O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Funkcja e do x (e^x)

„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.

– Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!

– Nie boję się, jestem $$e^x$$. 

I tak spokojna $$e^x$$ została. Wpada operator.

– Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!

– A proszę bardzo – jestem $$e^x$$ – nic mi nie grozi.

– Kochana, ja różniczkuję po $$dy$$”

Ten iście „nerdowski” dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii „o liczbie e”. Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty „dlaczego?” liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej $$a^x$$ 🙂

Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania

Funkcję $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ daną wzorem

$$f(x)=a^x$$ dla $$a>0$$

nazywamy funkcją wykładniczą.

Funkcja Wykładnicza

O ile potęgowanie z wykładnikiem naturalnym nie sprawia problemu, to już uogólnienie na liczby wymierne i rzeczywiste nie jest wcale trywialne. Poniżej tabela „przejścia” od potęgowania do funkcji wykładniczej.

$$a$$ – zakres $$x$$ – zakres $$a^x$$ – definicja
$$a=0$$ $$x=0$$ $$a^x=0^0=\text{symb. nieokr.}$$
$$a=0$$ $$x>0$$ $$a^x=0^x=0$$
$$a\neq 0$$ $$x=0$$ $$a^x=a^0=1$$
$$a\in\mathbb{R}$$ $$x=1$$ $$a^x=a^1=a$$
$$a\in\mathbb{R}$$ $$x=n\in\mathbb{N}$$ $$a^x=a^n=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{n}$$
$$a>0$$ $$x=\frac{1}{n}$$; $$n\in\mathbb{N}$$ $$a^x=a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}$$
$$a>0$$ $$x=\frac{m}{n}$$; $$m,n\in\mathbb{N}$$ $$a^x=a^\frac{m}{n}=$$
$$\underbrace{a^\frac{1}{n}\times a^\frac{1}{n}\times\ldots\times a^\frac{1}{n}}_{m}=$$
$$\underbrace{\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{a}\times\ldots\times\sqrt[n]{a}}_{m}=\sqrt[n]{a^m}$$
$$a>0$$ $$x>0$$ $$a^x=\displaystyle\lim_{r\to x,~r\in\mathbb{Q}}a^r=\displaystyle\sup_{r\in\mathbb{Q},~ r<x}\{a^r\}$$
istnieje $$a^x\neq 0$$ $$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$

Funkcja wykładnicza ma wiele ciekawych własności, skupię się na najważniejszych. Nie zamieszczam dowodów (są obszerne, raczej nietrudne), zainteresowanych odsyłam do: link 1, link 2, link 3, link 4.

Suma wykładników $$a^{x+y}=a^x\cdot a^y$$
Różnica wykładników $$a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$$
Iloczyn wykładników $$a^{x\cdot y}=\big(a^x\big)^y$$
Iloczyn podstaw $$(ab)^x=a^x\cdot b^x$$
Iloraz podstaw $$\Big(\frac{a}{b}\Big)^x=\frac{a^x}{b^x}$$
Ciągłość $$a^x=\displaystyle\lim_{y\to x}a^y$$
Monotoniczność, rosnąca dla $$a>1$$ $$x>y\Rightarrow a^x>a^y$$
Monotoniczność, malejąca dla $$0<a<1$$ $$x>y\Rightarrow a^x<a^y$$
Różniczkowalność, nieskończenie wiele razy $$\displaystyle\forall_{x\in\mathbb{R}}~\displaystyle\forall_{n\in\mathbb{N}}$$ istnieje $$\frac{\text{d}}{\text{d}x^n}a^x$$

Twierdzenie: funkcję wykładniczą $$a^x$$ jednoznacznie definiuje następujące równanie funkcyjne, przy założeniu, że $$a>0$$ oraz $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ jest funkcją ciągłą przynajmniej w jednym punkcie

$$(1)~~~\begin{cases}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\\f(1)=a\end{cases}$$

Szkic dowodu:

„$$f(x)=a^x\Longrightarrow(1)$$”: wynika z własności funkcji wykładniczej.

„$$f(x)=a^x\Longleftarrow(1)$$”: szkic dowodu w kilku krokach

Własność 1: $$f(x)\neq 0$$

$$a=f(1)=f(x+1-x)=$$

$$=f(x)\cdot f(1-x)\neq 0$$

$$f(x)\neq 0$$

$$f(1-x)\neq 0$$

Własność 2: $$f(x)>0$$

$$f(x)=f(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=$$

$$=f(\frac{x}{2})\cdot f(\frac{x}{2})=\Big(f(\frac{x}{2})\Big)^2>0$$

Własność 3: $$f(0)=1$$

$$f(x)=f(x+0)=f(x)\cdot f(0)$$

$$f(0)=\frac{f(x)}{f(x)}=1$$

Własność 4: $$f(-x)=\frac{1}{f(x)}$$

$$f(0)=f(x-x)=f(x)\cdot f(-x)=1$$

$$f(-x)=\frac{1}{f(x)}$$

Własność 5: $$f$$ jest ciągła w $$\mathbb{R}$$

Niech $$y\in\mathbb{R}$$ będzie znanym jednym punktem ciągłości $$f$$, zbadajmy ciągłość $$f$$ w dowolnym $$x\in\mathbb{R}$$

$$f(x+\delta)-f(x)=$$

$$=f(x-y+\delta+y)-f(x-y+y)=$$

$$=f(x-y)\cdot f(y+\delta)-f(x-y)\cdot f(y)=$$

$$=f(x-y)\cdot\Big(f(y+\delta)-f(y)\Big)$$

$$\underbrace{f(x-y)\cdot\underbrace{\Big(f(y+\underbrace{\delta}_{\text{gdy}~\delta\to 0})-f(y)\Big)}_{\to 0~\text{bo}~y~\text{to p.c.}~f}}_{\text{z pow.}\to 0}=$$

$$=\underbrace{f(x+\underbrace{\delta}_{\text{gdy}~\delta\to 0})-f(x)}_{\text{w efek.}\to 0~\Rightarrow f~\text{ciag.}}$$

Własność 6: $$n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(n)=a^n$$

$$f(n)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})=$$

$$=\underbrace{f(1)\cdot f(1)\cdot\ldots\cdot f(1)}_{n}=a^n$$

 

Własność 7: $$n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(\frac{1}{n})=\sqrt[n]{a}$$

$$a=f(1)=f(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots\frac{1}{n}}_{n})=$$

$$=\underbrace{f(\frac{1}{n})\cdot f(\frac{1}{n})\cdot\ldots\cdot f(\frac{1}{n})}_{n}$$

$$a=\Big(f(\frac{1}{n})\Big)^n$$

$$f(\frac{1}{n})=\sqrt[n]{a}$$

Własność 8: $$m,n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(\frac{m}{n})=\sqrt[n]{a^m}$$

$$f(\frac{m}{n})=f(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots\frac{1}{n}}_{m})=$$

$$=\underbrace{f(\frac{1}{n})\cdot f(\frac{1}{n})\cdot\ldots\cdot f(\frac{1}{n})}_{m}=$$

$$=\big(\sqrt[n]{a}\big)^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Własność 9: $$x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\Rightarrow f(x)=a^x$$

Wynika z ciągłości $$f$$ i definicji $$a^x$$ dla niewymiernych $$x$$.

Podsumowanie: niesamowite, w zasadzie z jednej własności wynika jednoznaczna postać funkcji wykładniczej.

Ciekawostka: rezygnując z warunku na ciągłość $$f$$ możliwe jest podanie funkcji innej niż wykładnicza, która spełnia warunek $$(1)$$ – zainteresowanych zapraszam do tego artykułu.

O przyroście wykładniczym

Wykładniczy proces wzrostu populacji bakterii O wzroście wykładniczym mówimy, gdy tempo zmiany pewnej wartości (na jednostkę czasu lub w sposób ciągły), jest proporcjonalne do bieżącego stanu. Np. wzrost populacji bakterii – im więcej bakterii, tym szybciej dochodzi do rozmnażania się, a tempo rozmnażania jest proporcjonalne do bieżącej liczby organizmów.

Oznaczając

$$t$$ – zmienna czasu
$$x(t)$$ – wartość / stan w czasie $$t$$ (np. liczba organizmów, masa organizmów)
$$x_0=x(0)$$ – inicjalny stan układu w czasie $$t=0$$
$$a$$ – współczynnik zmiany (wzrostu / spadku) układu w czasie $$\tau$$
$$\tau$$ – czas charakterystyczny, w którym układ wzrasta $$a$$-krotnie

dynamikę wzrostu można zapisać rekurencyjnie

$$x(t+\tau)=a\cdot x(t)$$

W przypadku dyskretnego czasu mamy do czynienia ze wzrostem geometrycznym.

$$x(0)=x_0$$

$$x(\tau)=x(0+\tau)=a\cdot x(0)=x_0\cdot a$$

$$x(2\tau)=x(\tau+\tau)=a\cdot x(\tau)=x_0\cdot a^2$$

$$\ldots$$

$$x(n\tau)=x_0\cdot a^n$$

W przypadku czasu ciągłego wzrost opisywany jest funkcją wykładniczą

$$x(t)=x_0\cdot a^\frac{t}{\tau}$$

Funkcja spełnia zależność rekurencyjną

$$x(t+\tau)=x_0\cdot a^\frac{t+\tau}{\tau}=x_0\cdot a^\frac{t}{\tau}\cdot a^\frac{\tau}{\tau}=a\cdot x(t)$$

oraz dobrze uogólnia przypadek czasu dyskretnego

$$x(n\tau)=x_0\cdot a^\frac{n\tau}{\tau}=x_0\cdot a^n$$

Dla $$x_0=1$$, $$a=2$$ oraz $$\tau=1$$ otrzymujemy chyba „najprostszy” wzrost wykładniczy

$$x(t)=2^t$$

opisujący np. proces rozmnażania bakterii przez podział.

  • Czas dyskretny: proces rozmnażania się organizmów rozumiany jako aktualny stan (liczność) populacji.
  • Czas ciągły: proces rozmnażania się organizmów, rozumiany jako aktualna masa populacji.

Naturalny wzrost jako $$e^t$$

W poprzedniej części „o procencie składanym” podawałem poniższe formuły

Kapitał początkowy 1, 100% stopa zwrotu, kapitał końcowy po 1 roku, n-krotna kapitalizacja:

$$V_1^n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n$$

Kapitał początkowy 1, 100% stopa zwrotu, kapitał końcowy po k-latach, n-krotna kapitalizacja

$$V_k^n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{nk}$$

Zdefiniowaliśmy też liczbę $$e$$ jako

$$e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\approx 2.718$$

reprezentującą kapitał po 1 roku przy „ciągłej” kapitalizacji.

Rozważmy kapitał po każdej kolejnej kapitalizacji

numer kapitalizacji $$m$$ czas $$t$$ kapitał $$V_t^n$$
$$m=0$$, stan pocz. $$t=0$$ $$V_t^n=1$$
$$m=1$$ $$t=\frac{1}{n}$$ $$V_t^n=1+\frac{1}{n}$$
$$m=2$$ $$t=\frac{2}{n}$$ $$V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^2$$
$$m$$ $$t=\frac{m}{n}$$ $$V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^m$$

$$t=\frac{m}{n}\Rightarrow m=n\cdot t$$

$$V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^m=\big(1+\frac{1}{n}\big)^{n\cdot t}$$

$$V_t^n=\Bigg(\big(1+\frac{1}{n}\big)^n\Bigg)^t$$

Przy ciągłej kapitalizacji

$$V_t=\displaystyle\lim_{n\to\infty}V_t^n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigg(\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\Bigg)^t=$$

$$=\Bigg(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\Bigg)^t=e^t$$

$$V_t=e^t$$

Zatem „wzrost naturalny”, opisany mechaniką „procentu składanego”, to przyrost wykładniczy o współczynniku wzrostu $$a=e$$, czasie charakterystycznym $$\tau=1$$ oraz inicjalnym stanie $$x_0=1$$.

Pochodna funkcji wykładniczej

Jeśli $$y=a^x$$ to, przy ustalonym małym $$\Delta x$$, przyrost $$y$$ wynosi

$$\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x=a^x\cdot a^{\Delta x}-a^x$$

$$\Delta y=a^x\cdot (\underbrace{a^{\Delta x}-1}_{\text{const.}})$$

Wtedy możemy podać aproksymację pochodnej

$$\frac{dy}{dx}\approx\frac{\Delta y}{\Delta x}=a^x\cdot\underbrace{\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}_{\text{const.}}$$

Powyższe to przesłanka, że pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalna do jej samej, ze współczynnikiem

$$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$

Jest to efekt oczekiwany, im większa populacja, tym większy potencjał do wzrostu.

Sprawdzamy dla $$\Delta x=0.01$$

Funkcja Wykładnicza - Pochodna

Animacja zdaje się potwierdzać nasze podejrzenia. Ponadto ujawnia się ciekawostka dla $$a=2.7\approx=e$$, gdzie pokrywają się $$a^x$$ i pochodna $$a^x$$. Ciekawostka sprowadza się do rozwiązania równania względem $$a$$

$$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$$

Pójdziemy nieco na skróty – zakładając, że pochodne istnieją (czyli granice istnieją) oraz, że odpowiednie funkcje są odwracalne. Poniższy dowód nie ma pełni rygoru ścisłości, świetnie natomiast obrazuje zależności.

$$\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\approx 1$$

$$a^{\Delta x}-1\approx\Delta x$$

$$a^{\Delta x}\approx 1+\Delta x$$

$$a\approx\bigg(1+\Delta x\bigg)^\frac{1}{\Delta x}$$

$$a=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\bigg(1+\Delta x\bigg)^\frac{1}{\Delta x}$$

Podstawiając

$$\Delta x = \frac{1}{n}$$

$$\Delta x\to 0\Rightarrow n\to\infty$$

$$a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n=e$$

Wniosek

$$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$

$$e^x$$ to jedyna funkcja, różna od stałej „0”, która posiada tę własność. Tempo wzrostu opisywanego liczbą $$e$$ zależy wyłącznie od stanu układu w danym czasie i jest bezpośrednio jemu równe. To kolejny argument pokazujący „dlaczego liczba e jest tak naturalna”.

W następnym artykule przedstawię funkcję $$\frac{1}{x}$$ z interpretacją czasu – czyli będzie o logarytmach (patrz animacja i rysująca się „zielona” krzywa), całkach i pochodnych 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

 

Views All Time
Views All Time
1509
Views Today
Views Today
3

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *