— Analiza matematyczna, Matematyka, Rachunek różniczkowy i całkowy —

Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

22 września 2017
Rozwinięcie funkcji cosinus w szereg Taylora / Maclaurina

„Co to jest różniczka? – zapytano  matematyka. Różniczka to wyniczek odejmowanka – odpowiedział” 🙂 Wzór Taylora to jeden z elementów, które stanowią esencję rachunku różniczkowego i całkowego. Oto, w magiczny sposób, na bazie sekwencji informacji o funkcji, dotyczących tylko jednego jej wybranego punktu, możliwe jest bardzo precyzyjne odtworzenie zmienności funkcji w pobliżu ustalonego punktu. Wzór… Read More Genialny wzór Taylora – czyli o informacji zakodowanej w pochodnych

— Ciekawostki —

Dobry start po wakacjach!

12 września 2017
Start po wakacjach 2017

Jak na załączonym obrazku 🙂 Dzienna liczba czytelników MathSpace.pl przekracza 250, przed wakacjami oscylowała w granicach 100. Pozdrawiam Was matematycznie 🙂 $${\Huge B>\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i}$$ Mariusz Gromada

— Ciekawostki, Matematyka —

Matematyka w obrazkach #19 – Oko Mandelbrota

4 września 2017
Oko Mandelbrota

W cyklu „Matematyka w obrazkach” – nowe logo MathSpace.pl Motywacja Motywując postać nowego logo przytoczę cytaty, którymi posłużyłem się otwierając serię o „Geometrii fraktalnej” – wpis „Fraktalne oblicze natury”. „Geometria fraktalna sprawi, że inaczej spojrzysz na świat. Ostrzegam – zgłębianie tej wiedzy wiąże się z niebezpieczeństwem. Ryzykujesz utratę części wyobrażeń z dzieciństwa – szczególnie tych dotyczących… Read More Matematyka w obrazkach #19 – Oko Mandelbrota

— Geometria, Matematyka —

Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

3 września 2017
Kula - wymiar 3

„Jak oczami wyobraźni zobaczyć 4 wymiary? – zapytano matematyka. To proste – odpowiedział – wystarczy wyobrazić sobie n-wymiarów i podstawić n=4″ 🙂 Dzisiejszy wpis poświęcę pomiarom odległości, powierzchni i pojemności w przestrzeniach wielowymiarowych. N-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dostarcza dosyć oczywistą metrykę – a przez to wydawałoby się – bardzo intuicyjną. To wrażanie jest jednak mylne, co łatwo pokazać analizując wpływ zwiększania… Read More Egzotyczna hiperkula – czyli o pomiarach w przestrzeni wielowymiarowej

— Ciekawostki, Matematyka, Teoria liczb —

Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza

27 sierpnia 2017
Nieskończone potęgowanie

Tetracja (wieża wykładnicza, super-potęgowanie, iterowane potęgowanie, 4 hiper-operator) Tetracja to działanie dwuargumentowe definiowane jako wielokrotne potęgowanie elementu przez siebie. Definicja: dla dowolnej liczby rzeczywistej $a>0$ i nieujemnej liczby całkowitej $n\geq 0$ tetrację $n$ liczby $a$ definiujemy jako: $${^{n}a}=\begin{cases}1&\text{dla}\quad n=0\\a&\text{dla}\quad n=1\\ \underbrace{a^{a^{\cdots^{a}}}}_{n}&\text{dla}\quad n>1\end{cases}$$ Przykłady $${^{3}2}=2^{2^2}=2^{(2^2)}=2^4=16$$ $${^{4}2}=2^{2^{2^2}}=2^{(2^{(2^2)})}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$$ $${^{3}3}=3^{3^3}=3^{(3^3)}=3^{27}=7625597484987$$ $${^{4}3}=3^{3^{3^3}}=3^{(3^{(3^3)})}=3^{(3^{27})}=3^{7625597484987}=\ldots$$ liczba składająca się z $$3638334640025$$ cyfr 🙂 Tetrację… Read More Tetracja i nieskończona wieża wykładnicza

— Ciekawostki, Fizyka, Matematyka —

Matematyka w obrazkach #17 – Pitagoras vs Einstein

13 sierpnia 2017
Pitagoras vs Einstein

Po dłuższej przerwie zaczynam od czegoś lekkiego – dziś w cyklu „Matematyka w obrazkach” pojedynek geometrii euklidesowej ze szczególną teorią względności 🙂 Ciekawostki o pewnych równoważnościach: Twierdzenie Pitagorasa jest równoważne z V aksjomatem geometrii euklidesowej, (tzw. Postulatem Euklidesa, inaczej postulatem równoległości). $E=mc^2$ wywodzi się ze szczególnej teorii względności opracowanej przez Alberta Einsteina przedstawiając dwa różne typy… Read More Matematyka w obrazkach #17 – Pitagoras vs Einstein

— Programowanie —

MathSpace.pl – kilkumiesięczna przerwa w publikacjach

11 czerwca 2017
mXparser - logo

Ostatni post opublikowałem w dniu 27.02.2017, był to wpis na temat wskaźnika Giniego. Minął już ponad kwartał i być może niektórzy z Was są zainteresowani „dlaczego chwilowo wyciszyłem swoją aktywność”. Otóż – nie wyciszyłem 🙂 Poniżej wyjaśniam o co chodzi. https://github.com/mariuszgromada   MathParser.org-mXparser Od ponad 3 miesięcy intensywnie rozwijam projekt MathParser.org-mXparser. Przez ten okres: Przygotowałem release… Read More MathSpace.pl – kilkumiesięczna przerwa w publikacjach

— Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna —

Wskaźnik Giniego na bazie wartości oczekiwanej – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 19)

27 lutego 2017
Wartość oczekiwana dla klasy pozytywnej

W trakcie minionej nocy, około godziny 02:00, miałem nagły przebłysk 🙂 Jakoś tak, nie wiem dlaczego, przypomniałem sobie pewną zależność dla wartości oczekiwanej zmiennej losowej o wartościach nieujemnych. Zdałem sobie sprawę, że na tej podstawie, jestem w stanie opracować twierdzenie dotyczące wskaźnika Giniego (dla modelu predykcyjnego), dające elegancką postać oraz łatwe narzędzie jego estymacji. Wzór,… Read More Wskaźnik Giniego na bazie wartości oczekiwanej – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 19)

— Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna —

TPR i FNR na bazie Liftu Skumulowanego – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 18)

26 lutego 2017
TPR i FNR na bazie Liftu Skumulowanego

Część #18 cyklu „Ocena jakości klasyfikacji” to pogłębienie interpretacji krzywej Liftu Skumulowanego – mam wrażenie, że to już ostatni wpis z serii „Tips & Tricks na krzywych”. TPR (Captured Response) i FNR na bazie Liftu Skumulowanego Dla modelu idealnego krzywa liftu skumulowanego przyjmuje następującą postać: $$Lift.Skum(q)=\begin{cases}\frac{1}{apriori}&\text{dla}\quad q\leq apriori\\\frac{1}{q}&\text{dla}\quad q>apriori\end{cases}$$ $q$ – kwantyl (rząd) bazy (malejąco… Read More TPR i FNR na bazie Liftu Skumulowanego – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 18)

— Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna —

PPV i FDR na bazie TPR (Captured Response) – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 17)

26 lutego 2017
PPV i FDR na bazie TPR - Captured Response

W części #17 cyklu „Ocena jakości klasyfikacji” wydobędę kolejne informacje z krzywej Captured Response, która, na pierwszy rzut oka, prezentuje wyłącznie TPR (True-Positive-Rate). Kontynuuję zatem serię „Tips & Tricks na krzywych”. Prawdopodobieństwo skumulowane (PPV, PRECISION) na bazie TPR czyli Captured Response Dla modelu idealnego krzywa Captured Response ma postać $$Capt.Resp(q)=\begin{cases}\frac{q}{apriori}&\text{dla}\quad q\leq apriori\\1&\text{dla}\quad q>apriori\end{cases}$$ $q$ – kwantyl… Read More PPV i FDR na bazie TPR (Captured Response) – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 17)

— Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna —

„Sympatyczny” punkt przecięcia – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 16)

20 lutego 2017
TPR vs Precision

Do napisania 16 części cyklu „Ocena jakości klasyfikacji” zainspirował mnie Kolega i dawny współpracownik! Michał – dzięki za „hint” 🙂 Dziś wskażę pewien sympatyczny punkt przecięcia, którego znajomość jest przydatna, a już z pewnością można „zaszpanować” 🙂 Wpis stanowi zdecydowane wzbogacenie serii „Tips & Tricks na krzywych”. Krzywe Captured Response (TPR) i prawdopodobieństwo skumulowane (PPV, Precision)… Read More „Sympatyczny” punkt przecięcia – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 16)

— Ciekawostki —

Personalizowany kubek MathSpace.PL :-)

19 lutego 2017
Personalizowany kubek MathSpace.PL

Kubek na bazie motywu „Matematyka w obrazkach #11 – Dobre argumenty to podstawa”. Kubek wygląda świetnie 🙂 Personalizacja kubka Imię / nick / … w chmurce; Dedykowany wzór / formuła w chmurce; Jak otrzymać kubek? Warunki, które musisz spełnić: Polubienie profilu MathSpace.PL na Facebooku lub Twitterze lub subskrypcja newslettera; Przesłanie wiadomości (Facebook, Twitter, mail) o… Read More Personalizowany kubek MathSpace.PL 🙂

— Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna —

Dwie klasy, ale jeden wskaźnik Giniego – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 15)

13 lutego 2017
Wskaźnik Giniego dla klasy pozytywnej + Wskaźnik Giniego dla klasy negatywnej 0

Dziś zadałem sobie pytanie: jak mają się do siebie wskaźniki Giniego, gdyby je osobno zdefiniować dla klasy pozytywnej „tzn. klasy 1” oraz klasy negatywnej „tzn. klasy 0”? Odpowiedź uzyskałem, czego efektem jest 15 część cyklu „Ocena jakości klasyfikacji”. Tytuł wpisu nawiązuje do faktu, że separację dwóch klas uzyskujemy jednym (i tym) samym modelem 🙂 co poniekąd sugeruje,… Read More Dwie klasy, ale jeden wskaźnik Giniego – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 15)

— Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna —

Wskaźnik KS na bazie Captured Response / Tips & Tricks na krzywych – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 14)

12 lutego 2017
Captured Response - klasa klasa pozytywna i klasa negatywna - Statystyka KS Kołmogorowa-Smirnowa

Witaj w 14 części cyklu „Ocena jakości klasyfikacji”. Dziś rozwinę wątek oszacowania separacji klas na bazie krzywej Captured Response – będzie to kolejny odcinek z serii „Tips & Tricks na krzywych”. Statystyka KS Kołmogorowa-Smirnowa jako miara różnicy rozkładów Rozważmy dwie rzeczywiste zmienne losowe $X_1$ i $X_2$ oraz ich dystrybuanty odpowiednio $F_{X_1}$ oraz $F_{X_2}$. Statystyką Kołmogorowa-Smirnowa dla… Read More Wskaźnik KS na bazie Captured Response / Tips & Tricks na krzywych – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 14)

— Customer Intelligence, Data Mining, Matematyka, Statystyka matematyczna —

Lift nieskumulowany jako gęstość, Captured Response jako dystrybuanta – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 13)

10 lutego 2017
Lift nieskumulowany - całka

W 13 części cyklu „Ocena jakości klasyfikacji” przedstawię dodatkowe interpretacje dla krzywej liftu nieskumulowanego i krzywej Captured Response. Obiecuję, że będzie ciekawie 🙂 przecież robimy „deep dive into predictive model assessment curves”. W dzisiejszym odcinku zapomnimy o punktach odcięcia, klasyfikatorach binarnych, rozważając rozkłady populacji jako całość. Chwilkę się do tego przygotowywałem – było warto – seria „Tips… Read More Lift nieskumulowany jako gęstość, Captured Response jako dystrybuanta – czyli ocena jakości klasyfikacji (część 13)

— Geometria, Matematyka —

Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?

28 stycznia 2017
Koło - pole powierzchni - animacja

$P=\pi r^2$ to chyba najbardziej znany wzór, będący zarazem rzadko rozumianym 🙂 Choć wzór na pole powierzchni koła, bo o nim tu mowa, znany był już w Starożytnej Grecji, to jego uzasadnienie wcale nie jest łatwe. Jest to zatem świetny temat do wzbogacenia cyklu „Dlaczego?” 🙂 Do dzieła! 🙂 Pole powierzchni koła – wzór $$P=\pi… Read More Dlaczego pole powierzchni koła wynosi π·r²?