Dlaczego pole powierzchni trójkąta wynosi ½·a·h?

Jestem pewien, że wzór na pole powierzchni trójkąta, tj. P=\frac{1}{2}ah, jest znany niemal wszystkim 🙂  Dzieci, będąc we wczesnym wieku szkolnym, poznają podstawy geometrii, w tym długości obwodów i pola powierzchni figur płaskich. Jeśli interesuje cię dlaczego pole powierzchni trójkąta zależy od długości jego podstawy i wysokości na nią opadającej, to jest to wpis dla Ciebie 🙂 Jednocześnie wzbogacam cykl "Dlaczego?". Zaczynamy!

Pole powierzchni trójkąta - wzór

Trójkąt - Pole powierzchni

Wzór na pole powierzchni trójkąta, choć prosty, to na pierwszy rzut oka nie jest zbyt intuicyjny (no może poza przypadkiem trójkąta prostokątnego). Oto, w jakiś magiczny sposób, dla każdej podstawy, iloczyny ich długości i długości wysokości na nie opadających, są sobie równe - i więcej - określą pole powierzchni ograniczonej trójkątem 🙂

P=\frac{ah_a}{2}=\frac{bh_b}{2}=\frac{ch_c}{2}

Pole powierzchni trójkąta - dowód przez animację 🙂 - przypadek 1

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta "opada" na jego podstawę.

 

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 1

Pole powierzchni trójkąta - dowód przez animację 🙂 - przypadek 2

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta "opada" poza jego podstawą.

Trójkąt - pole powierzchni - przypadek 2

Pole powierzchni trójkąta - dowód nieco bardziej formalny

Trójkąt prostokątny: przypadek oczywisty, nie wymaga wyprowadzenia 🙂

Trójkąt - Pole powierzchni - Trójkąt prostokątny

P=\frac{ab}{2}

Przypadek 1: kiedy wysokość trójkąta "opada" na jego podstawę.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 1

Wyprowadzenie wzoru:

P=P_1+P_2

2P_1+2P_2=ah

P_1+P_2=\frac{ah}{2}

P=\frac{ah}{2}

Przypadek 2: kiedy wysokość trójkąta "opada" poza jego podstawą.

Trójkąt - Pole powierzchni - przypadek 2

Wyprowadzenie wzoru:

P+P_1=P_2

P=P_2-P_1

P_1=\frac{xh}{2}

P_2=\frac{(a+x)h}{2}=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}

P=P_2-P_1=\frac{ah}{2}+\frac{xh}{2}-\frac{xh}{2}=\frac{ah}{2}

P=\frac{ah}{2}

Koniec na dziś 🙂

 

Pozdrowienia,

Mariusz Gromada

Views All Time
Views All Time
494
Views Today
Views Today
4

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *