O liczbie e - Część 1 - Dlaczego jest tak "naturalna" - Procent składany

Liczba e

Funkcja wykładnicza i logarytm wprowadzane są w szkole średniej (przynajmniej tak było w moim przypadku). Zazwyczaj wtedy poznajemy liczbę e, którą magicznie nazywa się podstawą logarytmu naturalnego.

e\approx 2.718\ldots

Nazwa dobrana jest świetnie, niestety nikt nie tłumaczy dlaczego tak właściwie jest. Cała sprawa jest niezwykle ciekawa, jej wyjaśnienie to temat nowej serii artykułów "o liczbie e". Tym samym wzbogacam cykl "dlaczego?". Dowody przeprowadzę "metodą elementarną" - wszak chodzi o "pierwotność / naturalność" e. Będzie kilka dużych "odcinków" - zapraszam 🙂

Nota historyczna

Liczba e pojawia się w wielu dziedzinach. W matematyce jest wszechobecna! Z powodzeniem dorównuje liczbie \pi. Analiza matematyczna (w szczególności rachunek różniczkowy i całkowy, równania różniczkowe), funkcje specjalne, analiza zespolona, rachunek prawdopodobieństwa, statystyka matematyczna - to najbardziej wyraziste przykłady. W innych naukach ścisłych (np.: ekonomia, fizyka, biologia) liczba e pojawia się w wielu ważnych równaniach, w tym: równanie przewodnictwa cieplnego, wzór barometryczny, rozpady promieniotwórcze, fazory, funkcja falowa w mechanice kwantowejwzrost populacji, procent składany.

Pierwsze informacje na temat liczby e pojawiły się w 1618 roku. Opublikował je John Napier, przygotowując tabele logarytmów. Praca nie zawierała samej stałej, prezentowała niektóre wartości logarytmów na bazie e. Liczbę e w jej dzisiejszej postaci odkrył Jacob Bernoulli. Dokonał tego w 1683 roku analizując własności procentu składanego. Pierwsze udokumentowane wykorzystanie liczby e, wtedy oznaczanej przez b, pojawiło się w latach 1690-1691 (Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens). Wykorzystanie stałej znacząco rozwinął Leonhard Euler oznaczając ją w 1727 roku do dziś wykorzystywanym symbolem e.

Procent składany

Cytując Wikipedię - procent składany (ang. compound interest) to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego polegający na tym, że odsetki za dany okres oprocentowania są doliczane do wkładu (podlegają kapitalizacji) i w ten sposób "składają się" na zysk wypracowywany w okresie następnym. Proces kapitalizacji opisuje się odpowiednim ciągiem geometrycznym:

V_0 - kapitał początkowy

r - nominalna roczna stopa zwrotu, wyrażona w procentach (r = 0,05 dla 5% rocznej stopy zwrotu)

k - liczba lat

V_k - kapitał końcowy po k latach

Kapitalizacja roczna V_k^1=V_0(1+r)^k
Kapitalizacja półroczna V_k^2=V_0\bigg(1+\frac{r}{2}\bigg)^{2k}
Kapitalizacja kwartalna V_k^4=V_0\bigg(1+\frac{r}{4}\bigg)^{4k}
Kapitalizacja miesięczna V_k^{12}=V_0\bigg(1+\frac{r}{12}\bigg)^{12k}
Kapitalizacja n-krotna V_k^{n-krotna}=V_0\bigg(1+\frac{r}{n}\bigg)^{nk}

Oczywiście im częstsza kapitalizacja tym większy kapitał końcowy.

Naturalny wzrost

Rozważmy sytuację, gdy kapitał początkowy V_0=1 oraz roczna stopa zwrotu to 100%, tzn r=1. Załóżmy ponadto, że inwestycja potrwa 1 rok. Innymi słowy - startujemy z 1, przez okres 1 powiększamy o r=1, mierzymy kapitał końcowy dla różnych częstotliwości kapitalizacji.

V_1^n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n

Poniżej różne warianty kapitalizacji + reprezentacja graficzna w czasie.

Kapitalizacja roczna V_1^1=\bigg(1+\frac{1}{1}\bigg)^1=2
Kapitalizacja półroczna V_1^2=\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg)^2=2.25
Kapitalizacja kwartalna V_1^4=\bigg(1+\frac{1}{4}\bigg)^4\approx 2.441
Kapitalizacja miesięczna V_1^{12}=\bigg(1+\frac{1}{12}\bigg)^{12}\approx 2.613
Kapitalizacja tygodniowa V_1^{52}=\bigg(1+\frac{1}{52}\bigg)^{52}\approx 2.693
Kapitalizacja dzienna V_1^{365}=\bigg(1+\frac{1}{365}\bigg)^{365}\approx 2.715
Kapitalizacja ciągła V_1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n=e\approx 2.718

Liczba e - procent składany - okres 1

Trudno nie odnieść wrażenia, że wraz ze wzrostem częstości kapitalizacji, krzywa reprezentująca saldo w czasie x "wygładza się" i zbiega do pewnej funkcji. To zaś sugeruje, że taka granica przedstawia naturalne tempo wzrostu przy uwzględnieniu ciągłego czasu kapitalizacji, przy standardowych (naturalnych) warunkach początkowych - stan początkowy 1, tempo wzrostu 100% w 1 okresie czasu. Okazuje się, że funkcja graniczna to

{\Large e^x}

Sytuacja wygląda bardzo podobnie po dodaniu kapitalizacji na kolejne lata.

Liczba e - procent składany - okres 2

Liczba e - procent składany - okres 5

Definicja liczby e

Najczęściej liczbę e definiuje się jako granicę ciągu

e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n

Zapiszmy

e_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n

wtedy

e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}e_n

Liczba e - procent składany - ciąg e

Powyższy wykres sugeruje, że liczba e jest większa od 2.5 i mniejsza od 3.

Zbieżność ciągu e_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n

Wykażemy, że ciąg

e_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n

jest monotoniczny (w tym wypadku rosnący) i ograniczony.

Zbieżność ciągu (1+1/n)^n

Dowód monotoniczności: e_{n+1}>e_n

Korzystając z rozwinięcia w dwumian Newtona zapisujemy

e_n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}1^{n-k}\bigg(\frac{1}{n}\bigg)^k=

=\displaystyle\sum_{k=0}^n{n\choose k}\frac{1}{n^k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}=

=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{(n-k)!\Big(n-(k-1)\Big)\ldots\Big(n-(k-k)\Big)}{k!(n-k)!}\cdot\frac{1}{n^k}=

=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{\Big(n-(k-1)\Big)\ldots\Big(n-(k-k)\Big)}{n^k}=

=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{n-(k-1)}{n}\ldots\frac{n-(k-k)}{n}=

=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\displaystyle\prod_{i=1}^k\frac{n-(k-i)}{n}=

=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\displaystyle\prod_{i=1}^k\Bigg(1-\frac{k-i}{n}\Bigg)=

=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\displaystyle\prod_{i=1}^{k-1}\Bigg(1-\frac{i}{n}\Bigg)

Porównując kolejne wyrazy ciągu e_n

e_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\displaystyle\prod_{i=1}^{k-1}\Bigg(1-\frac{i}{n}\Bigg)

e_{n+1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\frac{1}{k!}\displaystyle\prod_{i=1}^{k-1}\Bigg(1-\frac{i}{n+1}\Bigg)

łatwo zauważyć, że

1-\frac{i}{n+1}>1-\frac{i}{n}

ponadto e_{n+1} (w stosunku do e_n) zawiera jeden dodatkowy element sumy. Tym samy stwierdzamy, że

e_{n+1}>e_n

Dowód ograniczenia z góry: e_n<M

Wyżej pokazaliśmy, że

e_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{\Big(n-(k-1)\Big)\ldots\Big(n-(k-k)\Big)}{n^k}=

=1+1+\displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{1}{k!}\cdot\frac{\Big(n-(k-1)\Big)\ldots\Big(n-(k-k)\Big)}{n^k}

ale dla k\geq 2 zachodzi

\frac{1}{k!}<\frac{1}{2^{k-1}}

co jest konsekwencją

k!=\underbrace{2\times 3\times\ldots\times k}_{k-1~el.}>\underbrace{2\times 2\times\ldots\times 2}_{k-1~el.}=2^{k-1}

Dodatkowo

\frac{\Big(n-(k-1)\Big)\ldots\Big(n-(k-k)\Big)}{n^k}<1

gdyż

\underbrace{\Big(n-(k-1)\Big)\ldots\Big(n-(k-k)\Big)}_{k~el.}<\underbrace{n\times n\ldots\times n}_{k~el.}=n^k

zatem

e_n<1+1+\displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{1}{2^{k-1}}\cdot 1=

=1+ \underbrace{\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}}}_{c.~geom.~q=\frac{1}{2}}

redukując sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie a_1=1 oraz q=\frac{1}{2}, otrzymujemy

e_n<1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=1+2-\frac{1}{2^{n-1}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3

e_n<3

Na mocy twierdzenia o zbieżności ciągu monotonicznego i ograniczonego stwierdzamy, że e_n jest zbieżny oraz

\displaystyle\lim_{n\to\infty}e_n=\displaystyle\sup_{n\in\mathbb{N}}\Bigg\{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Bigg\}=e\approx 2.718

Ciąg dalszy nastąpi ... w kolejnej część funkcja wykładnicza a^x i jej pochodna 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Views All Time
Views All Time
540
Views Today
Views Today
1

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *