O liczbie e - Część 2 - Dlaczego jest tak "naturalna" - Funkcja wykładnicza i pochodna eˣ

Funkcja e do x (e^x)

"Plaża, piękna pogoda, sielanka i relaks! Różne funkcje wypoczywają. Nagle ... popłoch, panika! Funkcje uciekają. Tylko jedna nadal się opala.

- Co robisz? Uciekaj! Nadchodzi operator różniczkowy!

- Nie boję się, jestem e^x

I tak spokojna e^x została. Wpada operator.

- Wrrr! Teraz Cię zróżniczkuję! Wrrr!

- A proszę bardzo - jestem e^x - nic mi nie grozi.

- Kochana, ja różniczkuję po dy"

Ten iście "nerdowski" dowcip całkiem dobrze rozpoczyna kolejną część serii "o liczbie e". Na bazie pochodnej przedstawię dodatkowe argumenty "dlaczego?" liczba e jest tak naturalna. Zaczynamy od powtórki podstaw w zakresie potęgowania. Prawdopodobnie zaskoczę Cię już samą definicją funkcji wykładniczej a^x 🙂

Definicja funkcji wykładniczej na bazie potęgowania

Funkcję f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} daną wzorem

f(x)=a^x dla a>0

nazywamy funkcją wykładniczą.

Funkcja Wykładnicza

O ile potęgowanie z wykładnikiem naturalnym nie sprawia problemu, to już uogólnienie na liczby wymierne i rzeczywiste nie jest wcale trywialne. Poniżej tabela "przejścia" od potęgowania do funkcji wykładniczej.

a - zakres x - zakres a^x - definicja
a=0 x=0 a^x=0^0=\text{symb. nieokr.}
a=0 x>0 a^x=0^x=0
a\neq 0 x=0 a^x=a^0=1
a\in\mathbb{R} x=1 a^x=a^1=a
a\in\mathbb{R} x=n\in\mathbb{N} a^x=a^n=\underbrace{a\times a\times\ldots\times a}_{n}
a>0 x=\frac{1}{n}; n\in\mathbb{N} a^x=a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}
a>0 x=\frac{m}{n}; m,n\in\mathbb{N} a^x=a^\frac{m}{n}=
\underbrace{a^\frac{1}{n}\times a^\frac{1}{n}\times\ldots\times a^\frac{1}{n}}_{m}=
\underbrace{\sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{a}\times\ldots\times\sqrt[n]{a}}_{m}=\sqrt[n]{a^m}
a>0 x>0 a^x=\displaystyle\lim_{r\to x,~r\in\mathbb{Q}}a^r=\displaystyle\sup_{r\in\mathbb{Q},~ r<x}\{a^r\}
istnieje a^x\neq 0 a^{-x}=\frac{1}{a^x}

Funkcja wykładnicza ma wiele ciekawych własności, skupię się na najważniejszych. Nie zamieszczam dowodów (są obszerne, raczej nietrudne), zainteresowanych odsyłam do: link 1, link 2, link 3, link 4.

Suma wykładników a^{x+y}=a^x\cdot a^y
Różnica wykładników a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}
Iloczyn wykładników a^{x\cdot y}=\big(a^x\big)^y
Iloczyn podstaw (ab)^x=a^x\cdot b^x
Iloraz podstaw \Big(\frac{a}{b}\Big)^x=\frac{a^x}{b^x}
Ciągłość a^x=\displaystyle\lim_{y\to x}a^y
Monotoniczność, rosnąca dla a>1 x>y\Rightarrow a^x>a^y
Monotoniczność, malejąca dla 0<a<1 x>y\Rightarrow a^x<a^y
Różniczkowalność, nieskończenie wiele razy \displaystyle\forall_{x\in\mathbb{R}}~\displaystyle\forall_{n\in\mathbb{N}} istnieje \frac{\text{d}}{\text{d}x^n}a^x

Twierdzenie: funkcję wykładniczą a^x jednoznacznie definiuje następujące równanie funkcyjne, przy założeniu, że a>0 oraz f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} jest funkcją ciągłą przynajmniej w jednym punkcie

(1)~~~\begin{cases}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\\f(1)=a\end{cases}

Szkic dowodu:

"f(x)=a^x\Longrightarrow(1)": wynika z własności funkcji wykładniczej.

"f(x)=a^x\Longleftarrow(1)": szkic dowodu w kilku krokach

Własność 1: f(x)\neq 0

a=f(1)=f(x+1-x)=

=f(x)\cdot f(1-x)\neq 0

f(x)\neq 0

f(1-x)\neq 0

Własność 2: f(x)>0

f(x)=f(\frac{x}{2}+\frac{x}{2})=

=f(\frac{x}{2})\cdot f(\frac{x}{2})=\Big(f(\frac{x}{2})\Big)^2>0

Własność 3: f(0)=1

f(x)=f(x+0)=f(x)\cdot f(0)

f(0)=\frac{f(x)}{f(x)}=1

Własność 4: f(-x)=\frac{1}{f(x)}

f(0)=f(x-x)=f(x)\cdot f(-x)=1

f(-x)=\frac{1}{f(x)}

Własność 5: f jest ciągła w \mathbb{R}

Niech y\in\mathbb{R} będzie znanym jednym punktem ciągłości f, zbadajmy ciągłość f w dowolnym x\in\mathbb{R}

f(x+\delta)-f(x)=

=f(x-y+\delta+y)-f(x-y+y)=

=f(x-y)\cdot f(y+\delta)-f(x-y)\cdot f(y)=

=f(x-y)\cdot\Big(f(y+\delta)-f(y)\Big)

\underbrace{f(x-y)\cdot\underbrace{\Big(f(y+\underbrace{\delta}_{\text{gdy}~\delta\to 0})-f(y)\Big)}_{\to 0~\text{bo}~y~\text{to p.c.}~f}}_{\text{z pow.}\to 0}=

=\underbrace{f(x+\underbrace{\delta}_{\text{gdy}~\delta\to 0})-f(x)}_{\text{w efek.}\to 0~\Rightarrow f~\text{ciag.}}

Własność 6: n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(n)=a^n

f(n)=f(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n})=

=\underbrace{f(1)\cdot f(1)\cdot\ldots\cdot f(1)}_{n}=a^n

 

Własność 7: n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(\frac{1}{n})=\sqrt[n]{a}

a=f(1)=f(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots\frac{1}{n}}_{n})=

=\underbrace{f(\frac{1}{n})\cdot f(\frac{1}{n})\cdot\ldots\cdot f(\frac{1}{n})}_{n}

a=\Big(f(\frac{1}{n})\Big)^n

f(\frac{1}{n})=\sqrt[n]{a}

Własność 8: m,n\in\mathbb{N}\Rightarrow f(\frac{m}{n})=\sqrt[n]{a^m}

f(\frac{m}{n})=f(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\ldots\frac{1}{n}}_{m})=

=\underbrace{f(\frac{1}{n})\cdot f(\frac{1}{n})\cdot\ldots\cdot f(\frac{1}{n})}_{m}=

=\big(\sqrt[n]{a}\big)^m=\sqrt[n]{a^m}

Własność 9: x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\Rightarrow f(x)=a^x

Wynika z ciągłości f i definicji a^x dla niewymiernych x.

Podsumowanie: niesamowite, w zasadzie z jednej własności wynika jednoznaczna postać funkcji wykładniczej.

Ciekawostka: rezygnując z warunku na ciągłość f możliwe jest podanie funkcji innej niż wykładnicza, która spełnia warunek (1) - zainteresowanych zapraszam do tego artykułu.

O przyroście wykładniczym

Wykładniczy proces wzrostu populacji bakterii O wzroście wykładniczym mówimy, gdy tempo zmiany pewnej wartości (na jednostkę czasu lub w sposób ciągły), jest proporcjonalne do bieżącego stanu. Np. wzrost populacji bakterii - im więcej bakterii, tym szybciej dochodzi do rozmnażania się, a tempo rozmnażania jest proporcjonalne do bieżącej liczby organizmów.

Oznaczając

t - zmienna czasu
x(t) - wartość / stan w czasie t (np. liczba organizmów, masa organizmów)
x_0=x(0) - inicjalny stan układu w czasie t=0
a - współczynnik zmiany (wzrostu / spadku) układu w czasie \tau
\tau - czas charakterystyczny, w którym układ wzrasta a-krotnie

dynamikę wzrostu można zapisać rekurencyjnie

x(t+\tau)=a\cdot x(t)

W przypadku dyskretnego czasu mamy do czynienia ze wzrostem geometrycznym.

x(0)=x_0

x(\tau)=x(0+\tau)=a\cdot x(0)=x_0\cdot a

x(2\tau)=x(\tau+\tau)=a\cdot x(\tau)=x_0\cdot a^2

\ldots

x(n\tau)=x_0\cdot a^n

W przypadku czasu ciągłego wzrost opisywany jest funkcją wykładniczą

x(t)=x_0\cdot a^\frac{t}{\tau}

Funkcja spełnia zależność rekurencyjną

x(t+\tau)=x_0\cdot a^\frac{t+\tau}{\tau}=x_0\cdot a^\frac{t}{\tau}\cdot a^\frac{\tau}{\tau}=a\cdot x(t)

oraz dobrze uogólnia przypadek czasu dyskretnego

x(n\tau)=x_0\cdot a^\frac{n\tau}{\tau}=x_0\cdot a^n

Dla x_0=1, a=2 oraz \tau=1 otrzymujemy chyba "najprostszy" wzrost wykładniczy

x(t)=2^t

opisujący np. proces rozmnażania bakterii przez podział.

  • Czas dyskretny: proces rozmnażania się organizmów rozumiany jako aktualny stan (liczność) populacji.
  • Czas ciągły: proces rozmnażania się organizmów, rozumiany jako aktualna masa populacji.

Naturalny wzrost jako e^t

W poprzedniej części "o procencie składanym" podawałem poniższe formuły

Kapitał początkowy 1, 100% stopa zwrotu, kapitał końcowy po 1 roku, n-krotna kapitalizacja:

V_1^n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n

Kapitał początkowy 1, 100% stopa zwrotu, kapitał końcowy po k-latach, n-krotna kapitalizacja

V_k^n=\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^{nk}

Zdefiniowaliśmy też liczbę e jako

e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\approx 2.718

reprezentującą kapitał po 1 roku przy "ciągłej" kapitalizacji.

Rozważmy kapitał po każdej kolejnej kapitalizacji

numer kapitalizacji m czas t kapitał V_t^n
m=0, stan pocz. t=0 V_t^n=1
m=1 t=\frac{1}{n} V_t^n=1+\frac{1}{n}
m=2 t=\frac{2}{n} V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^2
... ... ...
m t=\frac{m}{n} V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^m

t=\frac{m}{n}\Rightarrow m=n\cdot t

V_t^n=\big(1+\frac{1}{n}\big)^m=\big(1+\frac{1}{n}\big)^{n\cdot t}

V_t^n=\Bigg(\big(1+\frac{1}{n}\big)^n\Bigg)^t

Przy ciągłej kapitalizacji

V_t=\displaystyle\lim_{n\to\infty}V_t^n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\Bigg(\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\Bigg)^t=

=\Bigg(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n\Bigg)^t=e^t

V_t=e^t

Zatem "wzrost naturalny", opisany mechaniką "procentu składanego", to przyrost wykładniczy o współczynniku wzrostu a=e, czasie charakterystycznym \tau=1 oraz inicjalnym stanie x_0=1.

Pochodna funkcji wykładniczej

Jeśli y=a^x to, przy ustalonym małym \Delta x, przyrost y wynosi

\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^x=a^x\cdot a^{\Delta x}-a^x

\Delta y=a^x\cdot (\underbrace{a^{\Delta x}-1}_{\text{const.}})

Wtedy możemy podać aproksymację pochodnej

\frac{dy}{dx}\approx\frac{\Delta y}{\Delta x}=a^x\cdot\underbrace{\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}_{\text{const.}}

Powyższe to przesłanka, że pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalna do jej samej, ze współczynnikiem

\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}

Jest to efekt oczekiwany, im większa populacja, tym większy potencjał do wzrostu.

Sprawdzamy dla \Delta x=0.01

Funkcja Wykładnicza - Pochodna

Animacja zdaje się potwierdzać nasze podejrzenia. Ponadto ujawnia się ciekawostka dla a=2.7\approx=e, gdzie pokrywają się a^x i pochodna a^x. Ciekawostka sprowadza się do rozwiązania równania względem a

\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1

Pójdziemy nieco na skróty - zakładając, że pochodne istnieją (czyli granice istnieją) oraz, że odpowiednie funkcje są odwracalne. Poniższy dowód nie ma pełni rygoru ścisłości, świetnie natomiast obrazuje zależności.

\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\approx 1

a^{\Delta x}-1\approx\Delta x

a^{\Delta x}\approx 1+\Delta x

a\approx\bigg(1+\Delta x\bigg)^\frac{1}{\Delta x}

a=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\bigg(1+\Delta x\bigg)^\frac{1}{\Delta x}

Podstawiając

\Delta x = \frac{1}{n}

\Delta x\to 0\Rightarrow n\to\infty

a=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)^n=e

Wniosek

\frac{d}{dx}e^x=e^x

e^x to jedyna funkcja, różna od stałej "0", która posiada tę własność. Tempo wzrostu opisywanego liczbą e zależy wyłącznie od stanu układu w danym czasie i jest bezpośrednio jemu równe. To kolejny argument pokazujący "dlaczego liczba e jest tak naturalna".

W następnym artykule przedstawię funkcję \frac{1}{x} z interpretacją czasu - czyli będzie o logarytmach (patrz animacja i rysująca się "zielona" krzywa), całkach i pochodnych 🙂

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

 

Views All Time
Views All Time
786
Views Today
Views Today
1

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *