianu) o wymiernych współczynnikach.
Liczby algebraiczne, zdefiniowane jako rozwiązania wielomianów o wymiernych współczynnikach, są pierwszym etapem „domknięcia” liczb wymiernych.
Liczby rzeczywiste $\mathbb{R}$ jako granice ciągów liczb wymiernych.
Liczby wymierne (nawet rozszerzone o liczby algebraiczne) nie są zupełne.
Zbiór nazywamy zupełnym jeśli w zbiorze istnieje granica każdego ciągu spełniającego warunek Cauchy’ego.
Wykres ciągu Cauchy’ego – źródło wikipedia.org
Mówimy, że ciąg spełnia warunek Cauchy’ego, jeśli dla ustalonej dowolnie małej liczby, pomijając skończoną liczbę elementów ciągu, „odległość” pomiędzy pozostałymi dowolnymi dwoma elementami ciągu nie przekracza ustalonej wartości.
Dobrym i bardzo znanym przykładem jest ciąg definiujący podstawę logarytmu naturalnego
$$a_n=(1+\frac{1}{n})^n$$
Każdy element ciągu jest liczbą wymierną, gdyż powstaje z mnożenia liczb wymiernych. Ciąg ten spełnia warunek Cauchy’ego, jest zbieżny, jednak jego granica nie istnieje w liczbach wymiernych.
$$\lim a_n=e\notin\mathbb{Q}$$
Liczba e nie jest liczbą wymierną, nie jest również liczbą algebraiczną, Liczba e jest przykładem kolejnej klasy liczb „uzupełniających braki” w liczbach wymiernych.
Liczby nienależące do zbioru liczb wymiernych, które są granicami ciągów liczb wymiernych spełniających warunek Cauchy’ego, nazywamy liczbami niewymiernymi.
Niektóre z liczb niewymiernych są liczbami algebraicznymi (np. $\sqrt{2}$), jednak znaczna ich większość to liczby przestępne, czyli takie, które nie są pierwiastkiem żadnego wielomianu o współczynnikach wymiernych.
$$\Big(\mathbb{R}, +, \times,-, \frac{\cdot}{\cdot}, \lim \Big)$$
Liczby zespolone jako „domknięcie” pierwiastkowania $\sqrt{-1}$
Świat szedł do przodu, matematyka odkrywała kolejne wzory opisujące rzeczywistość. W XVI wieku ponownie napotkano problem „niezupełności” liczb i działań. Trudność pojawiła się w momencie wyprowadzania wzoru na pierwiastki wielomianu stopnia 3. Każdy wielomian stopnia 3 ma przynajmniej jedno miejsce zerowe, jednak okazało się, że konstrukcja wzoru podającego te pierwiastki wymaga założenia istnienia wartości $\sqrt{-1}$. Tak powstały liczby zespolone, których znaczenie jest dużo bardziej głębokie niż wartość $\sqrt{-1}$ oraz wzory Cardano dla równań sześciennych. Liczby zespolone to całkowicie nowy wymiar liczb, wymiar ukryty, mimo wszystko pojawiający się w niemal każdej empirycznej dziedzinie nauki z fizyką na czele…
… ale o tym w kolejnej części cyklu…
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
następnie usuwając pozostałe.
W tym momencie
Ostatecznie możliwy jest również 
