Geometryczny dowód twierdzenia Pitagorasa – sam obrazek nie stanowi formalnego dowodu, ale co tam 🙂 .
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
W pierwszych trzech częściach „Zabaw z rekurencją” skupialiśmy się na rekurencji bezpośredniej, tzn. na sytuacji, kiedy w ciele funkcji dochodzi do wywołania „siebie samej”. Przebieg rekurencji bezpośredniej jest dość oczywisty, struktura wywołania, argumenty, jak też warunek stopu, są takie same dla wszystkich odwołań.
Rekurencja pośrednia
O rekurencji pośredniej mówimy w sytuacji „łańcucha wywołań”. Przykładowo funkcja f(.) wywołuje funkcję g(.), następnie funkcja g(.) wywołuje f(.), zatem ponowne wywołanie funkcji f(.) realizowane jest bezpośrednio przez funkcję g(.),jednak pośrednio przez f(.), gdyż to f(.) wywołała g(.).
Długość łańcucha nie musi być ograniczona, w rzeczywistości wywołania pośrednie mogą mieć nietrywialną strukturę, mogą „cofać się” do poprzednich elementów, „iść na skróty”, „rozdzielać się”, a w szczególności może dochodzić do wariantów mieszanych – tzn. wywołań bezpośrednich i pośrednich (różnego typu) w ramach jednej procedury. Dobrze to obrazuje poniższy schemat.
Aproksymacja funkcji sin(x) oraz cos(x) przy wykorzystaniu połączenia rekurencji bezpośredniej i rekurencji pośredniej
Przypomnijmy podstawowe tożsamości trygonometryczne dla wielokrotności kątów.
Zwróćmy uwagę, że znając rozwiązanie dla argumentu mniejszego $\frac{x}{2}$ możemy podać rozwiązanie dla $x$ – zatem tożsamości trygonometryczne są w istocie rekurencją z odwołaniami bezpośrednimi i pośrednimi! Funkcję $\sin(x)$ w otoczeniu $0$ można przybliżyć przez $x$, natomiast funkcję $\cos(x)$ przez stałą wartość $1$. Im mniejsze otoczenie $0$ wybierzemy tym lepsza aproksymacja w zadanym przedziale, a w konsekwencji mniejszy błąd oszacowania w całości. Przyjęte wartości w otoczeniu $0$ dają również pewny warunek stopu! Mamy więc wszystko co niezbędne do zastosowania strategii rekurencyjnej w aproksymacji.
Ustalmy stałą $a>0$ (reprezentującą otoczenie $0$), następnie definiujemy dwie funkcje rekurencyjne
Podkreślmy ponownie, że funkcja $\text{s}(x)$ wywołuje siebie bezpośrednio oraz wskazuje na funkcję $\text{c}(x)$, która, oprócz bezpośredniego wywołania siebie samej, wskazuje ponownie na $\text{s}(x)$. Jest to zatem ciekawa kombinacja rekurencji bezpośredniej z rekurencją pośrednią. Zapiszmy to w MathParser.org-mXparser.
/* Definicja funkcji rekurencyjncyh */
Constant a = new Constant("a = 0.1");
Function s = new Function("s(x) =  if( abs(x) < a, x, 2*s(x/2)*c(x/2) )", a);
Function c = new Function("c(x) =  if( abs(x) < a, 1, c(x/2)^2-s(x/2)^2 )", a);
/* Wskazanie, ze 's' korzysta z 'c', a 'c' korzysta z 's' */
s.addDefinitions(c);
c.addDefinitions(s);
Oczekujemy, że im mniejszy parametr $a>0$ tym lepsza aproksymacja funkcji $\sin(x)$ oraz $\cos(x)$ przez odpowiednio $\text{s}(x)$ oraz $\text{c}(x)$. Poniżej wykresy dla $a=0.5$ oraz $a=0.01$.
Wniosek – proste zapisy rekurencyjne dają złożone wyniki! 🙂
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Dziś ciekawostka w nawiązaniu do wpisu z dnia 20 października 2015 roku „Liczba PI ukryta w zbiorze Mandelbrota”, ujawniająca nietrywialne powiązanie liczby $\pi$ z prędkością ucieczki do nieskończoności przy zbliżaniu się punktu startu iteracji do „ostrza” zbioru Mandelbrota. Brzmi trochę skomplikowanie? Poniżej wyjaśnienie 🙂
Zbliżanie się do „ostrza” zbioru Mandelbrota
Rozważmy równanie rekurencyjne dla liczb rzeczywistych
Powyższe wyrażenie powstaje na bazie równania (w liczbach zespolonych) opisującego zbiór Mandelbrota
$$z_n=z_{n-1}^2+c$$
Ograniczając się do prostej rzeczywistej (dlatego użyłem zapisu $x_n$) przeanalizujmy zachowanie $x_n$ przy zbliżaniu się elementu $x_1=\frac{1}{4}+\epsilon$ do „ostrza” (ang. „cusp”) zbioru – ostrze to punkt o współrzędnych $(\frac{1}{4},0)$.
Szybkość ucieczki do nieskończoności
Ustalając odpowiednio małe $\epsilon>0$ decydujemy jak bardzo chcemy się zbliżyć do „ostrza”. Teraz zadanie polega na znalezieniu pierwszego $n$, dla którego $x_n>=2$. Takie minimalne $n$ jest dobrą miarą prędkości ucieczki $x_n$ do nieskończoności w zależności od wybranego $\epsilon$. Na marginesie dodam, że zbiór Juli dla równania Mandelbrota (na powyższym obrazku oznaczony kolorem czarnym), reprezentuje punkty „nieuciekające” do nieskończoności w trakcie nieskończonej iteracji . Ta tematyka jest sama w sobie bardzo ciekawa i zapewne kiedyś coś napiszę o atraktorach.
WOW! Jaki super wzorzec liczby wymaganych iteracji, aby przekroczyć 2! Dostajemy coś, co przypomina $\pi$, jednak wymaga postawienia „przecinka” w odpowiednim miejscu!Można również zauważyć, że 100-krotne zmniejszenie $\epsilon$ zwiększa niezbędną liczbę iteracji około 10-krotnie. Zmniejszając $\epsilon$ otrzymujemy liczbę coraz bardziej „przypominającą” $\pi$ 🙂
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Okres średniowiecza, kobieta winna uprawiania magii, kara straszna – spalenie na stosie! Nadszedł dzień, tłum gawiedzi, czarownica na stosie, płomienie, wiedźma krzyczy – więcej drewna! Więcej drewna! Tłum zdziwiony, mimo wszystko spełnia ostatnie życzenie opętanej. Wiedźma nie przerywa – jeszcze więcej drewna! Więcej drewna! Z oddali dobiega nagły i stanowczy sprzeciw – STOP! Czarownica chce przepełnić stos!
🙂
Czym jest rekurencja?
Zazwyczaj o rekurencji myślimy jako o procesie podziału zadania na mniejsze, następnie podziału na jeszcze mniejsze, i jeszcze mniejsze … dochodząc do zadań, dla których rozwiązanie jest znane. Od tego momentu zaczyna się składanie „mniejszych” rozwiązań w „większe”, następnie tych większych w jeszcze większe, … i w jeszcze większe … kończąc na rozwiązaniu zadania początkowego. Dla przykładu zapiszmy funkcję n! w postaci rekurencyjnej.
Podane wyżej przykłady zapisów rekurencyjnych (n!, suma n-pierwszych wyrazów ciągu, ciąg Fibonacciego) są tak naprawdę rekurencyjną realizacją pętli „for” – znamy przecież dokładnie liczbę niezbędnych operacji do wykonania, a i same operacje są raczej łatwe oraz czytelne – zatem zagnieżdżenie ich w pętli „for” nie powinno spowodować utraty przejrzystości kodu.
Poszukiwanie rozwiązania – czyli rekurencja w roli pętli „While/Until”
W metodach numerycznych często stosuje się strategie rekurencyjne – w takiej sytuacji, będąc w kroku $n$, weryfikujemy czy propozycja rozwiązania $n$ spełnia kryterium stopu (np. jakość oszacowania), jeśli tak – kończymy z rozwiązaniem $n$, jeśli nie – przechodzimy do badania propozycji rozwiązania $n+1$. Procedurę rozpoczynamy od kroku 0 (zerowego).
Przykład: znając definicję silni chcemy znaleźć pierwsze $n$, dla którego $n! >= 100$ – takie zadanie formalnie możemy zapisać jako:
/* Definicja funkcji rekurencyjnej */
Function S = new Function("S(n) = if( n! < 100, S(n+1), n )"); /* Obliczenia i wyświetlenie wyniku */ System.out.println( "Pierwsze n, że n! >= 100 to n = " + S.calculate(0) );
+ wynik:
Pierwsze n, że n! >= 100 to n = 5.0
Rekurencja bezpośrednia
Wszystkie omawiane wyżej typy rekurencji polegają na wywołaniu z ciała funkcji „siebie samej”, dlatego należą do bardziej ogólnej klasy nazywanej rekurencją bezpośrednią.
Wydajność
Implementacje na bazie rekurencji są bardzo czytelne, o często minimalnym rozmiarze kodu. Jednak coś za coś – tracimy bardzo dużo na złożoności obliczeniowej (powtarzane operacje, dzielenie zadań, operacje na stosie) oraz wymogach pamięci (głównie struktura stosu) – to właśnie dlatego czarownica błagała o drewno – licząc na przerwanie procesu z tytułu przepełnienia stosu 🙂
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Wpis z dnia 6 listopad 2015 „Precyzja liczby Pi a obwód obserwowalnego Wszechświata” zawierał nieco zaskakującą informację na temat rozmiaru Obserwowalnego Wszechświata – tzn. podałem, że promień Obserwowalnego Wszechświata wynosi obecnie około 46 miliardów lat świetlnych, co się wydaje być w niezgodzie z wiekiem Wszechświata szacowanym na 13,8 miliarda lat. Pokusiłem się wtedy o kilkuzdaniowe wyjaśnienie różnicy, teraz wracam do tematu prezentując materiał z serwisu YouTube, który w jasny i przejrzysty sposób ilustruje zagadnienia: rozmiaru Wszechświata (nie tylko w odniesieniu do jego obserwowalnej części), centrum Wszechświata oraz stożków świetlnych. Gorąco polecam!
„Radius of Observable Universe” (+ polskie napisy) od Khan Academy
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Alexander J. Yee i Shigeru Kondo w grudniu 2013 roku wyznaczyli liczbę Pi z dokładnością do ponad 12 bilionów cyfr – zdumiewająca precyzja! Dalszych obliczeń zaniechano w związku z wyczerpaniem się przestrzeni dyskowej. W poniższym tekście chciałbym przybliżyć co tak wielka dokładność może oznaczać w praktyce.
Obwód obserwowalnego Wszechświata
Rozważmy rozmiar Obserwowalnego Wszechświata zadając pytanie jakiej precyzji liczby Pi potrzeba do wyznaczenia jego obwodu z dokładnością rzędu 1 atomu wodoru? Promień walencyjny wodoru to 37 pm = 3.7×10 ‾¹¹ m. Rozmiar Obserwowalnego Wszechświata to suma odległości jaką światło przebyło od momentu Wielkiego Wybuchu (13.8 miliarda lat świetlnych) oraz dystansu, o jaki oddaliły się (przez ten okres) najodleglejsze galaktyki. Obecnie szacowana średnica Obserwowalnego Wszechświata to 92 miliardy lat świetlnych.
Promień obserwowalnego Wszechświata
Promień rzędu 46 miliardów lat świetlnych zdaje się sugerować, że oddalanie się galaktyk musiało się odbywać z prędkością większą niż prędkość światła. „Oddalanie się galaktyk” to uproszczenie myślowe – faktyczne oddalanie się jest konsekwencją ekspansji Wszechświata, która to jest rozszerzaniem się przestrzeni. Wielki Wybuch jest momentem rozpoczęcia ekspansji, czyli początkiem rozszerzania się przestrzeni. Fotony, które teraz obserwujemy, „leciały” do nas 13.8 miliarda lat, ale w momencie kiedy „startowały” to punkt startu i punkt docelowy były znacznie bliżej siebie. Wraz z podróżą fotonu przestrzeń się rozszerzała sprawiając, że przebyta droga była dłuższa, jak i dłuższa (niż początkowo) jest droga jeszcze „do przebycia”. Niezgodność z zasadą niemożliwości przekroczenia prędkości światła jest w tym przypadku pozorna, gdyż to sama przestrzeń (i jej współrzędne) się rozszerzają, co jest wyrażone w odpowiednim zakrzywieniu czaso-przestrzeni opisywanej w Ogólnej Teorii Względności. O samej prędkości światła też jest wygodniej myśleć jako o prędkości „przyczynowo-skutkowości”, wtedy łatwiej jest zrozumieć idee stożków świetlnych, etc. A jeszcze lepiej przyjąć c = 1 🙂
Rok świetlny w przybliżeniu to $9.46 \times 10^{15} m$
46 miliardów lat świetlnych w przybliżeniu to $4.35 \times 10^{26} m$
Obwód koła o takim promieniu to około $2.73 \times 10^{27} m$
Zatem dokładność o rząd mniejszą niż rozmiar atomu wodoru uzyskamy przy wykorzystaniu 27 + 11 + extra 1 = 39 cyfr liczby Pi.
To niesamowite, że jedynie 39 cyfr liczby Pi wystarczy do osiągnięcia tak niezwykłej dokładności obliczeń dla obrzeży Obserwowalnego Wszechświata – 39 (=3.141592653589793238462643383279502884197) z poznanych 12 bilionów!
Na zakończenie filmik od Numberphile przedstawiający wyżej opisany problem.
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Benoit Mandelbrot(1924-2010) – twórca geometrii fraktalnej, „właściciel” prawdopodobnie najsławniejszego zbioru w matematyce – urodził się w Polsce! Przyszedł na świat w roku 1924 w Warszawie. Był dzieckiem rodziny żydowskiej, która w roku 1936 wyemigrowała do Francji, co prawdopodobnie ocaliło ich życie. Mandelbrot we Francji dołączył do swojego stryja – Szolema Mandelbrojta, również polskiego matematyka, ucznia Jacques’a Hadamarda i członka grupy Burbakiego – to Szolem wprowadził Benoit’a w świat matematyki. Mandelbrot miał niesamowitą zdolność rozwiązywania problemów poprzez wizualizację, co w tamtych czasach było niespotykane (np. grupa Burbakiego propagowała podejście niemal wyłącznie analityczne).
Zapraszam do obejrzenia wywiadu, którego Mandelrbrot udzielił dla bigthink.com.
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Wszyscy doskonale znają twierdzenie Pitagorasa, jednak już znaczna mniejszość jest świadoma jego bardzo ciekawego uogólnienia, wyrażonego poniższym schematem.
Samo uogólnienie nie ogranicza się do półkoli, jest prawdziwe dla całej klasy kształtów pozostających w relacji podobieństwa, gdzie skale podobieństwa są wyrażone długościami boków trójkąta prostokątnego.
Uogólnione twierdzenie Pitagorasa
Jeśli trzy figury, względem siebie podobne, posiadają pola powierzchni odpowiednio A, B i C, oraz istnieje figura do tych trzech podobna w takich skalach podobieństwa a, b i c, że a² + b² = c² to A + B = C.
Dowód: Załóżmy, że pole figury podobnej do wskazanych trzech wynosi P. Wiemy, że pole powierzchni figur podobnych zmienia się z kwadratem skali podobieństwa (poza fraktalami, gdzie z reguły ciężko wskazać te o niezerowym polu – ale o nich tu nie mówimy), zatem:
A = P·a² B = P·b² C = P·c²
Wtedy
A + B = P·a² + P·b² = P(a² + b²) = P·c² = C
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
W 17 wieku Newton i Leibniz skonstruowali podstawy rachunku różniczkowego i całkowego. Ich logika opierała się na wykorzystaniu wielkości nieskończenie małej w celu wyznaczenia powierzchni pod krzywą daną równaniem funkcji. Podejście to zakładało istnienie niezerowego elementu nieskończenie małego. Filozof Leibniz poszedł dalej, gdyż ponadto uważał, że cały świat jest zbudowany z tzw. monad, czyli z substancji, które nie mają żadnej postaci, ponieważ są niepodzielne, nie mogą być ani wytworzone ani unicestwione.
Jeszcze przed naszą erą Grecy z sukcesem stosowali metodę wyczerpywania do wyznaczenia pól powierzchni figur geometrycznych. Metoda ta wykorzystywała granice, nie wykorzystywała natomiast wielkości nieskończenie małej. Jednak z metody wyczerpywania wyrosła zasada Cavalieriego, odkryta przez Archimedesa, służąca do wyznaczania objętości brył, która opierała się na argumentacji wielkości niepodzielnej.
Wielkość nieskończenie mała a skala Plancka
Intuicja podpowiada, że wielkość nieskończenie mała powinna być ekstremalnie mała, ale o niezerowym rozmiarze. W świecie praktycznym byłaby to np. wielkość mniejsza od najmniejszej teoretycznie możliwej wielkości do zmierzenia. Np. skala Plancka w fizyce dostarcza teoretycznej granicy pomiaru – nie ma możliwości skonstruowania przyrządu pomiarowego z błędem mniejszym niż skala Plancka, co nie oznacza, że poniżej skali Plancka nic nie istnieje.
Wielkość nieskończenie mała – cykl filmów od Numberphile
Zapraszam do ciekawego cyklu filmów przygotowanych przez Numberphile na temat wielkości nieskończenie małych.
I na koniec jeszcze ciekawostka od MinutePhysics – Proof Without Words: The Circle.
W 1924 roku Stefan Banach i Alfred Tarski sformułowali i udowodnili paradoksalne twierdzenie teorii mnogości o takim podziale jednej kuli na kilka części (skończoną ich liczbę), aby z powstałych elementów można było „skleić” dwie kule o identycznych parametrach jak ta wyjściowa. Podczas operacji „sklejania” wykorzystali jedynie obroty i przesunięcia, bez rozciągania, czy też innych operacji zmieniających kształt! Czyżby matematyka znalazła naukowe uzasadnienie dla Cudownego rozmnożenia chleba w Galilei? Jeśli chcesz poznać odpowiedź polecam film przygotowany przez Vsauce
Jak zwykle zachęcam do dyskusji i komentarzy 🙂
Pozdrowienia,
Mariusz Gromada
Poza Liczbami: Inne Twórcze Przestrzenie
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury
Matematyka i muzyka są ściśle powiązane przez rytm, harmonię i struktury, które wykorzystują matematyczne wzory i proporcje do tworzenia estetycznych i emocjonalnych doznań. Z nieśmiałą ekscytacją przedstawiam moją pierwszą poważniejszą kompozycję, w której starałem się uchwycić te połączenia.
Scalar – zaawansowana aplikacja mobilna z silnikiem matematycznym mojego autorstwa
Skalar - kalkulator, funkcje, wykresy i skrypty - Made in Poland
Skalar to potężny silnik matematyczny i matematyczny język skryptowy, który zbudowany jest na bazie MathParser.org-mXparser
Kliknij na wideo i zobacz Skalara w akcji 🙂
Scalar Lite – wersja lite
Scalar Pro – wersja profesjonalna
Kontynuując przeglądanie strony, wyrażasz zgodę na używanie przez nas plików cookies. więcej informacji
Aby zapewnić Tobie najwyższy poziom realizacji usługi, opcje ciasteczek na tej stronie są ustawione na "zezwalaj na pliki cookies". Kontynuując przeglądanie strony bez zmiany ustawień lub klikając przycisk "Akceptuję" zgadzasz się na ich wykorzystanie.