O liczbie e – Część 2 – Dlaczego jest tak „naturalna” – Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Funkcja e do x (e^x)

„Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle … popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.

– Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!

– Nie boję się, jestem $e^x$. 

I tak spokojna $e^x$ została. Wpada operator.

– Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!

– A proszę bardzo – jestem $e^x$ – nic mi nie grozi.

– Kochana, ja różniczkuję po $dy$”

Ten iście „nerdowski” dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii „o liczbie e”. Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty „dlaczego?” liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej $a^x$ 🙂

Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania

Funkcję $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ daną wzorem

$f(x)=a^x$ dla $a>0$

nazywamy funkcją wykładniczą.

Funkcja Wykładnicza

O ile potęgowanie z wykładnikiem naturalnym nie sprawia problemu, to już uogólnienie na liczby wymierne i rzeczywiste nie jest wcale trywialne. Poniżej tabela „przejścia” od potęgowania do funkcji wykładniczej.

$a$ – zakres $x$ – zakres $a^x$ – definicja
$a=0$ $x=0$ $a^x=0^0=\text{symb. nieokr.}$
$a=0$ $x>0$ $a^x=0^x=0$
$a\neq 0$ $x=0$ $a^x=a^0=1$
$a\in\mathbb{R}$ $x=1$ $a^x=a^1=a$
$a\in\mathbb{R}$ $x=n\in\mathbb{N}$ $a^x=a^n=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{n}$
$a>0$ $x=\frac{1}{n}$; $n\in\mathbb{N}$ $a^x=a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}$
$a>0$ $x=\frac{m}{n}$; $m,n\in\mathbb{N}$ $a^x=a^\frac{m}{n}=$
$\underbrace{a^\frac{1}{n}\times a^\frac{1}{n}\times\ldots\times a^\frac{1}{n}}_{m}=$
$\underbrace{\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{a}\times\ldots\times\sqrt[n]{a}}_{m}=\sqrt[n]{a^m}$
$a>0$ $x>0$ $a^x=\displaystyle\lim_{r\to x,~r\in\mathbb{Q}}a^r=\displaystyle\sup_{r\in\mathbb{Q},~ r<x}\{a^r\}$
istnieje $a^x\neq 0$ $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$

Funkcja wykładnicza ma wiele ciekawych własności, skupię się na najważniejszych. Nie zamieszczam dowodów (są obszerne, raczej nietrudne), zainteresowanych odsyłam do: link 1, link 2, link 3, link 4.

Suma wykładników $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$
Różnica wykładników $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$
Iloczyn wykładników $a^{x\cdot y}=\big(a^x\big)^y$
Iloczyn podstaw $(ab)^x=a^x\cdot b^x$
Iloraz podstaw $\Big(\frac{a}{b}\Big)^x=\frac{a^x}{b^x}$
Ciągłość $a^x=\displaystyle\lim_{y\to x}a^y$
Monotoniczność, rosnąca dla $a>1$ $x>y\Rightarrow a^x>a^y$
Monotoniczność, malejąca dla $0<a<1$ $x>y\Rightarrow a^x<a^y$
Różniczkowalność, nieskończenie wiele razy $\displaystyle\forall_{x\in\mathbb{R}}~\displaystyle\forall_{n\in\mathbb{N}}$ istnieje $\frac{\text{d}}{\text{d}x^n}a^x$

Twierdzenie: funkcję wykładniczą $a^x$ jednoznacznie definiuje następujące równanie funkcyjne, przy założeniu, że $a>0$ oraz $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest funkcją ciągłą przynajmniej w jednym punkcie

$$(1)~~~\begin{cases}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\\f(1)=a\end{cases}$$

Szkic dowodu:

„$f(x)=a^x\Longrightarrow(1)$”: wynika z własności funkcji wykładniczej.

„$f(x)=a^x\Longleftarrow(1)$”: szkic dowodu w kilku krokach

Własność 1: $f(x)\neq 0$

$$a=f(1)=f(x+1-x)=$$

$$=f(x)\cdot f(1-x)\neq 0$$

$$f(x)\neq 0$$

$$f(1-x)\neq 0$$

Własność 2: $f(x)>0$

$$f(x)=f(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=$$

$$=f(\frac{x}{2})\cdot f(\frac{x}{2})=\Big(f(\frac{x}{2})\Big)^2>0$$

Własność 3: $f(0)=1$

$$f(x)=f(x+0)=f(x)\cdot f(0)$$

$$f(0)=\frac{f(x)}{f(x)}=1$$

Własność 4: $f(-x)=\frac{1}{f(x)}$

$$f(0)=f(x-x)=f(x)\cdot f(-x)=1$$

$$f(-x)=\frac{1}{f(x)}$$

Własność 5: $f$ jest ciągła w $\mathbb{R}$

Niech $y\in\mathbb{R}$ będzie znanym jednym punktem ciągłości $f$, zbadajmy ciągłość $f$ w dowolnym $x\in\mathbb{R}$

$$f(x+\delta)-f(x)=$$

$$=f(x-y+\delta+y)-f(x-y+y)=$$

$$=f(x-y)\cdot f(y+\delta)-f(x-y)\cdot f(y)=$$

$$=f(x-y)\cdot\Big(f(y+\delta)-f(y)\Big)$$

$$\underbrace{f(x-y)\cdot\underbrace{\Big(f(y+\underbrace{\delta}_{\text{gdy}~\delta\to 0})-f(y)\Big)}_{\to 0~\text{bo}~y~\text{to p.c.}~f}}_{\text{z pow.}\to 0}=$$

$$=\underbrace{f(x+\underbrace{\delta}_{\text{gdy}~\delta\to 0})-f(x)}_{\text{w efek.}\to 0~\Rightarrow f~\text{ciag.}}$$

Własność 6: $n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(n)=a^n$

$$f(n)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})=$$

$$=\underbrace{f(1)\cdot f(1)\cdot\ldots\cdot f(1)}_{n}=a^n$$

Własność 7: $n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(\frac{1}{n})=\sqrt[n]{a}$

$$a=f(1)=f(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots\frac{1}{n}}_{n})=$$

$$=\underbrace{f(\frac{1}{n})\cdot f(\frac{1}{n})\cdot\ldots\cdot f(\frac{1}{n})}_{n}$$

$$a=\Big(f(\frac{1}{n})\Big)^n$$

$$f(\frac{1}{n})=\sqrt[n]{a}$$

Własność 8: $m,n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(\frac{m}{n})=\sqrt[n]{a^m}$

$$f(\frac{m}{n})=f(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots\frac{1}{n}}_{m})=$$

$$=\underbrace{f(\frac{1}{n})\cdot f(\frac{1}{n})\cdot\ldots\cdot f(\frac{1}{n})}_{m}=$$

$$=\big(\sqrt[n]{a}\big)^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Własność 9: $x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\Rightarrow f(x)=a^x$

Wynika z ciągłości $f$ i definicji $a^x$ dla niewymiernych $x$.

Podsumowanie: niesamowite, w zasadzie z jednej własności wynika jednoznaczna postać funkcji wykładniczej.

Ciekawostka: rezygnując z warunku na ciągłość $f$ możliwe jest podanie funkcji innej niż wykładnicza, która spełnia warunek $(1)$ – zainteresowanych zapraszam do tego artykułu.

O przyroście wykładniczym

Wykładniczy proces wzrostu populacji bakterii O wzroście wykładniczym mówimy, gdy tempo zmiany pewnej wartości (na jednostkę czasu lub w sposób ciągły), jest proporcjonalne do bieżącego stanu. Np. wzrost populacji bakterii – im więcej bakterii, tym szybciej dochodzi do rozmnażania się, a tempo rozmnażania jest proporcjonalne do bieżącej liczby organizmów.

Oznaczając

$t$ – zmienna czasu
$x(t)$ – wartość / stan w czasie $t$ (np. liczba organizmów, masa organizmów)
$x_0=x(0)$ – inicjalny stan układu w czasie $t=0$
$a$ – współczynnik zmiany (wzrostu / spadku) układu w czasie $\tau$
$\tau$ – czas charakterystyczny, w którym układ wzrasta $a$-krotnie

dynamikę wzrostu można zapisać rekurencyjnie

$$x(t+\tau)=a\cdot x(t)$$

W przypadku dyskretnego czasu mamy do czynienia ze wzrostem geometrycznym.

$$x(0)=x_0$$

$$x(\tau)=x(0+\tau)=a\cdot x(0)=x_0\cdot a$$

$$x(2\tau)=x(\tau+\tau)=a\cdot x(\tau)=x_0\cdot a^2$$

$$\ldots$$

$$x(n\tau)=x_0\cdot a^n$$

W przypadku czasu ciągłego wzrost opisywany jest funkcją wykładniczą

$$x(t)=x_0\cdot a^\frac{t}{\tau}$$

Funkcja spełnia zależność rekurencyjną

$$x(t+\tau)=x_0\cdot a^\frac{t+\tau}{\tau}=x_0\cdot a^\frac{t}{\tau}\cdot a^\frac{\tau}{\tau}=a\cdot x(t)$$

oraz dobrze uogólnia przypadek czasu dyskretnego

$$x(n\tau)=x_0\cdot a^\frac{n\tau}{\tau}=x_0\cdot a^n$$

Dla $x_0=1$, $a=2$ oraz $\tau=1$ otrzymujemy chyba „najprostszy” wzrost wykładniczy

$x(t)=2^t$

opisujący np. proces rozmnażania bakterii przez podział.

  • Czas dyskretny: proces rozmnażania się organizmów rozumiany jako aktualny stan (liczność) populacji.
  • Czas ciągły: proces rozmnażania się organizmów, rozumiany jako aktualna masa populacji.

Naturalny wzrost jako $e^t$

W poprzedniej części „o procencie składanym” podawałem poniższe formuły

Kapitał początkowy 1, 100% stopa zwrotu, kapitał końcowy po 1 roku, n-krotna kapitalizacja:

$$V_1^n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n$$

Kapitał początkowy 1, 100% stopa zwrotu, kapitał końcowy po k-latach, n-krotna kapitalizacja

$$V_k^n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{nk}$$

Zdefiniowaliśmy też liczbę $e$ jako

$$e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\approx 2.718$$

reprezentującą kapitał po 1 roku przy „ciągłej” kapitalizacji.

Rozważmy kapitał po każdej kolejnej kapitalizacji

numer kapitalizacji $m$ czas $t$ kapitał $V_t^n$
$m=0$, stan pocz. $t=0$ $V_t^n=1$
$m=1$ $t=\frac{1}{n}$ $V_t^n=1+\frac{1}{n}$
$m=2$ $t=\frac{2}{n}$ $V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^2$
$m$ $t=\frac{m}{n}$ $V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^m$

$$t=\frac{m}{n}\Rightarrow m=n\cdot t$$

$$V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^m=\big(1+\frac{1}{n}\big)^{n\cdot t}$$

$$V_t^n=\Bigg(\big(1+\frac{1}{n}\big)^n\Bigg)^t$$

Przy ciągłej kapitalizacji

$$V_t=\displaystyle\lim_{n\to\infty}V_t^n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigg(\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\Bigg)^t=$$

$$=\Bigg(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\Bigg)^t=e^t$$

$$V_t=e^t$$

Zatem „wzrost naturalny”, opisany mechaniką „procentu składanego”, to przyrost wykładniczy o współczynniku wzrostu $a=e$, czasie charakterystycznym $\tau=1$ oraz inicjalnym stanie $x_0=1$.

Pochodna funkcji wykładniczej

Jeśli $y=a^x$ to, przy ustalonym małym $\Delta x$, przyrost $y$ wynosi

$$\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x=a^x\cdot a^{\Delta x}-a^x$$

$$\Delta y=a^x\cdot (\underbrace{a^{\Delta x}-1}_{\text{const.}})$$

Wtedy możemy podać aproksymację pochodnej

$$\frac{dy}{dx}\approx\frac{\Delta y}{\Delta x}=a^x\cdot\underbrace{\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}_{\text{const.}}$$

Powyższe to przesłanka, że pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalna do jej samej, ze współczynnikiem

$$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$$

Jest to efekt oczekiwany, im większa populacja, tym większy potencjał do wzrostu.

Sprawdzamy dla $\Delta x=0.01$

Funkcja Wykładnicza - Pochodna

Animacja zdaje się potwierdzać nasze podejrzenia. Ponadto ujawnia się ciekawostka dla $a=2.7\approx=e$, gdzie pokrywają się $a^x$ i pochodna $a^x$. Ciekawostka sprowadza się do rozwiązania równania względem $a$

$$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$$

Pójdziemy nieco na skróty – zakładając, że pochodne istnieją (czyli granice istnieją) oraz, że odpowiednie funkcje są odwracalne. Poniższy dowód nie ma pełni rygoru ścisłości, świetnie natomiast obrazuje zależności.

$$\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\approx 1$$

$$a^{\Delta x}-1\approx\Delta x$$

$$a^{\Delta x}\approx 1+\Delta x$$

$$a\approx\bigg(1+\Delta x\bigg)^\frac{1}{\Delta x}$$

$$a=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\bigg(1+\Delta x\bigg)^\frac{1}{\Delta x}$$

Podstawiając

$$\Delta x = \frac{1}{n}$$

$$\Delta x\to 0\Rightarrow n\to\infty$$

$$a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n=e$$

Wniosek

$$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$

$e^x$ to jedyna funkcja, różna od stałej „0”, która posiada tę własność. Tempo wzrostu opisywanego liczbą $e$ zależy wyłącznie od stanu układu w danym czasie i jest bezpośrednio jemu równe. To kolejny argument pokazujący „dlaczego liczba e jest tak naturalna”.

W następnym artykule przedstawię funkcję $\frac{1}{x}$ z interpretacją czasu – czyli będzie o logarytmach (patrz animacja i rysująca się „zielona” krzywa), całkach i pochodnych 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Views All Time
Views All Time
1781
Views Today
Views Today
5

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *